Upprepning behöver inte alltid vara enfaldig. Inom matematiken är det en kraftfull kraft som kan skapa förvirrande komplexitet.

Även efter decennier av studier finner matematiker att de inte kan svara på frågor om upprepad utförande av mycket enkla regler - de mest grundläggande "dynamiska systemen". Men när de försökte göra det har de avslöjat djupa kopplingar mellan dessa regler och andra till synes avlägsna områden av matematiken.

Till exempel Mandelbrot-uppsättningen, som jag skrev om förra månaden, är en karta över hur en familj av funktioner – beskrivs av ekvationen f(x) = x² + c — beter sig som värdet av c sträcker sig över det så kallade komplexa planet. (Till skillnad från reella tal, som kan placeras på en linje, har komplexa tal två komponenter, som kan plottas på x- och y-axlar i ett tvådimensionellt plan.)

Oavsett hur mycket du zoomar in på Mandelbrot-setet, uppstår alltid nya mönster, utan gränser. "Det är helt häpnadsväckande för mig, även nu, att denna mycket komplexa struktur uppstår ur så enkla regler," sa Matthew Baker från Georgia Institute of Technology. "Det är en av de riktigt överraskande upptäckterna under 20-talet."

Komplexiteten i Mandelbrot-uppsättningen framträder delvis eftersom den definieras i termer av tal som själva är komplexa. Men, kanske överraskande, det är inte hela historien. Även när c är ett enkelt reellt tal som t.ex. –3/2, alla möjliga konstiga fenomen kan uppstå. Ingen vet vad som händer när du upprepade gånger tillämpar ekvationen f(x) = x² – 3/2, med varje utgång som nästa ingång i en process som kallas iteration. Om du börjar iterera från x = 0 (den "kritiska punkten" i en andragradsekvation), är det oklart om du kommer att producera en sekvens som så småningom konvergerar mot en upprepad cykel av värden, eller en som fortsätter att studsa runt i ett kaotiskt mönster.

För värden på c mindre än –2 eller större än 1/4 blåser iterationen snabbt upp till oändligheten. Men inom det intervallet finns det oändligt många värden av c känt för att producera kaotiskt beteende, och oändligt många fall som –3/2, där "vi vet inte vad som händer, även om det är superkonkret", sa Giulio Tiozzo vid University of Toronto.

Men på 1990-talet, Stony Brook University matematiker Misha Lyubich, som var en framträdande plats i min rapport om Mandelbrot-uppsättningen, visat att i intervallet mellan –2 och 1/4, de allra flesta värden på c producera trevligt "hyperboliskt" beteende. (Matematikerna Jacek Graczyk och Grzegorz Swiatek oberoende bevisat resultatet ungefär samtidigt.) Detta betyder att motsvarande ekvationer, när de itereras, konvergerar till ett enda värde eller till en upprepad cykel av tal.

Ett decennium senare visade en trio matematiker att de flesta värderingar av c är hyperboliska inte bara för andragradsekvationer, utan för någon familj av riktiga polynom (mer allmänna funktioner som kombinerar variabler upphöjda till potenser, som x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). Och nu en av dem, Sebastian van Strien från Imperial College London, tror att han har ett bevis på denna egenskap för en ännu bredare ekvationsklass som kallas reella analytiska funktioner, som inkluderar sinus-, cosinus- och exponentialfunktioner. Van Strien hoppas kunna meddela resultatet i maj. Om det håller i sig efter peer review kommer det att markera ett stort framsteg i karakteriseringen av hur verkliga endimensionella system beter sig.

Osannolika korsningar och Entropy Bagels

Det finns oändligt många riktiga andragradsekvationer som, när de itereras från noll, är kända för att producera en upprepad cykel av tal. Men om du begränsar c till rationella värden — de som kan skrivas som bråk — genererar endast tre värden så småningom periodiska sekvenser: 0, –1 och –2. "Dessa dynamiska system är väldigt, väldigt speciella," sa Clayton Petsche vid Oregon State University.

In ett papper publicerade förra året, Petsche och Chatchai Noytaptim från University of Waterloo bevisade att de är ännu mer speciella än de verkar vid första anblicken. Matematikerna tittade på "helt verkliga" tal, som är mer restriktiva än reella tal men mindre restriktiva än rationella.

Om du kopplar in ett tal till ett polynom och får en utdata på noll, är det talet en lösning på, eller roten till, polynomet. Till exempel är 2 en rot av f(x) = x² - 4 f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30, och oändligt många andra ekvationer. Sådana polynom kan ha rötter som är verkliga eller rötter som är komplexa. (Till exempel rötterna till x² + 1 är kvadratroten ur –1, skrivet som i, och -i — båda komplexa tal.)

Ett tal är helt reellt om det uppfyller en polynomekvation med heltalskoefficienter som bara har reella rötter. Alla rationella tal är helt reella, men det är även vissa irrationella tal. Till exempel är $latex sqrt{2}$ helt verklig, eftersom det är en lösning på f(x) = x² – 2, som bara har riktiga rötter ($latex sqrt{2}$ och dess "syster"-rot $latex -sqrt{2}$). Men kubroten av 2, $latex sqrt[3]{2}$, är inte helt verklig. Det är en lösning på f(x) = x³ – 2, som har ytterligare två systerrötter, även kända som Galois-konjugat, som är komplexa.

Petsche och Noytaptim bevisade att det inte finns några irrationella helt reella tal som så småningom producerar periodiska cykler. Snarare är 0, –1 och –2 de enda helt reella talen som gör detta. De representerar en osannolik skärningspunkt mellan egenskaper från två till synes olika världar - talteori (studiet av heltal) och dynamiska system. Petsche och Noytaptim använde viktiga resultat från talteorin i sina bevis, vilket framhävde sambandet mellan de två fälten.

Matematikerna Xavier Buff och Sarah Koch hittade ännu en osannolik korsning. De visade att endast fyra helt verkliga värden på c — 1/4, –3/4, –5/4 och –7/4 — genererar sekvenser av en speciell, välförstådd typ som kallas en parabolcykel.

Galois-konjugat banade också vägen för upptäckten av ett mystiskt föremål kallat "entropibageln", en glödande fraktalring i det komplexa planet. Entropi är ett mått på slumpmässighet; i detta sammanhang mäter den hur svårt det är att förutsäga sekvensen av tal som genereras genom iteration x² + c. I sista papper han skrev innan han dog 2012, ritade den berömda topologen William Thurston en uppsättning entropivärden som motsvarar nästan en miljard olika verkliga värden av c — tillsammans med Galois-konjugaten av dessa entropivärden, som kan vara komplexa. Begreppet entropi "är bara på den verkliga linjen, men på något sätt kan du fortfarande se denna skugga av den komplexa världen," sa Tiozzo.

"Du ser att det här organiserar sig i denna otroliga spetsfraktalstruktur," sa Koch. "Det är så coolt." Entropibageln är bara ett mycket komplicerat mönster som uppstår från iterationen av verkliga andragradsekvationer. "Vi lär oss fortfarande alla dessa magiska uttalanden - små pärlor - om riktiga kvadratiska polynom," tillade hon. "Du kan alltid gå tillbaka och bli överraskad av det här du trodde att du visste mycket väl."