Det tog lång tid för Claire Voisin att bli kär i matematik.

Därmed inte sagt att hon någonsin ogillat ämnet. När hon växte upp i Frankrike – det tionde av 10 barn – njöt hon av att spendera timmar med att lösa matematikproblem med sin far, en ingenjör. När hon fyllde 12 hade hon börjat läsa en lärobok i algebra på egen hand, fascinerad av definitionerna och bevisen på dess sidor. "Det fanns all den här strukturen," sa hon. "Algebra är verkligen en teori om strukturer."

Men hon såg inte matematik som ett livslångt kall. Det var inte förrän på universitetsåren som hon insåg hur djupt och vackert det kunde vara - och att hon var kapabel att göra nya upptäckter. Fram till dess ägnade hon sig på allvar åt flera intressen förutom matematik: filosofi, måleri och poesi. ("När jag var 20, tror jag att jag bara sysslade med matematik och målade. Det var kanske lite överdrivet," skrattade hon.) I hennes tidiga 20-årsåldern hade matematiken sammanfattat allt annat. Men målning och poesi fortsatte att påverka henne. Hon ser matematik som en konst - och som ett sätt att tänja på och leka med språkets själva gränser.

Decennier senare, efter att ha blivit ledande inom området algebraisk geometri, har Voisin åter hittat tid att måla och göra lerskulpturer. Ändå fortsätter matematiken att uppta det mesta av hennes uppmärksamhet; hon föredrar att spendera sin tid på att utforska denna "annorlunda värld" där "det är som att du drömmer."

Voisin är seniorforskare vid det franska nationella centret för vetenskaplig forskning i Paris. Där studerar hon algebraiska varianter, som kan ses som former definierade av uppsättningar av polynomekvationer, hur en cirkel definieras av polynomet x² + y² = 1. Hon är en av världens främsta experter på Hodge-teori, en verktygslåda som matematiker använder för att studera nyckelegenskaper hos algebraiska varianter.

Voisin har vunnit en mängd priser för sitt arbete, inklusive Clay Research Award 2008, Heinz Hopf-priset 2015 och Shaw-priset för matematik 2017. I januari blev hon den första kvinnan som tilldelades Crafoord-priset i Matematik.

Quanta pratade med Voisin om matematikens kreativa natur. Intervjun har förtätats och redigerats för tydlighetens skull.

Du gillade matte som barn, men såg dig inte ägna dig åt det. Varför inte?

Det finns magin med ett bevis - känslan du känner när du förstår den, när du inser hur stark den är och hur stark den gör dig. Som barn kunde jag redan se detta. Och jag njöt av den koncentration som matematiken kräver. Det är något som jag, när jag blir äldre, finner mer och mer centralt i matematikpraktiken. Resten av världen försvinner. Hela din hjärna finns till för att studera ett problem. Det är en extraordinär upplevelse, en som är väldigt viktig för mig - att få dig själv att lämna världen av praktiska saker, att leva i en annan värld. Kanske är det därför min son tycker om att spela tv-spel så mycket.

Men det som gjorde mig till en senkomling till matematik, i någon mening, är att jag absolut inte är intresserad av spel. Det är inte för mig. Och på gymnasiet kändes matematik som en lek. Det var svårt för mig att ta det på allvar. Jag såg inte djupet i matematiken först. Inte ens när jag började upptäcka mycket intressanta bevis och teorem efter gymnasiet, trodde jag inte vid något tillfälle att jag kunde hitta på något själv, att jag kunde göra det till mitt.

Jag hade ett behov av något djupare, allvarligare, något som jag kunde göra till mitt.

Innan du hittade det i matte, var letade du efter det?

Jag gillade filosofin och dess insisterande på idén om ett koncept. Fram tills jag var runt 22 tillbringade jag mycket tid med att måla, särskilt figurativa bitar inspirerade av geometri. Och jag var väldigt förtjust i poesi - av Mallarmés, Baudelaires, René Chars verk. Jag levde redan i en sorts annan värld. Men det är normalt, tror jag, när man är yngre.

Men matematiken blev viktigare och viktigare. Det tar verkligen hela din hjärna. När du inte sitter vid ditt skrivbord och arbetar med ett specifikt problem, är ditt sinne fortfarande upptaget. Så ju mer jag gjorde matematik, desto mindre målade jag. Jag har nyligen börjat måla igen, nu när alla mina barn har lämnat huset och jag har mycket mer tid.

Vad fick dig att bestämma dig för att ägna det mesta av din kreativa energi åt matematik till slut?

Matematik blev mer och mer intressant för mig. Som magister och Ph.D. student, upptäckte jag att 20-talets matematik var något väldigt djupt och extraordinärt. Det var en värld av idéer och begrepp. Inom algebraisk geometri fanns den berömda revolutionen ledd av Alexander Grothendieck. Redan innan Grothendieck var det otroliga resultat. Så det är ett nytt område, med idéer som är vackra men också extremt kraftfulla. Hodge-teori, som jag studerar, var en del av det.

Det blev mer och mer tydligt att mitt liv fanns där. Naturligtvis hade jag ett familjeliv — man och fem barn — och andra plikter och aktiviteter. Men jag insåg att med matematik kunde jag skapa något. Jag kunde ägna mitt liv åt det, för det var så vackert, så spektakulärt, så intressant.

Du har skrivit tidigare om hur matematik är en kreativ strävan.

Jag är en professionell matematiker, så min arbetsdag är officiellt organiserad kring matematik. Jag sitter vid ett skrivbord; Jag jobbar på en dator. Men det mesta av min matteaktivitet sker inte under den tiden. Du behöver en ny idé, en bra definition, ett uttalande som du tror att du kommer att kunna utnyttja. Först då kan ditt arbete börja. Och det händer inte när jag sitter vid mitt skrivbord. Jag måste följa mitt sinne, hålla mig själv att tänka.

Det låter som att matematik är djupt personligt för dig. Har du upptäckt något om dig själv under processen?

När jag gör matematik måste jag för det mesta kämpa mot mig själv, eftersom jag är väldigt oordnad, jag är inte särskilt disciplinerad och jag tenderar också att bli deprimerad. Jag tycker inte att det är lätt. Men vad jag upptäckte är att vid vissa ögonblick – som på morgonen över frukosten, eller när jag går genom Paris gator eller gör något meningslöst som att städa – börjar min hjärna arbeta av sig själv. Jag inser att jag tänker på matematik, utan att ha tänkt det. Det är som att du drömmer. Jag är 62, och jag har ingen riktig metod för att göra bra matematik: jag väntar fortfarande mer eller mindre på det ögonblick då jag får lite inspiration.

Du arbetar med mycket abstrakta objekt — med högdimensionella utrymmen, med strukturer som tillfredsställer komplicerade ekvationer. Hur tänker du om en så abstrakt värld?

Det är inte så svårt, faktiskt. Den mest abstrakta definitionen, när du väl är bekant med den, är inte abstrakt längre. Det är som ett vackert berg som du ser väldigt bra, eftersom luften är väldigt klar och det finns ljus som låter dig se alla detaljer. För oss ser de matematiska objekt vi studerar konkreta ut, eftersom vi känner dem mycket bättre än något annat.

Naturligtvis finns det massor av saker att bevisa, och när du börjar lära dig något kan du lida på grund av abstraktionen. Men när du använder en teori – eftersom du förstår satserna – känner du dig faktiskt väldigt nära objekten i fråga, även om de är abstrakta. Genom att lära sig om föremålen, genom att manipulera dem och använda dem i matematiska argument, blir de i slutändan din vän.

Och detta kräver också att man ser dem från olika synvinklar?

Jag studerade inte algebraisk geometri från början. Jag arbetade med komplex analytisk och differentialgeometri. I analytisk geometri studerar du en mycket större klass av funktioner och de former som lokalt definieras av dessa funktioner. De har vanligtvis inte en global ekvation, till skillnad från i algebraisk geometri.

Jag ägnade inte så mycket uppmärksamhet åt den algebraiska synvinkeln först. Men ju äldre jag blir och ju mer jag jobbar inom det här området, desto mer ser jag nödvändigheten av att ha dessa två olika språk.

Det finns en otrolig sats, kallad GAGA, som är lite av ett skämt; det betyder "senil" på franska, men det står också för géometrie algébrique och géométrie analytique. Det står att man kan gå från ett språk till ett annat. Du kan göra en beräkning i komplex analytisk geometri om det är lättare, sedan återgå till algebraisk geometri.

Andra gånger ger algebraisk geometri dig möjligheten att studera en annan version av ett problem som kan ge extraordinära resultat. Jag har arbetat för att förstå algebraisk geometri som helhet, snarare än att bara fokusera på den komplexa geometriska sidan av det.

Det är intressant att du tänker på dessa som olika matematiska språk.

Språket är viktigt. Före matematiken finns språket. Mycket logik finns redan i språket. Vi har alla dessa logiska regler i matematik: kvantifierare, negationer, parenteser för att indikera rätt ordningsföljd. Men det är viktigt att inse att alla dessa regler som är livsviktiga för matematiker redan finns i vårt vardagliga språk.

Du kan jämföra en matematisk sats med en dikt. Det är skrivet med ord. Det är en produkt av språket. Vi har bara våra matematiska objekt för att vi använder språk, för att vi använder vardagliga ord och ger dem en specifik betydelse. Så man kan jämföra poesi och matematik, genom att de båda helt förlitar sig på språket men ändå skapar något nytt.

Du drogs till matematik på grund av Grothendiecks revolution inom algebraisk geometri. Han skapade i huvudsak ett nytt språk för att göra den här typen av matematik.

Höger.

Finns det sätt på vilka det matematiska språket du använder nu fortfarande kan behöva ändras?

Matematiker omarbetar hela tiden sitt språk. Det är synd, för det gör äldre tidningar ganska svåra att läsa. Men vi omarbetar tidigare matematik eftersom vi förstår det bättre. Det ger oss ett bättre sätt att skriva och bevisa satser. Detta var fallet med Grothendieck, med hans tillämpning av kärvekohomologi på geometri. Det är verkligen spektakulärt.

Det är viktigt att bli bekant med objektet du studerar, till den grad att det för dig är som ett modersmål. När en teori börjar bildas tar det tid att komma på de rätta definitionerna och att förenkla allt. Eller kanske är det fortfarande väldigt komplicerat, men vi blir mycket mer bekanta med definitionerna och objekten; det blir mer naturligt att använda dem.

Det är en kontinuerlig utveckling. Vi måste hela tiden skriva om och förenkla, för att teoretisera om vad som är viktigt, om vilka verktyg vi ska göra tillgängliga.

Har du behövt införa nya definitioner i ditt arbete?

Ibland. I arbete jag gjorde med János Kollár, det var en vändpunkt där vi äntligen kunde hitta den rätta synen på problemet - genom en viss definition. Detta var ett mycket klassiskt problem, och vi arbetade med klassiska verktyg, men vårt bevis var egentligen baserat på denna definition som vi satte upp.

I ett annat fall, Olivier Debarre, Daniel Huybrechts, Emanuele Macrì och jag visade sig vara trevlig klassificeringsresultat om föremål som kallas hyper-Kähler-grenrör. Och utgångspunkten för det beviset var introduktionen av en invariant, som vi ursprungligen kallade "a."[skrattar.]

Du kanske underskattar betydelsen av definitioner i matematik, men du borde inte.

Definitioner och språk är inte de enda styrande krafterna i matematik. Det är också gissningar, som kanske eller kanske inte är sanna. Du har till exempel gjort mycket arbete med Hodge-förmodan, ett Clay-millennieproblem vars lösning kommer med en 1 miljon belöning.

Säg att du har en algebraisk variant som du vill förstå. Så du går till sidan med komplex-analytisk geometri och betraktar den istället som vad som är känt som ett komplext grenrör. Du kan tänka på en komplex mångfald i termer av dess globala form eller topologi. Det finns ett objekt, som kallas homologi, som ger dig mycket topologisk information om grenröret. Men det är inte så lätt att definiera.

Tänk nu på algebraiska undervarianter i din ursprungliga variant. Var och en kommer att ha en topologisk invariant, viss topologisk information kopplad till sig. Vilken del av det komplexa grenrörets homologi kan erhållas genom att titta på dessa topologiska invarianter?

Hodge-förmodan ger ett specifikt svar. Och svaret är mycket subtilt.

Så matematiker är inte säkra på om Hodge-förmodan kommer att bli sann eller falsk?

Du vill tro på Hodge-förmodan, eftersom den är en sådan guide i stora teorier inom algebraisk geometri.

Du skulle verkligen vilja förstå de viktigaste egenskaperna hos en algebraisk variant. Och om Hodge-förmodan är sann, skulle det ge dig otrolig kontroll över din sorts geometri. Du får mycket viktig information om sorters struktur.

Det finns några starka skäl att tro på det. Särskilda fall av Hodge-förmodan är kända. Och det finns många djupa uttalanden om algebraiska varianter som antyder att Hodge-förmodan är sann.

Men det har nästan varit en fullständig brist på framsteg mot att bevisa det. Jag bevisade också att det inte finns något sätt att utöka Hodge-förmodan till en annan miljö där det verkar naturligt. Så det var lite av en chock.

Efter decennier som matematiker, känner du att du gör matte ännu djupare nu?

Nu när jag är äldre har jag mycket mer tid att lägga min energi på matematik, att verkligen vara närvarande i det. Jag har också en bättre förmåga att gå hit och dit. Tidigare, kanske för att jag hade mindre tid, hade jag mindre rörlighet – även om det inte heller är bra att vara för rörlig, bara röra vid problem utan att hålla fast vid dem. Nu är jag mer erfaren, och jag kan bygga min egen bild.

Du har en mycket bättre bild av det du inte vet, av öppna problem. Du har en detaljerad bild av ditt fält och dess gränser. Det måste finnas några bra aspekter av att bli äldre. Och det finns fortfarande så mycket att göra.