Rastgele süreçler etrafımızda gerçekleşir. Bir gün yağmur yağıyor ama ertesi gün yağmıyor; hisse senetleri ve tahviller değer kazanır ve kaybeder; trafik sıkışıklıkları birleşip ortadan kayboluyor. Birbirleriyle karmaşık şekillerde etkileşime giren çok sayıda faktör tarafından yönetildikleri için bu tür sistemlerin tam davranışını tahmin etmek imkansızdır. Bunun yerine, sonuçları olasılıklar açısından düşünürüz ve sonuçları olası veya nadir olarak nitelendiririz.

Bugün, Fransız olasılık teorisyeni Michel Talagrand Bu tür süreçlere ilişkin derin ve karmaşık bir anlayış geliştirdiği için matematikteki en yüksek ödüllerden biri olan Abel Ödülü'ne layık görüldü. Norveç Kralı tarafından verilen ödül, Nobel'i örnek alarak 7.5 milyon Norveç kronu (yaklaşık 700,000 dolar) değerinde olacak. Talagrand, kazandığı söylendiğinde "aklım bomboştu" dedi. “Başladığımda yaptığım matematik türü hiç moda değildi. Aşağı matematik olarak kabul edildi. Bu ödülün bana verilmiş olması durumun böyle olmadığının kesin kanıtıdır.”

Diğer matematikçiler de aynı fikirde. Talagrand'ın çalışmasının "dünyaya bakış açımı değiştirdiğini" söyledi Asaf Naor Princeton Üniversitesi'nden. Bugün eklendi Helge HoldenAbel ödül komitesi başkanı, “Gerçek dünyadaki olayları rastgele süreçlerle tanımlamak ve modellemek çok popüler hale geliyor. Talagrand'ın alet kutusu hemen ortaya çıkıyor."

Talagrand, kendi hayatını beklenmedik olaylar zinciri olarak görüyor. Lyon'da ilkokulu zar zor geçti: Bilime ilgi duymasına rağmen ders çalışmayı sevmiyordu. 5 yaşındayken retinasının ayrılması sonucu sağ gözünü kaybetti; 15 yaşındayken diğer gözünde üç retina dekolmanı oluştu ve kör olacağı korkusuyla gözleri bandajlı olarak bir ay hastanede yatmak zorunda kaldı. Matematik profesörü olan babası onu her gün ziyaret ediyor, ona matematik öğreterek aklını meşgul ediyordu. Talagrand "Soyutlamanın gücünü bu şekilde öğrendim" 2019'te yazdı Shaw Ödülü'nü kazandıktan sonra, 1.2 milyon dolarlık ödülle birlikte gelen bir başka büyük matematik ödülü. (Talagrand, bu paranın bir kısmını, Abel'den kazandıklarıyla birlikte, "hayatımı adadığım alanlardaki genç araştırmacıların başarılarını ödüllendirmek için" kendi ödülünü bulmak için kullanıyor.)

İyileşirken yarım yıl boyunca okula gidemedi, ancak çalışmalarına odaklanmaya başlamak için ilham aldı. Matematikte başarılı oldu ve 1974 yılında üniversiteden mezun olduktan sonra, Avrupa'nın en büyük araştırma enstitüsü olan Fransız Ulusal Bilimsel Araştırma Merkezi tarafından işe alındı ​​ve 2017 yılında emekli olana kadar burada çalıştı. Bu süre zarfında doktorasını aldı; istatistikçi olan müstakbel eşine ilk görüşte aşık oldu (onunla tanıştıktan üç gün sonra ona evlenme teklif etti); ve yavaş yavaş olasılığa ilgi duymaya başladı ve konuyla ilgili yüzlerce makale yayınladı.

Bu önceden belirlenmiş bir şey değildi. Talagrand kariyerine yüksek boyutlu geometrik uzaylar üzerinde çalışarak başladı. “10 yıldır hangi konuda iyi olduğumu keşfedemedim” dedi. Ancak bu dolambaçlı yoldan pişman değil. Sonunda bu onu olasılık teorisine götürdü; burada "Bana olaylara farklı bakmanın bir yolunu veren başka bir bakış açısına sahiptim" dedi. Bu onun rastgele süreçleri yüksek boyutlu geometri merceğinden incelemesine olanak sağladı.

Naor, "Tamamen olasılıksal soruları çözmek için geometrik sezgisini kullanıyor" dedi.

Rastgele bir süreç, sonuçları modellenebilecek bir şekilde şansa göre değişen olayların bir koleksiyonudur (bir dizi yazı tura atma, bir gazdaki atomların yörüngeleri veya günlük yağış toplamları gibi). Matematikçiler bireysel sonuçlar ile toplu davranış arasındaki ilişkiyi anlamak isterler. Adil olup olmadığını anlamak için yazı tura kaç kez atmanız gerekir? Bir nehir kıyılarından taşar mı?

Talagrand, sonuçları Gaussian adı verilen çan şeklindeki bir eğriye göre dağıtılan süreçlere odaklandı. Bu tür dağılımlar doğada yaygındır ve bir takım arzu edilen matematiksel özelliklere sahiptir. Bu durumlarda aşırı sonuçlar hakkında kesin olarak ne söylenebileceğini bilmek istiyordu. Böylece olası sonuçlara sıkı üst ve alt sınırlar koyan bir dizi eşitsizliği kanıtladı. Holden, "İyi bir eşitsizlik elde etmek bir sanat eseridir" dedi. Bu sanat faydalıdır: Talagrand'ın yöntemleri, örneğin bir nehrin önümüzdeki 10 yıl içinde yükselebileceği en yüksek seviyeye veya potansiyel en güçlü depremin büyüklüğüne ilişkin optimal bir tahmin verebilir.

Karmaşık, yüksek boyutlu verilerle uğraşırken bu tür maksimum değerleri bulmak zor olabilir.

Diyelim ki yağış, rüzgar ve sıcaklık gibi faktörlere bağlı olarak nehir taşması riskini değerlendirmek istiyorsunuz. Nehrin yüksekliğini rastgele bir süreç olarak modelleyebilirsiniz. Talagrand, böylesine rastgele bir süreçle ilgili yüksek boyutlu bir geometrik uzay yaratmasına olanak tanıyan genel zincirleme adı verilen bir tekniği geliştirmek için 15 yıl harcadı. Naor, yönteminin "size geometriden maksimum değeri okumanın bir yolunu sağladığını" söyledi.

Teknik çok geneldir ve bu nedenle geniş çapta uygulanabilir. Binlerce parametreye bağlı, devasa, yüksek boyutlu bir veri kümesini analiz etmek istediğinizi varsayalım. Anlamlı bir sonuca varmak için veri setini yalnızca birkaç parametreyle karakterize ederken en önemli özelliklerini de korumak istiyorsunuz. (Örneğin, bu, farklı proteinlerin karmaşık yapılarını analiz etmenin ve karşılaştırmanın bir yoludur.) En gelişmiş yöntemlerin çoğu, bu basitleştirmeyi, yüksek boyutlu verileri daha düşük boyutlu bir uzaya haritalayan rastgele bir işlem uygulayarak elde eder. . Matematikçiler, bu sürecin yol açtığı maksimum hata miktarını belirlemek için Talagrand'ın genel zincirleme yöntemini kullanabilir; bu, basitleştirilmiş veri setinde bazı önemli özelliklerin korunmama olasılığını belirlemelerine olanak tanır.

Talagrand'ın çalışması sadece rastgele bir sürecin mümkün olan en iyi ve en kötü sonuçlarını analiz etmekle sınırlı değildi. Ayrıca ortalama bir durumda ne olacağını da inceledi.

Pek çok süreçte, rastgele bireysel olaylar toplu olarak oldukça belirleyici sonuçlara yol açabilir. Ölçümler bağımsızsa, her bir olayı tahmin etmek imkansız olsa bile toplamlar oldukça öngörülebilir hale gelir. Örneğin, adil bir yazı tura atın. Ne olacağı konusunda önceden hiçbir şey söyleyemezsiniz. 10 kez çevirin ve yaklaşık %66 oranında dört, beş veya altı tura (beklenen beş tura değerine yakın) elde edersiniz. Ancak yazı tura 1,000 kez atarsanız %450 oranında 550 ile 99.7 arasında yazı alırsınız; bu sonuç, beklenen değer olan 500 civarında daha da yoğunlaşmıştır. "Ortalama civarında son derece keskin" dedi Holden.

Naor, "Bir şeyin çok fazla rastlantısallığı olmasına rağmen, rastlantısallık kendini iptal ediyor" dedi. "Başlangıçta korkunç bir karmaşa gibi görünen şey aslında organize edilmiş."

Ölçü konsantrasyonu olarak bilinen bu olgu, çok daha karmaşık rastgele süreçlerde de ortaya çıkar. Talagrand, bu konsantrasyonun ölçülmesini mümkün kılan bir eşitsizlikler derlemesi ortaya attı ve bunun birçok farklı bağlamda ortaya çıktığını kanıtladı. Onun teknikleri, bu alandaki önceki çalışmalardan bir ayrılığa işaret ediyordu. 2019'daki makalesinde bu tür ilk eşitsizliği kanıtlamanın "sihirli bir deneyim" olduğunu yazdı. O, "sürekli bir mutluluk halindeydi."

Daha sonra yaşadığı konsantrasyon eşitsizliklerinden biriyle özellikle gurur duyuyor. "Evreni düşünmeye çalışan, aynı zamanda tek sayfalık, açıklanması kolay bir kanıta sahip bir sonuca ulaşmak kolay değil" dedi. (Bir zamanlar sahibinin adını tanıdığı bir taksi servisini kullandığını, eşitsizliği işletme okulunda olasılık dersinde öğrendiğini sevinçle hatırlıyor. "Bu olağanüstüydü" dedi.)

Onun genel zincirleme yöntemi gibi, Talagrand'ın konsantrasyon eşitsizlikleri de matematiğin her yerinde karşımıza çıkıyor. Naor, "Bu kadar ileri gitmesi şaşırtıcı" dedi. “Talagrand eşitsizlikleri şeyleri bir arada tutan vidalardır.”

Farklı boyutlardaki öğeleri kutulara ayırmanız gereken bir kaynak tahsisi modeli olan bir optimizasyon problemini düşünün. Çok fazla öğeniz olduğunda, ihtiyaç duyacağınız en az sayıda kutuyu bulmak çok zordur. Ancak Talagrand eşitsizlikleri, öğelerin boyutlarının rastgele olması durumunda muhtemelen kaç kutuya ihtiyacınız olacağını söyleyebilir.

Kombinatorik, fizik, bilgisayar bilimi, istatistik ve diğer ortamlarda konsantrasyon olayını kanıtlamak için benzer yöntemler kullanılmıştır.

Daha yakın zamanlarda Talagrand, rastgele süreçlere dair anlayışını, döner camlar, yani rastgele, çoğu zaman birbiriyle çelişen etkileşimler tarafından oluşturulan düzensiz manyetik malzemeler hakkındaki önemli bir varsayımı kanıtlamak için uyguladı. Talagrand, dönen gözlüklerin matematiksel olarak iyi tanımlanmış olmasına rağmen fizikçilerin bunları matematikçilerden daha iyi anlaması nedeniyle hayal kırıklığına uğradı. "Ayağımıza diken battı" dedi. Daha matematiksel bir teori için temel sağlayan, döner camların serbest enerjisi olarak adlandırılan bir sonucu kanıtladı.

Naor, kariyeri boyunca Talagrand'ın araştırmasının "geriye adım atma ve her yerde yeniden kullanılabilen genel ilkeleri bulma yeteneği" ile damgalandığını söyledi. “Yeniden ziyaret ediyor, tekrar ziyaret ediyor ve bir şeyi her türlü perspektiften düşünüyor. Ve sonunda herkesin kullandığı, iş gücü haline gelen bir içgörü ortaya koyuyor."

Talagrand, "Basit şeyleri çok iyi anlamayı seviyorum çünkü beynim çok yavaş" dedi. “Bu yüzden onları çok çok uzun bir süre düşünüyorum.” Kendisinin, "bir şeyi derinlemesine, saf bir şekilde anlama arzusuyla hareket ettiğini, bunun da teoriyi çok daha kolay hale getirdiğini" söyledi. Daha sonra gelecek nesil oradan başlayabilir ve kendi şartlarında ilerleme kaydedebilir.

Geçtiğimiz on yılda bunu sadece rastgele süreçler ve dönen gözlükler hakkında değil, aynı zamanda hiç çalışmadığı bir alan olan kuantum alan teorisi hakkında da ders kitapları yazarak başardı. Bunu öğrenmek istemişti ama bulabildiği tüm ders kitaplarının matematikçiler için değil, fizikçiler tarafından ve onlar için yazıldığını fark etti. Bu yüzden kendisi bir tane yazdı. "Artık bir şeyler icat edemediğinizde, onları açıklayabilirsiniz" dedi.