Ändringen av planerna kom på en roadtrip. En vacker dag i april förra året, matematikerna Rachel Greenfeld och Sarah Peluse begav sig från sin heminstitution, Institute for Advanced Study i Princeton, New Jersey, på väg till Rochester, New York, där båda var planerade att hålla föredrag nästa dag.

De hade kämpat i nästan två år med en viktig gissning inom harmonisk analys, fältet som studerar hur man bryter isär komplexa signaler i sina komponentfrekvenser. Tillsammans med en tredje medarbetare, Marina Iliopoulou, studerade de en version av problemet där komponentfrekvenserna representeras som punkter i ett plan vars avstånd från varandra är relaterade till heltal. De tre forskarna försökte visa att det inte kunde finnas för många av dessa punkter, men hittills hade alla deras tekniker kommit till kort.

De verkade snurra på hjulen. Sedan fick Peluse en tanke: Tänk om de släppte problemet med harmonisk analys - tillfälligt, naturligtvis - och riktade sin uppmärksamhet mot uppsättningar punkter där avståndet mellan två punkter exakt är ett heltal? Vilka möjliga strukturer kan sådana uppsättningar ha? Matematiker har försökt förstå heltalsavståndsuppsättningar sedan urminnes tider. Till exempel representerar pythagoras trippel (som 3, 4 och 5) räta trianglar vars tre hörn alla är heltalsavstånd från varandra.

"I bilen antar jag att eftersom Rachel var instängd med mig, tog jag upp den", sa Peluse, som nu är professor vid University of Michigan. Idén att ta itu med heltalsavstånd sätter elektrifierade Greenfeld.

Innan de visste ordet av hade de inlett inte ett riktningsbyte utan två.

"Vi slutade faktiskt vara uppmärksamma på vart vi skulle och gick inte av motorvägen," sa Peluse. "Vi åkte i motsatt riktning från Rochester i ungefär en timme innan vi märkte det, eftersom vi var så exalterade över matematiken."

1945, Norman Anning och Paul Erdős visat att en oändlig uppsättning punkter i planet som alla är heltalsavstånd från varandra måste ligga på en linje. För en ändlig uppsättning punkter är möjligheterna lite mer varierade. Matematiker har konstruerat stora uppsättningar som ligger på antingen en linje eller en cirkel, ibland med tre eller fyra extra punkter som är utanför huvuddraget. (Punkterna i sig behöver inte ha heltalskoordinater – frågan handlar om avstånden mellan dem.)

Ingen har kommit med en stor uppsättning poäng med någon annan konfiguration, men ingen har bevisat att andra konfigurationer är omöjliga. Under de nästan 80 åren sedan Anning och Erdős resultat har ämnet praktiskt taget inte sett några framsteg - förrän nu.

Greenfeld, Iliopoulou och Peluse har visat att alla punkter i ett stort heltalsavstånd - utom kanske en gles handfull avvikande punkter - måste ligga på en enda linje eller cirkel. "Om du vill ha en stor uppsättning där alla parvisa avstånd är heltal, då är cirklar och linjer de enda spelarna," sa József Solymosi vid University of British Columbia. Han kallade deras resultat för en "fantastisk lösning".

Det nya tillvägagångssättet använder idéer och tekniker från tre distinkta områden inom matematiken: kombinatorik, talteori och algebraisk geometri. Denna sammanfogning av olika områden "kan vara ett verkligt psykologiskt genombrott", sa Terence tao, en matematiker vid University of California, Los Angeles.

Alex Iosevich, från University of Rochester, håller med. "De lade en mycket solid grund för en mycket bred uppsättning problem," sa han. "Det finns absolut inga tvivel i mitt sinne att detta kommer att hitta ännu djupare tillämpningar."

Enkelhetens gränser

Inom ett plan är det lätt att välja en oändlig uppsättning punkter som alla är heltalsavstånd från varandra - ta bara din favoritlinje, föreställ dig en tallinje som är överlagd på den och använd några eller alla punkter som motsvarar heltal. Men detta är det enda sättet att konstruera ett oändligt heltalsavstånd satt i planet, som Anning och Erdős insåg 1945. Så fort du bara har tre punkter som inte alla är på samma linje, blir din konfiguration så begränsad att det är omöjligt att lägga till oändligt många fler poäng.

Anledningen handlar om enkel geometri. Föreställ dig att börja med två punkter, A och B, som är ett heltals avstånd från varandra. Om du vill lägga till en tredje punkt, C, som är ett heltalsavstånd från både A och B men inte ligger på linjen genom dem, kommer de flesta punkter i planet inte att fungera. De enda livskraftiga punkterna lever på speciella kurvor som kallas hyperboler som skär mellan A och B. Om A och B är, säg, 4 enheter från varandra, så finns det exakt fyra av dessa hyperboler. (En hyperbel har vanligtvis två distinkta delar, så till exempel bildar de två röda kurvorna i figuren nedan en enda hyperbel.)

När du väl har valt C (som i det här exemplet är 3 enheter från A och 5 enheter från B), har du knappt några alternativ för att lägga till fler poäng. Varje punkt du kan lägga till måste ligga på en av hyperbolerna mellan A och B, eller på linjen som går genom dem. Men den måste också ligga på en av hyperbolerna mellan A och C, och en av hyperbolerna mellan B och C (eller motsvarande linjer) - med andra ord, en ny punkt kan bara placeras där tre hyperboler eller linjer skär varandra (men inte alla skärningspunkter fungerar). Det finns bara ändligt många av dessa hyperboler och linjer till att börja med, och två hyperboler (eller linjer) kan skära varandra i högst fyra punkter. Så du får bara ändligt många skärningspunkter att välja mellan — du kan inte bygga en oändlig uppsättning.

När det gäller att förstå hur en ändlig uppsättning heltalsavståndspunkter faktiskt ser ut, blir hyperbelansatsen snabbt svårhanterlig. När du lägger till poäng måste du brottas med ett växande antal hyperboler. Till exempel, när din uppsättning bara har 10 poäng, kommer att lägga till en elfte att skapa 11 nya familjer av hyperboler - alla de mellan din nya punkt och var och en av punkterna som redan finns i uppsättningen. "Du kan inte lägga till många poäng, eftersom du kommer att gå vilse i alla dessa hyperboler och korsningar," sa Greenfeld.

Så matematiker har letat efter mer hanterbara principer för att konstruera stora uppsättningar av heltalsavståndspunkter som inte ligger på en linje. Men de har bara kunnat komma på ett tillvägagångssätt: Sätt dina poäng på en cirkel. Om du vill ha ett heltalsavstånd med, säg, en biljon punkter, finns det sätt att komma fram till en biljon punkter på en cirkel med radie 1 vars avstånd från varandra är bråkdelar. Sedan kan du blåsa upp cirkeln tills alla bråkavstånd förvandlas till heltal. Ju fler poäng du vill ha i din uppsättning, desto mer behöver du för att blåsa upp cirkeln.

Under årens lopp har matematiker bara kommit med lite mer exotiska exempel. De kan konstruera stora heltalsavståndsuppsättningar där alla utom fyra punkter ligger på en linje eller alla utom tre ligger på en cirkel. Många matematiker misstänker att dessa är de enda stora heltalsavståndsuppsättningarna där inte alla punkter är på en linje eller en cirkel. De kommer säkert att veta detta om de någonsin kan bevisa något som kallas Bombieri-Lang-förmodan. Men matematiker är delade om huruvida denna gissning sannolikt är sann.

Sedan Anning och Erdős arbete 1945 har matematiker gjort små framsteg när det gäller att förstå heltalsavståndsuppsättningar. Med tiden verkade heltalsavståndsproblemet ansluta sig till en rad andra problem inom kombinatorik, talteori och geometri som är enkla att ange men till synes omöjliga att lösa. "Det är ett mått på hur patetisk vår matematik är," sa Tao.

På ett sätt var heltalsdistansproblemet ett offer för sina egna tidiga framgångar. Hyperbelbeviset, med sin geniala enkelhet, är symboliskt för den filosofi som förespråkas av Erdős, en mycket inflytelserik matematiker som ofta talade om "Boken" - en föreställd volym av de mest eleganta bevisen inom matematik. Den enkelhetskultur som Erdős främjat har lett till "enorma resultat" i kombinatorisk geometri, sa Iosevich. Men det kan också leda till blinda fläckar - i det här fallet om värdet av att ta in ansatser från algebraisk geometri.

"Jag tror inte att du kommer att hitta ett resultat [i algebraisk geometri] bevisat under de senaste 50 åren som inte är särskilt tekniskt involverat och rörigt," sa Iosevich. "Men ibland måste saker och ting vara så här."

I efterhand väntade heltalsavståndsproblemet på matematiker som var villiga att överväga mer oregerliga kurvor än hyperboler och sedan använda rekonditverktyg från algebraisk geometri och talteori för att tämja dem. "Det krävde människor med en tillräcklig bredd av kunskap och intresse," sa Iosevich.

De flesta matematiker, sa han, nöjer sig med att använda några verktyg i ett hörn av matematiken under hela sin karriär. Men Greenfeld, Iliopoulou och Peluse är orädda upptäcktsresande, sa Iosevich. "De ser matematik som en sammanhängande helhet."

Att komplicera problemet

Sommaren 2021 beslutade Greenfeld att det var dags att ta ett hugg på ett problem från harmonisk analys som hon hade funderat över sedan forskarskolan. Klassisk övertonsanalys, som utgör grunden för signalbehandling i den verkliga världen, handlar om att bryta ner signaler till sinusvågor med olika frekvenser och faser. Den här processen fungerar eftersom det är möjligt att göra en oändlig lista med sinusvågor som, när de kombineras, fångar alla funktioner i vilken signal som helst, utan någon redundans.

Men ofta vill forskare studera något mer komplicerat än en endimensionell signal. Till exempel kanske de vill bryta ner en signal på en skiva i planet. Men skivan kan bara vara värd för en ändlig samling kompatibla sinusvågor - för få för att fånga beteendet hos alla möjliga signaler på skivan. Frågan blir då: Hur stor kan denna ändliga samling bli?

I en sådan samling kan frekvenserna för sinusen representeras som punkter i planet som verkar motvilliga till klustring i linjer och cirklar: Du kommer aldrig att hitta tre punkter som alla är nära samma linje, eller fyra som alla är nära till samma cirkel. Greenfeld hoppades kunna använda denna motvilja för att bevisa att dessa uppsättningar av frekvenser bara kan innehålla några få punkter.

Vid ett möte 2021 vid universitetet i Bonn deltog Greenfeld i ett föredrag om "determinantmetoden", en teknik från talteorin som kan användas för att uppskatta hur många heltalspunkter av vissa typer som kan ligga på kurvor. Det här verktyget, insåg hon, kan vara precis vad hon behövde. Greenfeld rekryterade Iliopoulou och Peluse, som också var på mötet. "Vi började lära oss den här metoden tillsammans," sa Greenfeld.

Men trots många ansträngningar verkade de inte böja den avgörande metoden till sitt syfte, och våren 2023 kände de sig avskräckta. Iosevich hade bjudit in Greenfeld och Peluse att köra till Rochester för ett besök. "Så vi tänkte," OK, vi åker till Rochester, och att prata med Alex kommer att stärka oss, " sa Peluse. Men som det visade sig, landade de i Rochester redan återupplivade, tack vare en stärkande diskussion om heltalsavståndsuppsättningar på deras oplanerade omväg längs Susquehanna River i Pennsylvania.

De kom för sent till en planerad middag med Iosevich, men de hittade honom väntande i hotellets lobby med påsar med takeout. Han förlät deras sena - och var mer än förlåtande nästa morgon, när de berättade för honom om deras plan att ta itu med heltalsdistansuppsättningar. "Han var så upprymd," mindes Peluse. "Känslomässigt var det här ett enormt uppsving."

Som med hyperbelmetoden försökte Greenfeld, Iliopoulou och Peluse kontrollera strukturen av heltalsavståndsuppsättningar genom att identifiera familjer av kurvor som punkterna måste ligga på. Hyperbelmetoden börjar bli för invecklad så fort du har mer än ett par punkter, men Greenfeld, Iliopoulou och Peluse kom på hur man överväger många punkter samtidigt genom att flytta hela konfigurationen till ett högre dimensionellt utrymme.

För att se hur detta fungerar, anta att du börjar med en "referens" punkt A i din heltalsavståndsuppsättning. Varannan punkt i uppsättningen är ett heltalsavstånd från A. Punkterna lever i ett plan, men du kan stöta planet i tredimensionellt rymd genom att slå en tredje koordinat på varje punkt, vars värde är avståndet från A. Till exempel , anta att A är punkten (1, 3). Då förvandlas punkten (4, 7), som är 5 enheter bort från A, till punkten (4, 7, 5) i tredimensionellt rymd. Denna process omvandlar planet till en kon i tredimensionellt utrymme vars spets sitter vid A, nu märkt (1, 3, 0). Heltalsavståndspunkterna blir punkter i det tredimensionella rummet som ligger på konen och även på ett visst gitter.

På liknande sätt, om du väljer två referenspunkter, A och B, kan du konvertera punkter i planet till punkter i fyrdimensionell rymd — bara ge varje punkt två nya koordinater vars värden är dess avstånd till A och B. Denna process konverterar planet till en kurvig yta i fyrdimensionell rymd. Du kan fortsätta lägga till fler referenspunkter på detta sätt. Med varje ny referenspunkt ökar dimensionen med en och planet kartläggs till en ännu vickligare yta (eller, som matematiker säger, en yta av högre grad).

Med detta ramverk på plats använde forskarna den determinantmetoden från talteorin. Determinanter är tal, vanligtvis förknippade med matriser, som fångar en mängd geometriska egenskaper hos en samling punkter - till exempel kan en viss determinant mäta arean av triangeln som bildas av tre av punkterna. Determinantmetoden erbjuder ett sätt att använda sådana determinanter för att uppskatta antalet punkter som ligger samtidigt på en vickande yta och på ett gitter - precis den typ av situation som Greenfeld, Iliopoulou och Peluse hade att göra med.

Forskarna använde sig av en arbetslinje baserad på determinantmetoden för att visa att när de stöter upp sitt heltalsavstånd till en lämpligt hög dimension måste punkterna alla ligga på ett litet antal speciella kurvor. Dessa kurvor, när deras skuggor i planet inte är en linje eller en cirkel, kan inte innehålla många gitterpunkter, som är de enda kandidaterna för punkter i heltalsavståndsuppsättningen. Det betyder att antalet punkter i uppsättningen som kan ligga utanför huvudlinjen eller cirkeln är begränsat - forskarna visade att det måste vara mindre än en mycket långsamt växande funktion av uppsättningens diameter.

Deras gräns når inte standarden för "fyra punkter utanför linjen eller tre punkter utanför cirkeln"-förmodan som många matematiker tror är sant för stora heltalsavståndsuppsättningar. Trots det visar resultatet att "kärnan i gissningarna är sann", sa Jacob Fox från Stanford University. Ett fullständigt bevis på gissningarna kommer sannolikt att kräva ytterligare en infusion av nya idéer, sa matematiker.

Teamets högdimensionella kodningsschema är "extremt robust", sa Iosevich. "Det finns inte bara applikationer i princip - det finns applikationer som jag redan funderar på."

En tillämpning, hoppas Greenfeld, Iliopoulou och Peluse, kommer att gälla deras ursprungliga harmoniska analysproblem, som de tre nu återvänder till. Deras resultat på heltalsavståndsuppsättningar "kan vara en språngbräda mot det", sa Greenfeld.

Syntesen av kombinatorik med algebraisk geometri som forskarna initierade kommer inte att sluta med heltalsavståndsuppsättningar eller allierade problem i harmonisk analys, förutspådde Iosevich. "Jag tror att det vi ser är ett konceptuellt genombrott," sa han. "Detta skickar ett meddelande till människor inom båda områdena att detta är en mycket produktiv interaktion."

Det skickar också ett meddelande om värdet av att ibland göra ett problem mer komplicerat, sa Tao. Matematiker strävar vanligtvis efter det omvända, konstaterade han. "Men det här är ett exempel där komplexisering av problemet faktiskt är rätt drag."

Framstegen har förändrat hans sätt att tänka på höggradskurvor, sa han. "Ibland kan de vara dina vänner och inte dina fiender."