I oktober är en Falcon Heavy-raket planerad att skjutas upp från Cape Canaveral i Florida, med NASA:s Europa Clipper-uppdrag. Uppdraget på 5 miljarder dollar är utformat för att ta reda på om Europa, Jupiters fjärde största måne, kan försörja liv. Men eftersom Europa ständigt bombarderas av intensiv strålning som skapas av Jupiters magnetfält, kan rymdfarkosten Clipper inte kretsa kring månen själv. Istället kommer den att glida in i en excentrisk bana runt Jupiter och samla in data genom att upprepade gånger svänga förbi Europa – totalt 53 gånger – innan den drar sig tillbaka från den värsta strålningen. Varje gång rymdfarkosten rundar Jupiter kommer dess väg att vara något annorlunda, vilket säkerställer att den kan ta bilder och samla in data från Europas poler till sin ekvator.

För att planera invecklade turer som den här använder banplanerare datormodeller som noggrant beräknar banan ett steg i taget. Planeringen tar hundratals uppdragskrav med i beräkningen, och den förstärks av årtionden av matematisk forskning om banor och hur man förenar dem till komplicerade turer. Matematiker utvecklar nu verktyg som de hoppas kan användas för att skapa en mer systematisk förståelse för hur banor förhåller sig till varandra.

"Vad vi har är de tidigare beräkningarna som vi har gjort, som vägleder oss när vi gör de nuvarande beräkningarna. Men det är inte en fullständig bild av alla alternativ som vi har”, sa Daniel Scheeres, en flygingenjör vid University of Colorado, Boulder.

"Jag tror att det var min största frustration när jag var student", säger Dayung Koh, ingenjör vid NASA:s Jet Propulsion Laboratory. "Jag vet att dessa banor finns där, men jag vet inte varför." Med tanke på kostnaden och komplexiteten för uppdrag till månarna Jupiter och Saturnus, är det ett problem att inte veta varför banorna är där de är. Tänk om det finns en helt annan bana som skulle kunna få jobbet gjort med färre resurser? Som Koh sa: "Hittade jag dem alla? Finns det fler? Det kan jag inte säga."

Efter att ha tagit sin doktorsexamen från University of Southern California 2016 blev Koh intresserad av hur banor kan katalogiseras i familjer. Jovianska banor som är långt från Europa bildar en sådan familj; så gör banor nära Europa. Men andra familjer är mindre uppenbara. Till exempel, för två kroppar, som Jupiter och Europa, finns det en mellanliggande punkt där de två kropparnas gravitationseffekter balanserar för att skapa stabila punkter. Rymdfarkoster kan kretsa runt denna punkt, även om det inte finns något i mitten av omloppsbanan. Dessa banor bildar en familj som kallas Lyapunov-banor. Lägg till lite energi till en sådan omloppsbana genom att avfyra en rymdfarkostmotor, och till en början stannar du i samma familj. Men lägg till tillräckligt, och du kommer att gå över till en annan familj - säg en som inkluderar Jupiter i sina banor. Vissa omloppsfamiljer kan behöva mindre bränsle än andra, förbli i solljus hela tiden eller ha andra användbara funktioner.

År 2021 kom Koh över en artikel som diskuterade hur man brottas med kaotiska banor ur perspektivet av symplektisk geometri, ett abstrakt matematikfält som i allmänhet är långt borta från röriga verkliga detaljer. Hon började misstänka att symplektisk geometri kunde ha de verktyg hon behövde för att bättre förstå banor, och hon kom i kontakt med Agustin Moreno, tidningens författare. Moreno, då postdoktor vid Uppsala universitet i Sverige, blev förvånad och glad över att höra att någon på NASA var intresserad av hans arbete. "Det var oväntat, men det var också ganska intressant och lite motiverande på samma gång," sa han.

De två började arbeta tillsammans och försökte tillämpa Morenos abstrakta tekniker på Jupiter-Europa-systemet och på Saturnus och dess måne Enceladus, som, liksom Europa, kan ha liv i sitt underjordiska hav. Det senaste året har de tillsammans med andra samarbetspartners skrivit en rad uppsatser som skapa en ram för katalogisera banor. I januari slutförde Moreno, nu professor vid Heidelbergs universitet, ett tidigt utkast som förvandlade hans enkätuppsats till en bok i ämnet. Med boken vill han göra det abstrakta fältet av symplektisk geometri användbart för ingenjörer som försöker planera rymduppdrag. Om han lyckas kommer han att återförena undersökningsfält som har vuxit isär under århundradena.

Ingen kunglig väg till geometri

Symplektisk geometri har sina rötter i fysiken. För att ta ett enkelt exempel, föreställ dig en pendel. Dess rörelse kan beskrivas av två parametrar: vinkel och hastighet. Om hastigheten är tillräckligt låg kommer pendeln att svänga fram och tillbaka. Om hastigheten är högre kommer den att snurra runt i en cirkel. I en idealiserad pendel utan friktion, när du väl har valt startvinkel och hastighet, bestäms systemets beteende för all framtid.

Du kan skapa en graf med vinkeln som x-axel och hastigheten som y-axel. Men eftersom att resa 360 grader tar dig tillbaka till början kan du sy ihop de vertikala linjerna där x är noll grader och var x är 360 grader. Detta gör en cylinder. Cylindern återspeglar inte direkt den fysiska verkligheten - den visar inte vägar som pendeln spårar - snarare representerar varje punkt på den ett visst tillstånd av pendeln. Cylindern, tillsammans med de lagar som bestämmer de banor pendeln kan följa, bildar ett symplektiskt utrymme.

Sedan tidigt 17-tal, när Johannes Kepler formulerade sina lagar, har fysiker och matematiker haft ett fast grepp om hur man beskriver rörelsen hos två kroppar som är föremål för gravitation. Beroende på hur snabbt de rör sig bildar deras vägar en ellips, parabel eller hyperbel. Motsvarande symplektiska utrymmen är mer komplicerade än den för en pendel, men ändå lättillgängliga. Men att introducera ett tredje objekt gör exakta, analytiska lösningar omöjliga att beräkna. Och det blir bara mer komplicerat om man lägger till fler kroppar i modellen. "Utan den analytiska insikten skjuter du nästan alltid, på någon nivå, in i mörkret," sa Scheeres.

En rymdfarkost som kan röra sig fritt i vilken riktning som helst - höger till vänster, upp och ner och framifrån till baksida - behöver tre koordinater för att beskriva sin position, och tre till för att beskriva dess hastighet. Det gör ett sexdimensionellt symboliskt utrymme. För att beskriva rörelsen hos tre kroppar, som Jupiter, Europa och en rymdfarkost, behöver du 18 dimensioner: sex per kropp. Rummets geometri definieras inte bara av antalet dimensioner det har, utan också av kurvorna som visar hur det fysiska systemet som beskrivs utvecklas över tiden.

Moreno och Koh arbetade på en "begränsad" version av trekroppsproblemet där en av kropparna (rymdfarkosten) är så liten att den inte har någon inverkan på de andra två (Jupiter och Europa). För att förenkla saker ytterligare antog forskarna att månens bana var perfekt cirkulär. Du kan ta dess cirkulära bana som en stadig bakgrund för att överväga rymdsondens väg. Det symplektiska rymden behöver bara ta hänsyn till rymdfarkostens position och hastighet, eftersom Jupiters och Europas rörelse lätt kan beskrivas. Så istället för att vara 18-dimensionell, är motsvarande symboliska utrymme sexdimensionellt. När en bana i denna sexdimensionella rymd bildar en slinga, representerar den en periodisk bana för rymdfarkosten genom planet-månsystemet.

När Koh kontaktade Moreno var hon nyfiken på fall där tillsats av bara en liten bit energi får en rymdfarkosts bana att hoppa från en familj till en annan. Dessa mötespunkter mellan familjer av banor kallas bifurkationspunkter. Ofta träffas många familjer vid en enda punkt. Detta gör dem särskilt användbara för banplanerare. "Att förstå bifurkationsstrukturen ger dig en färdplan om var det finns intressanta banor som du bör titta på," sa Scheeres. Koh ville veta hur man identifierar och förutsäger bifurkationspunkter.

Efter att ha hört från Koh anlitade Moreno några andra geometrar: Urs Frauenfelder vid universitetet i Augsburg, Cengiz Aydin vid Heidelbergs universitet och Otto van Koert från Seoul National University. Frauenfelder och van Koert hade länge studerat trekroppsproblemet med hjälp av symplektisk geometri, till och med avslöjar en potentiell ny familj av banor. Men även om ingenjörer som planerar rymdfarkoster har använt en myriad av matematiska verktyg, har de under de senaste decennierna skrämts av den ökande abstraktionen av symplektisk geometri.

Under de följande månaderna lärde sig ingenjören och de fyra matematikerna sakta om varandras områden. "Det tar ett tag när du gör tvärvetenskapligt arbete för att, låt oss säga, komma över språkbarriärerna," sa Moreno. "Men efter att du har gjort patientarbetet börjar det löna sig."

Verktygslådan

Teamet har satt ihop ett antal verktyg som de hoppas ska vara användbara för missionsplanerare. Ett av verktygen är ett tal som kallas Conley-Zehnder index som kan hjälpa till att avgöra när två banor tillhör samma familj. För att beräkna det undersöker forskare punkter som ligger nära - men inte på - den omloppsbana de vill studera. Föreställ dig till exempel att en rymdfarkost följer en elliptisk bana runt Jupiter, påverkad av gravitationen från Europa. Om du knuffar bort den från sin väg kommer dess nya bana att imitera den ursprungliga omloppsbanan, men bara grovt. Den nya banan kommer att gå i spiral runt den ursprungliga omloppsbanan och komma tillbaka till en något annan punkt efter att den cirkulerat Jupiter. Conley-Zehnder-indexet är ett mått på hur mycket spiral som pågår.

Överraskande nog beror inte Conley-Zehnder-indexet på detaljerna i hur du knuffar rymdfarkosten – det är ett nummer som är associerat med hela omloppsbanan. Dessutom är det samma för alla banor i samma familj. Om du beräknar Conley-Zehnder-index för två banor, och du får två olika tal, kan du vara säker på att banorna kommer från olika familjer.

Ett annat verktyg, kallat Floer-numret, kan antyda oupptäckta familjer av banor. Anta att flera familjer kolliderar vid en bifurkationspunkt när energin träffar ett visst nummer, och flera familjer förgrenar sig från den bifurkationspunkten när energin är högre. Detta bildar ett nät av familjer vars centrala nav är bifurkationen.

Du kan beräkna Floer-numret som är associerat med denna fördelningspunkt som en enkel funktion av Conley-Zehnder-indexen som är associerade med varje relevant familj. Du kan beräkna denna funktion både för alla familjer som har energi bara lite mindre än bifurkationspunkten och för familjer vars energi är större. Om de två Floer-numren skiljer sig åt är det en ledtråd om att det finns dolda familjer kopplade till din bifurkationspunkt.

"Vad vi gör är att tillhandahålla verktyg mot vilka ingenjörer testar sina algoritmer," sa Moreno. De nya verktygen är främst designade för att hjälpa ingenjörer att förstå hur familjer av omloppsbanor passar ihop och för att få dem att leta efter nya familjer där det är motiverat; det är inte menat att ersätta de tekniker för att hitta banor som har finslipats under decennier.

År 2023 presenterade Moreno arbetet för en konferens anordnad av "Rymdflygets mekanikkommitté,” och han har varit i kontakt med ingenjörer som forskar om rymdbanor, inklusive några på JPL och Scheeres labb i Boulder. Scheeres välkomnade sammanblandningen av fält: Han hade länge känt till den symplektiska inställningen till planetarisk rörelse, men kände sig matematiskt ur sitt djup. "Det var verkligen spännande att se matematikerna försöka få ner sin expertis till ingenjörssidan," sa han. Scheeres grupp arbetar nu med ett mer komplext system som involverar fyra organ.

Ed Belbruno, en banaplaneringskonsult (och tidigare JPL orbital analytiker) som har arbetat med Frauenfelder, varnar för att ansökningarna inte är direkta. "Även om en matematisk teknik som symplektisk geometri kan komma med banor som är riktigt coola, och du får en hel massa av dem, kan det vara så att väldigt, väldigt få, om någon, uppfyller begränsningen" som ett verkligt uppdrag kan behöva , han sa.

Även om Clipper-banorna redan i stort sett är klara, ser Moreno mot nästa planet: Saturnus. Han har redan presenterat sin forskning för uppdragsplanerare vid JPL som hoppas kunna skicka en rymdfarkost till Saturnus måne Enceladus. Moreno hoppas att symplektisk geometri kommer att "bli en del av standardverktyget för rymduppdrag."