Demorou muito para Claire Voisin se apaixonar pela matemática.

Isso não quer dizer que ela nunca tenha gostado do assunto. Crescendo na França – a décima de 10 filhos – ela gostava de passar horas resolvendo problemas de matemática com seu pai, um engenheiro. Quando completou 12 anos, ela começou a ler sozinha um livro de álgebra do ensino médio, fascinada pelas definições e provas descritas em suas páginas. “Havia toda essa estrutura”, disse ela. “A álgebra é realmente uma teoria de estruturas.”

Mas ela não via a matemática como uma vocação para toda a vida. Foi só nos anos de universidade que ela reconheceu o quão profundo e belo poderia ser - e que ela era capaz de fazer novas descobertas. Até então, ela perseguia seriamente vários interesses além da matemática: filosofia, pintura e poesia. (“Quando eu tinha 20 anos, acho que fazia apenas matemática e pintura. Isso talvez fosse um pouco excessivo”, ela riu.) Aos 20 e poucos anos, a matemática já havia incluído todo o resto. Mas a pintura e a poesia continuaram a influenciá-la. Ela vê a matemática como uma arte – e como uma forma de desafiar e brincar com os limites da linguagem.

Décadas depois, após se tornar líder no campo da geometria algébrica, Voisin encontrou novamente tempo para pintar e fazer esculturas em argila. Ainda assim, a matemática continua a ocupar a maior parte da sua atenção; ela prefere passar o tempo explorando esse “mundo diferente” onde “é como se você estivesse sonhando”.

Voisin é pesquisador sênior do Centro Nacional Francês de Pesquisa Científica em Paris. Lá, ela estuda variedades algébricas, que podem ser pensadas como formas definidas por conjuntos de equações polinomiais, da mesma forma que um círculo é definido pelo polinômio x² + y² = 1. Ela é uma das maiores especialistas do mundo na teoria de Hodge, um kit de ferramentas que os matemáticos usam para estudar propriedades-chave de variedades algébricas.

Voisin ganhou vários prêmios por seu trabalho, incluindo o Clay Research Award em 2008, o Prêmio Heinz Hopf em 2015 e o Prêmio Shaw de matemática em 2017. Em janeiro, ela se tornou a primeira mulher a receber o Prêmio Crafoord em Matemática.

Quanta conversou com Voisin sobre a natureza criativa da matemática. A entrevista foi condensada e editada para maior clareza.

Você gostava de matemática quando criança, mas não se imaginava praticando isso. Por que não?

Existe a magia de uma prova – a emoção que você sente quando a compreende, quando percebe o quão forte ela é e o quão forte ela torna você. Quando criança, eu já conseguia ver isso. E gostei da concentração que a matemática exige. É algo que, à medida que envelheço, considero cada vez mais central para a prática da matemática. O resto do mundo desaparece. Todo o seu cérebro existe para estudar um problema. É uma experiência extraordinária, que é muito importante para mim — sair do mundo das coisas práticas, para habitar um mundo diferente. Talvez seja por isso que meu filho gosta tanto de jogar videogame.

Mas o que me tornou um retardatário na matemática, em certo sentido, é que não estou absolutamente interessado em jogos. Não é para mim. E no ensino médio, a matemática parecia um jogo. Foi difícil para mim levar isso a sério. Eu não vi as profundezas da matemática no início. Mesmo quando comecei a descobrir provas e teoremas muito interessantes depois do ensino médio, em nenhum momento pensei que poderia inventar algo sozinho, que poderia torná-lo meu.

Eu precisava de algo mais profundo, mais sério, algo que pudesse tornar meu.

Antes de descobrir isso em matemática, onde você procurou isso?

Gostei da filosofia e de sua insistência na noção de conceito. Além disso, até os 22 anos, passei muito tempo pintando, principalmente peças figurativas inspiradas na geometria. E eu gostava muito de poesia — da obra de Mallarmé, de Baudelaire, de René Char. Eu já estava vivendo em um mundo meio diferente. Mas isso é normal, eu acho, quando você é mais jovem.

Mas a matemática tornou-se cada vez mais importante. Realmente exige todo o seu cérebro. Quando você não está em sua mesa trabalhando em um problema específico, sua mente ainda está ocupada. Então, quanto mais eu fazia matemática, menos eu pintava. Só recentemente voltei a pintar, agora que todos os meus filhos saíram de casa e tenho muito mais tempo.

O que fez você decidir dedicar a maior parte de sua energia criativa à matemática?

A matemática tornou-se cada vez mais interessante para mim. Como mestrado e doutorado. estudante, descobri que a matemática do século 20 era algo muito profundo e extraordinário. Era um mundo de ideias e conceitos. Na geometria algébrica, ocorreu a famosa revolução liderada por Alexander Grothendieck. Mesmo antes de Grothendieck, houve resultados incríveis. Então é um campo recente, com ideias lindas, mas também extremamente poderosas. A teoria de Hodge, que estudo, fazia parte disso.

Tornou-se cada vez mais claro que minha vida estava lá. Claro, eu tinha uma vida familiar – marido e cinco filhos – e outros deveres e atividades. Mas percebi que com a matemática poderia criar algo. Eu poderia dedicar minha vida a isso, porque era tão lindo, tão espetacular, tão interessante.

Você já escreveu sobre como a matemática é um empreendimento criativo.

Sou um matemático profissional, então meu dia de trabalho é oficialmente organizado em torno da matemática. Sento-me em uma mesa; Eu trabalho em um computador. Mas a maior parte da minha atividade matemática não acontece durante esse período. Você precisa de uma ideia nova, de uma boa definição, de uma declaração que você acha que será capaz de explorar. Só então seu trabalho pode começar. E isso não acontece quando estou na minha mesa. Preciso seguir minha mente, para me manter pensando.

Parece que a matemática é profundamente pessoal para você. Você descobriu alguma coisa sobre você no processo?

Fazendo matemática, na maioria das vezes eu tenho que lutar contra mim mesmo, porque sou muito desordenado, não sou muito disciplinado e também tenho tendência a ficar deprimido. Não acho que seja fácil. Mas o que descobri é que em alguns momentos – como de manhã durante o café da manhã, ou quando estou andando pelas ruas de Paris ou fazendo algo estúpido como limpar – meu cérebro começa a funcionar sozinho. Percebo que estou pensando em matemática, sem querer. É como se você estivesse sonhando. Tenho 62 anos e não tenho nenhum método real para fazer boa matemática: ainda espero mais ou menos o momento em que recebo alguma inspiração.

Você trabalha com objetos muito abstratos – com espaços de alta dimensão, com estruturas que satisfazem equações complicadas. Como você pensa sobre um mundo tão abstrato?

Não é tão difícil, na verdade. A definição mais abstrata, uma vez familiarizada com ela, não é mais abstrata. É como uma montanha linda que você vê muito bem, porque o ar é muito limpo e há luz que permite ver todos os detalhes. Para nós, os objetos matemáticos que estudamos parecem concretos, porque os conhecemos muito melhor do que qualquer outra coisa.

Claro, há muitas coisas para provar, e quando você começa a aprender alguma coisa, pode sofrer por causa da abstração. Mas quando você usa uma teoria – porque você entende os teoremas – você de fato se sente muito próximo dos objetos em questão, mesmo que eles sejam abstratos. Ao aprender sobre os objetos, ao manipulá-los e usá-los em argumentos matemáticos, eles acabam se tornando seus amigos.

E isso também exige vê-los sob diferentes pontos de vista?

Eu não estudei geometria algébrica originalmente. Trabalhei com geometria analítica e diferencial complexa. Na geometria analítica, você estuda uma classe muito maior de funções e as formas que são definidas localmente por essas funções. Eles geralmente não têm uma equação global, ao contrário da geometria algébrica.

Não prestei muita atenção ao ponto de vista algébrico no início. Mas quanto mais envelheço e quanto mais trabalho nessa área, mais vejo a necessidade de ter essas duas linguagens diferentes.

Existe um teorema incrível, chamado GAGA, que é meio que uma piada; significa “senil” em francês, mas também significa geometria algébrica e geometria analítica. Diz que você pode passar de um idioma para outro. Você pode fazer um cálculo em geometria analítica complexa se for mais fácil e depois voltar para a geometria algébrica.

Outras vezes, a geometria algébrica dá-lhe a possibilidade de estudar uma versão diferente de um problema que pode dar resultados extraordinários. Trabalhei para compreender a geometria algébrica como um todo, em vez de focar apenas no lado da geometria complexa.

É interessante que você pense nelas como linguagens matemáticas diferentes.

A linguagem é essencial. Antes da matemática, existe a linguagem. Muita lógica já está dentro da linguagem. Temos todas essas regras lógicas em matemática: quantificadores, negações, parênteses para indicar a ordem correta das operações. Mas é importante perceber que todas estas regras que são vitais para os matemáticos já estão na nossa linguagem quotidiana.

Você poderia comparar um teorema matemático a um poema. Está escrito em palavras. É um produto da linguagem. Só temos os nossos objetos matemáticos porque usamos a linguagem, porque usamos palavras do quotidiano e lhes damos um significado específico. Portanto, você pode comparar poesia e matemática, pois ambas dependem completamente da linguagem, mas ainda assim criam algo novo.

Você foi atraído pela matemática por causa da revolução de Grothendieck na geometria algébrica. Ele essencialmente criou uma nova linguagem para fazer esse tipo de matemática.

Certo.

Existem maneiras pelas quais a linguagem matemática que você está usando agora ainda precisa mudar?

Os matemáticos reformulam constantemente sua linguagem. É uma pena, porque torna os artigos mais antigos bastante difíceis de ler. Mas retrabalhámos a matemática passada porque a compreendemos melhor. Isso nos dá uma maneira melhor de escrever e provar teoremas. Este foi o caso de Grothendieck, com sua aplicação da cohomologia de feixes à geometria. É realmente espetacular.

É importante se familiarizar com o objeto que você estuda, a ponto de que para você ele seja como uma língua nativa. Quando uma teoria começa a se formar, leva tempo para descobrir as definições corretas e para simplificar tudo. Ou talvez ainda seja muito complicado, mas ficamos muito mais familiarizados com as definições e os objetos; torna-se mais natural usá-los.

É uma evolução contínua. Temos constantemente que reescrever e simplificar, teorizar sobre o que é importante, sobre quais ferramentas disponibilizar.

Você teve que introduzir novas definições em seu trabalho?

Às vezes. Em trabalho que eu fiz de János Kollár, houve um ponto de viragem em que finalmente conseguimos encontrar a visão correta do problema – através de uma certa definição. Este era um problema muito clássico e trabalhamos com ferramentas clássicas, mas a nossa prova foi realmente baseada nesta definição que estabelecemos.

Em outro caso, Olivier Debarre, Daniel Huybrechts, Emanuele Macrì e eu me provei um bom resultado de classificação sobre objetos chamados variedades hiper-Kähler. E o ponto de partida para essa prova foi a introdução de um invariante, que originalmente chamamos de “a."Risos.]

Você pode subestimar a importância das definições em matemática, mas não deveria.

As definições e a linguagem não são as únicas forças orientadoras da matemática. O mesmo acontece com as conjecturas, que podem ou não ser verdadeiras. Por exemplo, você trabalhou muito na conjectura de Hodge, um problema do milênio de Clay cuja solução vem com um Recompensa de $ 1 milhões.

Digamos que você tenha uma variedade algébrica que deseja compreender. Então você vai para o lado da geometria analítica complexa e a considera como o que é conhecido como variedade complexa. Você pode pensar em uma variedade complexa em termos de sua forma global ou topologia. Existe um objeto, chamado homologia, que fornece muitas informações topológicas sobre a variedade. Mas não é tão fácil de definir.

Agora considere as subvariedades algébricas dentro da sua variedade original. Cada um terá um invariante topológico, certas informações topológicas associadas a ele. Qual parte da homologia da variedade complexa pode ser obtida observando esses invariantes topológicos?

A conjectura de Hodge dá uma resposta específica. E a resposta é muito sutil.

Então os matemáticos não têm certeza se a conjectura de Hodge acabará sendo verdadeira ou falsa?

Você quer acreditar na conjectura de Hodge, porque ela é um guia nas principais teorias da geometria algébrica.

Você realmente gostaria de compreender as principais propriedades de uma variedade algébrica. E se a conjectura de Hodge for verdadeira, isso lhe daria um controle incrível da geometria da sua variedade. Você obteria informações muito importantes sobre a estrutura das variedades.

Existem algumas razões fortes para acreditar nisso. São conhecidos casos particulares da conjectura de Hodge. E há muitas declarações profundas sobre variedades algébricas que sugerem que a conjectura de Hodge é verdadeira.

Mas tem havido quase uma completa falta de progresso para provar isso. Também provei que não há como estender a conjectura de Hodge a outro cenário onde ela pareceria natural. Então isso foi um pouco chocante.

Depois de décadas trabalhando como matemático, você sente que está fazendo matemática ainda mais profundamente agora?

Agora que estou mais velho, tenho muito mais tempo para gastar minha energia na matemática, para estar realmente presente nela. Eu também tenho uma capacidade melhor de ir aqui e ali. No passado, talvez por ter menos tempo, tinha menos mobilidade – embora ter muita mobilidade, apenas tocar nos problemas sem se ater a eles, também não seja bom. Agora estou mais experiente e posso construir minha própria imagem.

Você tem uma imagem muito melhor do que não sabe, dos problemas em aberto. Você tem uma visão detalhada do seu campo e suas fronteiras. Deve haver alguns aspectos positivos em envelhecer. E ainda há muito o que fazer.