Balansskalapussel finns i överflöd i rekreationsmatematik. Det väsentliga elementet är den ödmjuka vågen med två pansar — ​​en basen i handeln under årtusenden som fortfarande finns i livliga lantliga basarer i utvecklingsländerna. De enklaste versionerna består av en metallbalk från vilken två kastruller hänger på lika avstånd från det centrala stödet eller stödjepunkten.

Balansvågen med dubbla panorer är ett ikoniskt och romantiskt föremål inom vetenskap och konst. Inom vetenskapen har det varit grunden för mänsklighetens primitiva viktbegrepp från det första "Eureka"-ögonblicket - Arkimedes triumferande upptäckt (även om han skrek faktiskt inte "Eureka") av hans princip om vikt och massa, vilket leder till exakta analytiska balanser som används inom kemi och i slutändan till Daltons atomteori. Inom konst och humaniora är en tvåstegsskala i ståtlig jämvikt en symbol för balans, jämlikhet och i förlängningen rättvisa.

Inom rekreationsmatematik är balansskalan en oändlig källa till pussel där föremål, vanligtvis mynt, balanseras mot varandra för att hitta de förfalskade mynten bland dem. De förfalskade mynten är antingen tyngre eller lättare än de riktiga. Dessa pussel är utmärkta matematiska träningsverktyg - de kräver exakt och utarbetad logik som kräver att alla eventualiteter är genomtänkta i detalj. Dessutom lär de ut grunderna för generalisering, vilket naturligt leder till strävan efter formler för att beskriva hur antalet mynt du framgångsrikt kan söka i förändras i förhållande till antalet gånger du får väga mynten. Och slutligen kan du skapa otaliga varianter av dessa pussel genom att lägga till alla typer av förhållanden till mixen.

Här är några av mina favoritproblem, som börjar med två klassiker, följt av tre varianter med extra komplikationer. I varje fall kan du alltid leta efter en generell formel, även när den inte efterfrågas uttryckligen.

Observera att i alla dessa pussel tillhandahåller vi inte standardvikter för de riktiga mynten. Man måste väga mynten mot varandra. Det antas också att balansen är tillräckligt känslig för att upptäcka ett enkelt lätt eller tungt mynt bland standardmynten.

Pussel 1

Du har åtta likadana mynt. Den ena är förfalskad och lättare än de andra, som har samma vikt. Hitta det dåliga myntet i två vägningar. Hitta den allmänna formeln för det maximala antalet mynt som du kan hitta det förfalskade i x vägningar.

Pussel 2

Du har 12 mynt som ser likadana ut. Den ena är antingen tyngre eller lättare än de andra, som har samma vikt.

1. Hitta det dåliga myntet i tre vägningar.
2. Vilket är det maximala antalet mynt som du kan hitta det dåliga för av fyra vägningar? Beskriv hur du skulle hitta det falska myntet.

Pussel 3

Detta är en variant av pussel 1. Du har återigen åtta likadana mynt, varav ett är lättare än de andra. Men nu har du tre skalor. Två av skalorna fungerar, men den tredje är trasig och ger slumpmässiga resultat (det är ibland rätt och ibland fel). Du vet inte vilken skala som är trasig. Hur många vägningar tar det för att hitta det lätta myntet?

Pussel 4

Du har 16 mynt, varav åtta är tunga och av samma vikt. De övriga åtta är lätta och har samma vikt. Du vet inte vilka mynt som är tunga eller lätta. Mynten ser identiska ut förutom ett som har speciella märkningar. Med en bra våg, kan du räkna ut om specialmyntet är lätt eller tungt i tre vägningar? Vad är det maximala antalet mynt du kan börja med och framgångsrikt lösa detta problem i fyra vägningar?

Hur roligt det än är att svara på dessa frågor har villkoren som ställs i balansskalapussel alltid förefallit godtyckliga för mig. Hur kan du veta att det finns exakt ett dåligt mynt? Den tanken ledde mig till vår sista pusselfråga.

Pussel 5

Du har n identiskt utseende mynt, av vilka några är förfalskade och lättare än de andra. Allt du vet är att det finns minst ett falskt mynt och att det finns fler normala mynt än falska. Ditt jobb är att upptäcka alla förfalskade mynt.

Konstruera heltalssekvensen och spåra antalet mynt som du framgångsrikt kan söka när antalet vägningar ökar från noll. Kan det vara ett nytt inlägg för Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)? Eller är det redan känt?

Det är klart att vi kan komma på sätt att testa en oändlig kombination av mynt. Om du har en favoritvariant som lyfter fram en annan matematisk insikt får du gärna lägga upp den i kommentarsfältet nedan.

Glad förbryllande och håll dig balanserad!

Redaktörens anmärkning: Läsaren som skickar in den mest intressanta, kreativa eller insiktsfulla lösningen (som bedömts av kolumnisten) i kommentarsektionen får en Quanta Magazine T-shirt eller en av de två Quanta böcker, Alice och Bob möter eldväggen or Prime Number Conspiracy (vinnarens val). Och om du vill föreslå ett favoritpussel för en framtida Insights-kolumn, skicka in det som en kommentar nedan, tydligt markerad "NYTT PUSLFÖRSLAG." (Det visas inte online, så lösningar på pusslet ovan ska skickas separat.)