Sprid ut tre punkter i ett plan och mät sedan avstånden mellan varje par av dem. Med all sannolikhet hittar du tre olika avstånd. Men om du ordnar punkterna i en liksidig triangel, så är varje avstånd detsamma. I ett plan är detta omöjligt att göra med fyra punkter. Det minsta antalet avstånd du kan konstruera är 2 — kanterna och diagonalerna på en kvadrat.

Men om du lyfter upp en av punkterna från planet för att skapa en pyramid, vars sidor är en liksidig triangel, kommer du att ha en uppsättning av fyra punkter som är åtskilda av ett unikt avstånd — längden på en sida av triangeln.

Om du har många poäng blir dessa mönster ännu mer uttalade. Hundra slumpmässigt spridda punkter i ett plan kommer sannolikt att definiera 4,950 100 distinkta parvisa avstånd. Men om du ordnar 50 punkter i ett platt, kvadratiskt rutnät, kommer alla punkter att separeras med en av bara XNUMX möjliga avstånd. Lyft punkterna till ett tredimensionellt rutnät så kan du minska det antalet ytterligare.

Att svara på frågor om antalet avstånd mellan punkter kan låta som en esoterisk övning. Men i den decennier långa strävan att lösa sådana problem har matematiker utvecklat verktyg som har en lång rad andra tillämpningar, från talteori till fysik.

"När folk försökte lösa problemet," sa Pablo Shmerkin från University of British Columbia, "började de upptäcka kopplingar som var överraskande och oväntade."

Den senaste utvecklingen kom i slutet av förra året, då ett samarbete mellan fyra matematiker bevisade ett nytt förhållande mellan geometrin för uppsättningar av punkter och avstånden mellan dem.

Listan över olika avstånd som bestäms av en uppsättning punkter kallas dess avståndsuppsättning; räkna hur många nummer som finns i den listan, så får du avståndsuppsättningens storlek. 1946 antog den produktive matematikern Paul Erdős att för ett stort antal punkter kan avståndet inte vara mindre än vad du får när du ordnar punkterna i ett rutnät. Problemet, även om det var enkelt i ansiktet, visade sig vara extremt djupt och svårt. Även i två dimensioner har det fortfarande inte bevisats helt, även om två matematiker 2010 kom så nära att det nu anses vara effektivt löst; den förblir öppen i högre dimensioner.

Samtidigt formulerade matematiker också nya versioner av gissningarna. En av de viktigaste av dessa uppstod i en 1985 papper by Kenneth Falconer, en matematiker vid University of St. Andrews i Skottland. Falconer undrade vad som kan sägas om de distinkta avstånden mellan ett oändligt antal punkter.

Om du har oändligt många poäng är det inte längre särskilt användbart att bara räkna. Men matematiker har andra sätt att definiera storlek. Falconers gissning antyder ett samband mellan geometrin hos uppsättningen punkter - kännetecknad av ett tal som kallas fraktaldimensionen - och storleken på avståndsuppsättningen, som kännetecknas av ett tal som kallas måttet.

Den fraktala dimensionen överensstämmer med vanlig intuition om dimensioner. Precis som med det mer välbekanta dimensionsbegreppet har ett linjesegment fraktaldimensionen 1, medan en kvadrat (med dess inre ifylld) har fraktaldimensionen 2. Men om en samling punkter bildar ett mer komplicerat fraktalt mönster — som en kurva där mikroskopiska vändningar fortsätter att dyka upp oavsett hur långt du zoomar in - dess fraktala dimension kanske inte är ett heltal. Till exempel har Koch-snöflingekurvan som visas nedan, som har en oändlig serie av allt mindre triangulära gupp, en dimension på cirka 1.26.

I allmänhet har en oändlig samling punkter en fraktal dimension som ungefär beror på hur spridd den är. Om den är spridd runt planet kommer dess fraktala dimension att vara nära 2. Om den ser mer ut som en linje kommer dess fraktala dimension att vara nära 1. Samma typer av strukturer kan definieras för uppsättningar av punkter i tredimensionellt rymden , eller i ännu högre dimensioner.

På andra sidan av Falconers gissning finns måttet på avståndet. Mått är en sorts matematisk generalisering av begreppet längd. Ett enstaka tal, som kan representeras som en punkt på en tallinje, har nollmått. Men även oändliga mängder kan ha nollmått. Till exempel är heltalen så tunt spridda bland de reella talen att de inte har någon kollektiv "längd" och bildar därför en uppsättning av måtten noll. Å andra sidan har de reella talen mellan till exempel 3/4 och 1 måttet 1/4, för det är så långt intervallet är.

Måttet ger ett sätt att karakterisera storleken på uppsättningen distinkta avstånd bland oändligt många punkter. Om antalet avstånd är "litet" betyder det att avståndsuppsättningen kommer att ha måttet noll: Det finns många dubblerade avstånd. Om, å andra sidan, avståndsuppsättningen har ett mått som är större än noll, betyder det att det finns många olika avstånd.

I två dimensioner bevisade Falconer att varje uppsättning punkter med fraktal dimension större än 1.5 har ett avstånd som inte är nollmått. Men matematiker kom snabbt att tro att detta var sant för alla uppsättningar med en fraktal dimension större än 1. "Vi försöker lösa detta 1/2 gap," sa Yumeng Ou från University of Pennsylvania, en av medförfattarna till den nya artikeln. Dessutom sträcker sig Falconers gissningar till tre eller flera dimensioner: För punkter utspridda i en d-dimensionellt utrymme, står det att om punkternas fraktala dimension är mer än d/2, då måste måttet på avståndet vara större än 0.

Under 2018 har Ou, tillsammans med kollegor, visade att gissningen håller i två dimensioner för alla uppsättningar med fraktal dimension större än 5/4. Nu Ou — tillsammans med Xiumin Du vid Northwestern University, Ruixiang Zhang från University of California, Berkeley, och Kevin Ren vid Princeton University — har visat att i högre dimensioner är tröskeln för att säkerställa ett avstånd som är inställt med icke-nollmått lite mindre än d/2 + 1/4. "Gränserna i högre dimensioner, i denna uppsats, för första gången någonsin, är bättre än i dimension 2," sa Shmerkin. (I två dimensioner är tröskeln exakt d/2 + 1/4.)

Detta senaste resultat är bara en in en våg av de senaste framstegen on Falconers gissningar. Beviset förfinade tekniker inom harmonisk analys - ett till synes avlägset område av matematik som handlar om att representera godtyckligt komplicerade funktioner i termer av enkla vågor - för att stärka gränsen. Men några av dessa tekniker utvecklades först för att ta itu med samma problem.

Denna fråga om avstånd mellan punkter "har fungerat som en lekplats för några av de största idéerna inom harmonisk analys," sa Alex Iosevich vid University of Rochester.

Även om de bara har täppt till hälften av den lucka som Falconer lämnade i hans uppsats från 1985, ser matematiker den senaste tidens ström av arbete som ett bevis på att hela gissningen äntligen kan vara inom räckhåll. Under tiden kommer de att fortsätta använda problemet som en testplats för sina mest sofistikerade verktyg.