Em outubro, um foguete Falcon Heavy está programado para ser lançado do Cabo Canaveral, na Flórida, transportando a missão Europa Clipper da NASA. A missão de 5 mil milhões de dólares foi concebida para descobrir se Europa, a quarta maior lua de Júpiter, pode sustentar vida. Mas como Europa é constantemente bombardeada por intensa radiação criada pelo campo magnético de Júpiter, a sonda Clipper não consegue orbitar a própria lua. Em vez disso, deslizará para uma órbita excêntrica em torno de Júpiter e recolherá dados passando repetidamente por Europa – 53 vezes no total – antes de recuar do pior da radiação. Cada vez que a sonda orbita Júpiter, o seu caminho será ligeiramente diferente, garantindo que poderá tirar fotografias e recolher dados desde os pólos de Europa até ao seu equador.

Para planejar passeios complicados como este, os planejadores de trajetória usam modelos de computador que calculam meticulosamente a trajetória, um passo de cada vez. O planeamento tem em conta centenas de requisitos de missão e é reforçado por décadas de investigação matemática sobre órbitas e como juntá-las em viagens complicadas. Os matemáticos estão agora a desenvolver ferramentas que esperam poder ser utilizadas para criar uma compreensão mais sistemática de como as órbitas se relacionam entre si.

“O que temos são os cálculos anteriores que fizemos, que nos guiam enquanto fazemos os cálculos atuais. Mas não é uma imagem completa de todas as opções que temos”, disse Daniel Scheeres, engenheiro aeroespacial da Universidade do Colorado, Boulder.

“Acho que essa foi minha maior frustração quando era estudante”, disse Dayung Koh, engenheiro do Laboratório de Propulsão a Jato da NASA. “Eu sei que essas órbitas estão lá, mas não sei por quê.” Dado o custo e a complexidade das missões às luas de Júpiter e Saturno, não saber por que as órbitas estão onde estão é um problema. E se houver uma órbita completamente diferente que possa realizar o trabalho com menos recursos? Como disse Koh: “Encontrei todos eles? Existem mais? Eu não posso dizer isso.”

Depois de obter seu doutorado na Universidade do Sul da Califórnia em 2016, Koh ficou interessada em como as órbitas podem ser catalogadas em famílias. As órbitas jovianas que estão longe de Europa formam essa família; o mesmo acontece com as órbitas próximas de Europa. Mas outras famílias são menos óbvias. Por exemplo, para quaisquer dois corpos, como Júpiter e Europa, existe um ponto intermediário onde os efeitos gravitacionais dos dois corpos se equilibram para criar pontos estáveis. A nave espacial pode orbitar este ponto, mesmo que não haja nada no centro da órbita. Essas órbitas formam uma família chamada órbitas de Lyapunov. Adicione um pouco de energia a essa órbita acionando o motor de uma espaçonave e, a princípio, você permanecerá na mesma família. Mas adicione o suficiente e você passará para outra família – digamos, uma que inclua Júpiter em suas órbitas. Algumas famílias de órbita podem exigir menos combustível do que outras, permanecer sempre expostas à luz solar ou ter outros recursos úteis.

Em 2021, Koh encontrou um artigo que discutia como lidar com órbitas caóticas da perspectiva da geometria simplética, um campo abstrato da matemática que geralmente está muito distante dos detalhes confusos do mundo real. Ela começou a suspeitar que a geometria simplética poderia ter as ferramentas de que precisava para entender melhor as órbitas e entrou em contato com Agustín Moreno, o autor do artigo. Moreno, então pós-doutorando na Universidade de Uppsala, na Suécia, ficou surpreso e satisfeito ao saber que alguém da NASA estava interessado em seu trabalho. “Foi inesperado, mas também bastante interessante e motivador ao mesmo tempo”, disse ele.

Os dois começaram a trabalhar juntos, procurando aplicar as técnicas abstratas de Moreno ao sistema Júpiter-Europa e a Saturno e à sua lua Encélado, que, tal como Europa, pode ter vida no seu oceano subterrâneo. No ano passado, juntamente com outros colaboradores, escreveram uma série de artigos que criar uma estrutura para catalogando órbitas. Em janeiro, Moreno, hoje professor da Universidade de Heidelberg, concluiu um primeiro rascunho que transformou seu trabalho de pesquisa em um relatório. livro sobre o assunto. Com o livro, ele quer tornar o campo abstrato da geometria simplética útil para engenheiros que estão tentando planejar missões espaciais. Se tiver sucesso, reunirá campos de investigação que se distanciaram ao longo dos séculos.

Não há caminho real para a geometria

A geometria simplética tem suas raízes na física. Para dar um exemplo simples, imagine um pêndulo. Seu movimento pode ser descrito por dois parâmetros: ângulo e velocidade. Se a velocidade for baixa o suficiente, o pêndulo oscilará para frente e para trás. Se a velocidade for maior, ele girará em círculo. Em um pêndulo idealizado sem atrito, uma vez escolhido o ângulo inicial e a velocidade, o comportamento do sistema é determinado para todo o tempo.

Você pode criar um gráfico com o ângulo como x-eixo e a velocidade como o y-eixo. Mas como viajar 360 graus traz você de volta ao início, você pode costurar as linhas verticais onde x é zero grau e onde x é 360 graus. Isso forma um cilindro. O cilindro não reflete diretamente a realidade física – não mostra os caminhos traçados pelo pêndulo – em vez disso, cada ponto nele representa um estado particular do pêndulo. O cilindro, juntamente com as leis que determinam os caminhos que o pêndulo pode seguir, forma um espaço simplético.

Desde o início do século XVII, quando Johannes Kepler formulou as suas leis, os físicos e os matemáticos têm uma compreensão sólida sobre como descrever o movimento de dois corpos sujeitos à gravidade. Dependendo da velocidade com que se movem, seus caminhos formam uma elipse, parábola ou hipérbole. Os espaços simpléticos correspondentes são mais complicados que os de um pêndulo, mas ainda assim tratáveis. Mas a introdução de um terceiro objeto torna impossível calcular soluções analíticas exatas. E só fica mais complicado se você adicionar mais corpos ao modelo. “Sem essa visão analítica, quase sempre estamos, em algum nível, atirando no escuro”, disse Scheeres.

Uma espaçonave que pode se mover livremente em qualquer direção – da direita para a esquerda, de cima para baixo e da frente para trás – precisa de três coordenadas para descrever sua posição e mais três para descrever sua velocidade. Isso cria um espaço simplético de seis dimensões. Para descrever o movimento de três corpos, como Júpiter, Europa e uma nave espacial, são necessárias 18 dimensões: seis por corpo. A geometria do espaço é definida não apenas pelo número de dimensões que possui, mas também pelas curvas que mostram como o sistema físico descrito evolui ao longo do tempo.

Moreno e Koh trabalharam numa versão “restrita” do problema dos três corpos, onde um dos corpos (a nave espacial) é tão pequeno que não tem impacto nos outros dois (Júpiter e Europa). Para simplificar ainda mais as coisas, os pesquisadores presumiram que a órbita da Lua era perfeitamente circular. Você pode considerar sua órbita circular como um pano de fundo estável contra o qual considerar o caminho da sonda espacial. O espaço simplético só precisa levar em conta a posição e a velocidade da espaçonave, uma vez que o movimento de Júpiter e Europa pode ser facilmente descrito. Portanto, em vez de ter 18 dimensões, o espaço simplético correspondente é hexadimensional. Quando um caminho neste espaço hexadimensional forma um loop, ele representa uma órbita periódica da espaçonave através do sistema planeta-lua.

Quando Koh contatou Moreno, ela estava curiosa sobre casos em que adicionar apenas um pouquinho de energia fazia com que a órbita de uma espaçonave saltasse de uma família para outra. Esses pontos de encontro entre famílias de órbitas são chamados de pontos de bifurcação. Muitas vezes muitas famílias se reúnem em um único ponto. Isso os torna particularmente úteis para planejadores de trajetória. “Compreender a estrutura de bifurcação fornece um roteiro sobre onde existem trajetórias interessantes que você deve observar”, disse Scheeres. Koh queria saber como identificar e prever pontos de bifurcação.

Depois de ouvir Koh, Moreno recrutou alguns outros geômetras: Urs Frauenfelder da Universidade de Augsburgo, Cengiz Aydin da Universidade de Heidelberg, e Otto van Koert da Universidade Nacional de Seul. Frauenfelder e van Koert estudaram há muito tempo o problema dos três corpos usando geometria simplética, até mesmo descobrindo uma potencial nova família de órbitas. Mas embora os engenheiros que planeiam missões espaciais tenham utilizado uma miríade de ferramentas matemáticas, nas últimas décadas têm sido intimidados pela crescente abstracção da geometria simplética.

Ao longo dos meses seguintes, o engenheiro e os quatro matemáticos aprenderam lentamente sobre as áreas um do outro. “Quando você faz um trabalho interdisciplinar, leva um tempo para, digamos, superar as barreiras linguísticas”, disse Moreno. “Mas depois de fazer o trabalho paciente, começa a valer a pena.”

O Kit de Ferramentas

A equipe reuniu uma série de ferramentas que espera que sejam úteis para os planejadores de missões. Uma das ferramentas é um número chamado índice de Conley-Zehnder, que pode ajudar a determinar quando duas órbitas pertencem à mesma família. Para calculá-lo, os pesquisadores examinam pontos que estão próximos – mas não dentro – da órbita que desejam estudar. Imagine, por exemplo, que uma nave espacial segue uma órbita elíptica em torno de Júpiter, influenciada pela gravidade de Europa. Se você desviá-lo de seu caminho, sua nova trajetória imitará a órbita original, mas apenas de maneira grosseira. O novo caminho irá espiralar em torno da órbita original, voltando a um ponto ligeiramente diferente depois de circundar Júpiter. O índice Conley-Zehnder é uma medida de quanta espiral ocorre.

Surpreendentemente, o índice de Conley-Zehnder não depende das especificidades de como você empurra a espaçonave – é um número associado a toda a órbita. Além do mais, é o mesmo para todas as órbitas da mesma família. Se você calcular o índice de Conley-Zehnder para duas órbitas e obtiver dois números diferentes, poderá ter certeza de que as órbitas são de famílias diferentes.

Outra ferramenta, chamada número de Floer, pode sugerir famílias de órbitas não descobertas. Suponha que várias famílias colidam num ponto de bifurcação quando a energia atinge um determinado número, e várias outras famílias se ramificam a partir desse ponto de bifurcação quando a energia é mais alta. Isto forma uma teia de famílias cujo eixo central é a bifurcação.

Você pode calcular o número de Floer associado a este ponto de bifurcação como uma função simples dos índices de Conley-Zehnder associados a cada família relevante. Você pode calcular esta função tanto para todas as famílias que têm energia um pouco menor que o ponto de bifurcação quanto para famílias cuja energia é maior. Se os dois números de Floer forem diferentes, é uma pista de que existem famílias ocultas ligadas ao seu ponto de bifurcação.

“O que estamos fazendo é fornecer ferramentas com as quais os engenheiros testam seus algoritmos”, disse Moreno. As novas ferramentas são projetadas principalmente para ajudar os engenheiros a entender como as famílias de órbitas se encaixam e para incentivá-los a procurar novas famílias quando necessário; não se destina a substituir as técnicas de localização de trajetórias que foram aprimoradas ao longo de décadas.

Em 2023, Moreno apresentou o trabalho em conferência organizada pelo “Comitê de Mecânica de Voo Espacial”, e ele tem mantido contato com engenheiros que pesquisam trajetórias espaciais, incluindo alguns do JPL e do laboratório de Scheeres em Boulder. Scheeres acolheu com satisfação a mistura de campos: ele sabia há muito tempo sobre a abordagem simplética do movimento planetário, mas sentia-se perdido matematicamente. “Foi realmente emocionante ver os matemáticos tentando trazer seus conhecimentos para o lado da engenharia”, disse ele. O grupo de Scheeres está agora a trabalhar num sistema mais complexo que envolve quatro corpos.

Ed Belbruno, consultor de planejamento de trajetória (e ex-analista orbital do JPL) que trabalhou com Frauenfelder, alerta que as aplicações não são diretas. “Embora uma técnica matemática como a geometria simplética possa criar trajetórias que são muito legais, e você obtém uma grande quantidade delas, pode ser que muito, muito poucas, se houver, satisfaçam a restrição” que uma missão real pode precisar , ele disse.

Embora as trajetórias do Clipper já estejam em grande parte definidas, Moreno está olhando para o próximo planeta: Saturno. Ele já apresentou sua pesquisa aos planejadores de missão do JPL que esperam enviar uma espaçonave à lua de Saturno, Encélado. Moreno espera que a geometria simplética “se torne parte do kit de ferramentas padrão para missões espaciais”.