Phỏng đoán Kakeya nghe giống như một trò trêu ghẹo não. Đặt kim nằm phẳng trên bàn. Bạn cần bao nhiêu diện tích để có thể quay nó để nó hướng theo mọi hướng có thể?
Câu trả lời rõ ràng nhất có thể là một hình tròn có đường kính là chiều dài của kim. Nhưng điều này là sai rõ ràng. Và trong thế kỷ qua, nỗ lực tìm hiểu những cách sai lầm đã tiết lộ rằng điều có vẻ giống như một câu hỏi nhỏ vui nhộn thực chất lại là một bài toán toán học mang tính khiêu khích sâu sắc về bản chất của chính các số thực - những dấu tích vô hạn của dãy số đóng vai trò là tọa độ trong không gian nơi vấn đề được đặt ra lần đầu tiên.
Điều này đã trở nên rõ ràng với một số bằng chứng gần đây đã tạo ra một số tiến bộ đáng chú ý nhất trong nhiều năm về phỏng đoán Kakeya. Các kết quả chuyển câu hỏi ban đầu ra khỏi các số thực, nơi các nhà toán học đã bị xáo trộn, và sang thế giới hình học và số học, nơi các đường được xác định bởi các hệ thống số thay thế, theo một số cách dễ làm việc hơn.
Khả năng sáng tạo đã khiến các nhà toán học hoạt bát với một ý thức mới về mục đích.
“Phỏng đoán Kakeya cảm thấy rất khó, nhưng cũng hợp lý là sẽ có giải pháp trong một vài năm nữa,” nói Larry Guth, một nhà toán học tại Viện Công nghệ Massachusetts, người đã nghiên cứu vấn đề này trong hơn 15 năm. "Nó có vẻ hy vọng hơn bất kỳ cách tiếp cận nào khác mà tôi đã thấy."
Bóp chặt
Các phiên bản hiện đại của phỏng đoán Kakeya khác một vài bước so với tuyên bố ban đầu của vấn đề, được đưa ra vào năm 1917 bởi Sōichi Kakeya. Ông tò mò về diện tích nhỏ nhất cần có trong mặt phẳng hai chiều để biến một đường một chiều có độ dài cho trước sao cho cuối cùng nó hướng theo mọi hướng.
Một đĩa có đường kính bằng chiều dài của đường là đủ - chỉ cần xoay đường như một mặt số. Nhưng các hình dạng nhỏ hơn cũng có thể hoạt động. Ví dụ, lấy một tam giác đều có chiều cao bằng độ dài đoạn thẳng. Bằng cách thực hiện một loạt các lần quay ba điểm về cơ bản, bạn có thể dịch chuyển đường - có diện tích bằng không, vì nó là một chiều - xung quanh hình tam giác và đạt được độ quét mong muốn. Tập hợp các điểm cho phép chỉ điểm kỹ lưỡng này được gọi là tập hợp Kakeya.
Kakeya muốn biết diện tích nhỏ nhất có thể của một tập hợp Kakeya. Năm 1919, Abram Besicovitch đã đưa ra câu trả lời đáng ngạc nhiên: Không có giới hạn nào cho việc nó có thể nhỏ đến mức nào. Ông đã chứng minh rằng có thể xây dựng các bộ Kakeya có thiết kế tam giác đều đến cực điểm của nó. Thay vì ba gai của hình tam giác, bạn sẽ có vô số gai bên trong các gai phát ra theo mọi hướng.
“Trong giới hạn, đó là một thứ trông giống con nhím kỳ lạ,” nói Zeev Dvir, một giáo sư tại Đại học Princeton và là tác giả của một trong những bằng chứng mới. Kết quả là một sự sắp xếp phức tạp theo kiểu fractal với một khu vực có thể được tạo ra nhỏ tùy ý - tương đương với việc không có diện tích nào cả.
Việc xây dựng Besicovitch đã khiến Kakeya không khỏi thắc mắc chỉ hai năm sau khi anh hỏi nó. Nhưng nhiều thập kỷ sau, các nhà toán học đã phát minh ra một phiên bản sửa đổi của bài toán có thể chứng minh rằng vấn đề khó khăn hơn nhiều.
Rộng rãi trống rỗng
Besicovitch đã chứng minh rằng bộ Kakeya có thể có vùng biến mất, nhưng có những cách khác ngoài vùng để mô tả kích thước của một hình dạng. Các tập hợp mà Besicovitch nghĩ ra vẫn còn chứa các điểm, và vào những năm 1970, một câu hỏi được cải tiến đã nảy sinh về việc các điểm đó được sắp xếp một cách hiệu quả như thế nào.
Câu hỏi này, được gọi là phỏng đoán Kakeya (khác với bài toán Kakeya ban đầu), dự đoán rằng nếu bạn có, chẳng hạn như các hình vuông nhỏ bằng vải và bạn đang cố gắng đặt chúng trên bộ Kakeya sao cho các ô vuông bao phủ hoàn toàn bộ , theo một nghĩa nào đó rất chính xác, bạn sẽ cần rất nhiều ô vuông để hoàn thành lớp phủ.
Mức độ mà các điểm trong một tập hợp được sắp xếp theo cách khiến chúng dễ dàng hơn hoặc khó bao quát hơn được ghi lại trong hai số liệu có liên quan chặt chẽ với nhau được gọi là thứ nguyên Hausdorff và thứ nguyên Minkowski. Những khái niệm về thứ nguyên này cung cấp cho các nhà toán học một khuôn khổ nghiêm ngặt khác để khám phá các tập Kakeya - một cách tiếp tục điều tra chúng sau khi Besicovitch chứng minh rằng chỉ đo diện tích là không đủ để hiểu các tính chất thiết yếu của chúng. Phỏng đoán Kakeya dự đoán rằng cả kích thước Hausdorff và Minkowski của một tập hợp Kakeya phải càng lớn càng tốt. Và trong khi các định nghĩa chính xác của hai thước đo kích thước đó là kỹ thuật, trực giác đằng sau phỏng đoán khá đơn giản: Để có các đường đi khắp mọi nơi, bạn cần rất nhiều thứ.
“Bạn có một dòng ở mọi hướng, và hãy tưởng tượng bạn đang cố dồn tất cả chúng vào một thứ gì đó. Làm thế nào nó có thể bị nén? " Guth nói.
Vấn đề thực sự
Giả thuyết Kakeya diễn ra trong không gian Euclide, nơi các điểm được xác định bởi các số thực - những số có thể có một số thập phân dài vô hạn, như 19.1777… hoặc pi. Theo thời gian, ngày càng rõ ràng rằng các tọa độ giá trị thực này là một phần lớn lý do tại sao phỏng đoán Kakeya rất khó giải.
Chính xác những gì về các con số thực tạo ra sự cản trở như vậy không hoàn toàn rõ ràng, nhưng một số đặc điểm nổi bật. Thứ nhất, các số thực là liên tục, có nghĩa là bạn không thể nhìn chúng qua bất kỳ khoảng riêng biệt nào mà không mất khả năng làm số học. (Ví dụ: nếu bạn giới hạn bản thân trong khoảng từ 1 đến 2, bạn sẽ mất phép cộng, bởi vì tổng của hai số trong khoảng đó sẽ nằm bên ngoài nó.) Các số thực cũng là vô hạn, có nghĩa là bất kể bao nhiêu bạn phóng to chúng, bạn sẽ thấy cùng một thứ ở mọi quy mô.
“Trong các con số thực, mọi thứ có thể rất gần với số không mà không thực sự là số không. Bằng cách nào đó, đó là mấu chốt kỹ thuật, " Joshua Zahl của Đại học British Columbia.
Khó khăn của các số thực đã thúc đẩy các nhà toán học xem xét các phiên bản của phỏng đoán Kakeya được đặt trong các hệ thống số nhỏ hơn. Ví dụ: những giá trị này có thể chỉ có toàn bộ các giá trị số từ 1 đến 5. Và trong khi các hệ thống số này trông không giống số thực, chúng mang nhiều tính chất số học cơ bản giống nhau - chúng cho phép cộng, trừ, nhân và chia.
Chúng cũng đủ phong phú để hỗ trợ các kỹ thuật từ đại số tuyến tính để xác định các đường và một khi bạn có các đường, bạn có thể hỏi một phiên bản được sửa đổi một chút của phỏng đoán Kakeya: Kích thước tối thiểu của một tập hợp các điểm trong một trong những hệ thống số này là bao nhiêu mà bạn có thể xây dựng một đường theo mọi hướng? Thomas Wolff hỏi một câu hỏi như thế này vào năm 1996. Kể từ đó, các nhà toán học đã tiếp cận nó như một giá đỡ có thể đưa họ đến gần hơn với việc tự trả lời phỏng đoán Kakeya.
“Ý tưởng là [vấn đề này] có lẽ dễ dàng hơn, và có lẽ bạn nên thử phát triển các kỹ thuật giải quyết vấn đề đó để có ý tưởng đối phó với trường hợp Euclid thực tế,” nói Manik Dhar của Princeton, một tác giả của hai bài báo gần đây về phỏng đoán Kakeya.
Chọn một số
Để xác định một trong những hệ thống số nhỏ này, trước tiên bạn chọn một số. Có thể bạn chọn 9, trong trường hợp đó hệ thống số của bạn chứa toàn bộ các số từ 1 đến 9. Hoặc có thể bạn chọn 17, 25 hoặc 83.
Lựa chọn của bạn quan trọng. Đặc biệt, việc số này (được gọi là môđun) là số nguyên tố hay không nguyên tố, và cách nó không phải là số nguyên tố, có ảnh hưởng lớn đến cả hoạt động của hệ thống số và các phương pháp có thể áp dụng cho phỏng đoán Kakeya.
Năm 2008, Dvir giải quyết Giả thuyết Kakeya cho các hệ thống số hữu hạn trong đó môđun là một số nguyên tố, đó là trường hợp cụ thể mà Wolff đã nghĩ đến vào năm 1996. Những hệ thống số này, được gọi là trường hữu hạn, đặc biệt mạnh mẽ và được sử dụng trong toán học để giải quyết các bài toán khó.
Dvir đã chứng minh rằng trên các trường hữu hạn, một tập hợp Kakeya nhất thiết phải có thứ nguyên lớn nhất có thể (trong đó thứ nguyên được xác định lại theo cách có ý nghĩa trong một thiết lập hữu hạn). Chứng minh của ông, chỉ dài hai trang, chủ yếu dựa vào thực tế rằng khi môđun là số nguyên tố, bất kỳ tập hợp nào trong hệ thống số hữu hạn đóng vai trò là nghiệm (hoặc nghiệm nguyên) của một phương trình đa thức - có nghĩa là tập hợp đó có thể được mô tả bằng một phương trình theo cách mà bộ Kakeya số thực không thể có được.
Chứng minh của Dvir đại diện cho tiến bộ lớn đầu tiên đối với phỏng đoán Kakeya và khiến các nhà toán học nhất thời hy vọng rằng những tiến bộ hơn nữa đối với phỏng đoán Kakeya của Euclide đã được triển khai.
Không có gì xuất hiện. Guth nói: “Mọi người rất hào hứng và tất cả chúng tôi đã cố gắng rất nhiều, nhưng nó không thành công.
Sau đó, hơn một thập kỷ sau, Dvir trở lại.
Sản phẩm của Số nguyên tố
Vào tháng 2020 năm XNUMX, Dvir và Dhar, nghiên cứu sinh của ông, giải quyết giả thuyết Kakeya cho các hệ thống số hữu hạn trong đó môđun là bất kỳ số nào là tích của các số nguyên tố riêng biệt, như 15 (là 3 × 5). Những hệ thống số này yêu cầu Dhar và Dvir vượt ra khỏi phương pháp đa thức. Thay vào đó, họ chuyển đổi vấn đề thành một câu hỏi về các bảng số được gọi là ma trận.
Trong các ma trận này, cột đại diện cho điểm và hàng đại diện cho hướng. Nếu có một dòng tại một điểm cụ thể, đi theo một hướng cụ thể, hãy viết số 1 vào vị trí tương ứng trong ma trận. (Nếu không thì nhập 0.) Theo cách này, ma trận mã hóa các thuộc tính của một tập hợp các dòng. Bây giờ bạn có thể tính toán các thuộc tính của ma trận đó để xác định các thuộc tính của tập hợp. Đặc biệt, “thứ hạng” của ma trận liên quan trực tiếp đến kích thước của tập hợp các dòng.
Dhar và Dvir đã chứng minh rằng thứ hạng của những ma trận này cao, có nghĩa là tập hợp các đường lớn, điều đó có nghĩa là phỏng đoán Kakeya đúng với các hệ thống số cụ thể này - bất kỳ tập hợp điểm nào chứa các đường theo mọi hướng đều cần phải lớn.
Chưa đầy một năm sau kết quả của Dhar và Dvir, Bodan Arsovski đã gia hạn nó. Vào tháng 2021 năm XNUMX anh ấy chứng minh phỏng đoán Kakeya cho các hệ thống số hữu hạn trong đó môđun là một số nguyên tố được nâng lên thành lũy thừa, chẳng hạn như 9 (là 32). Điều này ngụ ý phỏng đoán cho một hệ thống số được gọi là p-adics, là một hệ thống số vô hạn và giống với các số thực hơn theo cách đó. Sau bài báo của Arsovski, các nhà toán học đã cố gắng xác định xem liệu phương pháp của ông có thể được sửa đổi để áp dụng cho chính các số thực hay không.
Sau một vài tháng nỗ lực không có kết quả, rõ ràng là bây giờ, ít nhất, họ không thể như vậy.
“Có sự khác biệt nhỏ về cách trường số thực và pCác trường -adic hoạt động làm cho loại suy bị phá vỡ, ”Alejo Salvatore, một nghiên cứu sinh tiến sĩ tại Đại học Wisconsin, Madison, cho biết.
Kể từ tác phẩm của Arsovski, đã có thêm hai sự thay đổi cốt truyện. Tháng XNUMX năm ngoái Dhar chứng minh phỏng đoán Kakeya đúng cho các hệ thống số hữu hạn với bất kỳ mô đun nào. sau đó trong tháng hai Salvatore đã xác nhận phỏng đoán cho các hệ thống số kỳ lạ hơn, được gọi là trường cục bộ có đặc tính dương, trong đó trường hữu hạn được tăng thêm với một biến.
Có nhiều cách khác nhau để nghĩ về loạt kết quả này. Một là hy vọng rằng động lực tiếp tục: Bây giờ các nhà toán học đã chứng minh phỏng đoán đúng cho hệ thống số này đến hệ thống số khác, có lẽ các số thực là tiếp theo. Nhưng một người khác là lùi lại và hỏi: Tại sao các nhà toán học vẫn chưa thể xác nhận phỏng đoán Kakeya cho các số thực, vì giờ đây họ đã có thể xác nhận nó trong rất nhiều cài đặt khác?
Ít nhất một nhà toán học cho rằng lời giải thích có thể là cách rõ ràng nhất trong số tất cả.
“Tôi không còn tự tin rằng phỏng đoán Kakeya là đúng,” Guth nói.
