Processos aleatórios ocorrem ao nosso redor. Chove um dia, mas não no outro; ações e títulos ganham e perdem valor; os engarrafamentos se fundem e desaparecem. Como são governados por numerosos fatores que interagem entre si de maneiras complicadas, é impossível prever o comportamento exato de tais sistemas. Em vez disso, pensamos neles em termos de probabilidades, caracterizando os resultados como prováveis ​​ou raros.

Hoje, o teórico francês da probabilidade Michel Talagrand recebeu o Prêmio Abel, uma das maiores honrarias da matemática, por desenvolver uma compreensão profunda e sofisticada de tais processos. O prêmio, entregue pelo rei da Noruega, segue o modelo do Nobel e vem com 7.5 milhões de coroas norueguesas (cerca de US$ 700,000 mil). Quando lhe disseram que havia vencido, “minha mente ficou em branco”, disse Talagrand. “O tipo de matemática que faço não estava na moda quando comecei. Foi considerada matemática inferior. O facto de ter recebido este prémio é uma prova absoluta de que não é esse o caso.”

Outros matemáticos concordam. O trabalho de Talagrand “mudou a forma como vejo o mundo”, disse Assaf Naor da Universidade de Princeton. Hoje, adicionado Helge Holden, presidente do comitê do prêmio Abel, “está se tornando muito popular descrever e modelar eventos do mundo real por meio de processos aleatórios. A caixa de ferramentas de Talagrand surge imediatamente.”

Talagrand vê a sua própria vida como uma cadeia de acontecimentos improváveis. Ele mal passou na escola primária em Lyon: embora se interessasse por ciências, não gostava de estudar. Quando ele tinha 5 anos, ele perdeu a visão do olho direito após um descolamento de retina; aos 15 anos, sofreu três descolamentos de retina no outro olho, o que o obrigou a passar um mês no hospital, com os olhos enfaixados, com medo de ficar cego. Seu pai, professor de matemática, visitava-o todos os dias, mantendo sua mente ocupada ensinando-lhe matemática. “Foi assim que aprendi o poder da abstração”, Talagrand escreveu em 2019 depois de ganhar o Prêmio Shaw, outro grande prêmio de matemática que vem com uma recompensa de US$ 1.2 milhão. (Talagrand está usando parte desse dinheiro, juntamente com os ganhos do Abel, para fundar um prêmio próprio, “reconhecendo as realizações de jovens pesquisadores nas áreas às quais dediquei minha vida”.)

Ele perdeu meio ano de escola enquanto se recuperava, mas se sentiu inspirado a começar a se concentrar nos estudos. Destacou-se em matemática e, após se formar na faculdade em 1974, foi contratado pelo Centro Nacional Francês de Pesquisa Científica, o maior instituto de pesquisa da Europa, onde trabalhou até se aposentar em 2017. Nesse período, obteve o doutorado; apaixonou-se pela sua futura esposa, uma estatística, à primeira vista (ele a pediu em casamento três dias depois de conhecê-la); e gradualmente desenvolveu um interesse pela probabilidade, publicando centenas de artigos sobre o tema.

Isso não foi predeterminado. Talagrand iniciou sua carreira estudando espaços geométricos de alta dimensão. “Durante 10 anos, não descobri no que era bom”, disse ele. Mas ele não se arrepende deste desvio. Eventualmente, isso o levou à teoria da probabilidade, onde “eu tinha esse outro ponto de vista… que me deu uma maneira de ver as coisas de maneira diferente”, disse ele. Isso lhe permitiu examinar processos aleatórios através das lentes da geometria de alta dimensão.

“Ele traz sua intuição geométrica para resolver questões puramente probabilísticas”, disse Naor.

Um processo aleatório é uma coleção de eventos cujos resultados variam de acordo com o acaso de uma forma que pode ser modelada – como uma sequência de lançamentos de moeda, ou as trajetórias dos átomos em um gás, ou os totais diários de precipitação. Os matemáticos querem compreender a relação entre resultados individuais e comportamento agregado. Quantas vezes você precisa jogar uma moeda para descobrir se ela é justa? Um rio transbordará?

Talagrand concentrou-se em processos cujos resultados são distribuídos de acordo com uma curva em forma de sino chamada Gaussiana. Tais distribuições são comuns na natureza e possuem uma série de propriedades matemáticas desejáveis. Ele queria saber o que pode ser dito com certeza sobre resultados extremos nessas situações. Assim, ele provou um conjunto de desigualdades que impõe limites superiores e inferiores rígidos aos resultados possíveis. “Obter uma boa desigualdade é uma obra de arte”, disse Holden. Essa arte é útil: os métodos de Talagrand podem fornecer uma estimativa ideal de, digamos, o nível mais alto que um rio poderá atingir nos próximos 10 anos, ou a magnitude do terremoto potencial mais forte.

Quando lidamos com dados complexos e de alta dimensão, encontrar esses valores máximos pode ser difícil.

Digamos que você queira avaliar o risco de inundação de um rio – o que dependerá de fatores como precipitação, vento e temperatura. Você pode modelar a altura do rio como um processo aleatório. Talagrand passou 15 anos desenvolvendo uma técnica chamada encadeamento genérico que lhe permitiu criar um espaço geométrico de alta dimensão relacionado a um processo tão aleatório. Seu método “oferece uma maneira de ler o máximo da geometria”, disse Naor.

A técnica é muito geral e, portanto, amplamente aplicável. Digamos que você queira analisar um conjunto de dados enorme e de alta dimensão que depende de milhares de parâmetros. Para tirar uma conclusão significativa, você deseja preservar os recursos mais importantes do conjunto de dados e, ao mesmo tempo, caracterizá-lo em termos de apenas alguns parâmetros. (Por exemplo, esta é uma forma de analisar e comparar as estruturas complicadas de diferentes proteínas.) Muitos métodos de última geração conseguem esta simplificação aplicando uma operação aleatória que mapeia os dados de alta dimensão para um espaço de menor dimensão. . Os matemáticos podem usar o método genérico de encadeamento de Talagrand para determinar a quantidade máxima de erro que este processo introduz – permitindo-lhes determinar as chances de que alguma característica importante não seja preservada no conjunto de dados simplificado.

O trabalho de Talagrand não se limitou apenas a analisar os melhores e os piores resultados possíveis de um processo aleatório. Ele também estudou o que acontece no caso médio.

Em muitos processos, eventos individuais aleatórios podem, em conjunto, levar a resultados altamente determinísticos. Se as medições forem independentes, então os totais tornam-se muito previsíveis, mesmo que cada evento individual seja impossível de prever. Por exemplo, jogue uma moeda justa. Você não pode dizer nada antecipadamente sobre o que vai acontecer. Vire-o 10 vezes e você obterá quatro, cinco ou seis caras – próximo ao valor esperado de cinco caras – cerca de 66% das vezes. Mas lance a moeda 1,000 vezes e você obterá entre 450 e 550 caras em 99.7% das vezes, um resultado ainda mais concentrado em torno do valor esperado de 500. “É excepcionalmente nítido em torno da média”, disse Holden.

“Mesmo que algo tenha tanta aleatoriedade, a aleatoriedade se anula”, disse Naor. “O que inicialmente parecia uma bagunça horrível está realmente organizado.”

Este fenômeno, conhecido como concentração de medida, também ocorre em processos aleatórios muito mais complicados. Talagrand apresentou um conjunto de desigualdades que permitem quantificar essa concentração e provou que ela surge em muitos contextos diferentes. Suas técnicas marcaram um afastamento de trabalhos anteriores na área. Provar a primeira desigualdade deste tipo, escreveu ele no seu ensaio de 2019, foi “uma experiência mágica”. Ele estava “em um estado de constante euforia”.

Ele está particularmente orgulhoso de uma de suas subsequentes desigualdades de concentração. “Não é fácil obter um resultado que tente pensar sobre o universo e que ao mesmo tempo tenha uma prova de uma página que seja fácil de explicar”, disse ele. (Ele lembra com alegria que certa vez usou um serviço de táxi cujo proprietário reconheceu seu nome, tendo aprendido a desigualdade durante uma aula de probabilidade na escola de administração. “Isso foi extraordinário”, disse ele.)

Tal como o seu método genérico de encadeamento, as desigualdades de concentração de Talagrand aparecem em toda a matemática. “É incrível o quão longe isso vai”, disse Naor. “As desigualdades de Talagrand são os parafusos que mantêm as coisas unidas.”

Considere um problema de otimização em que você precisa classificar itens de tamanhos diferentes em caixas — um modelo de alocação de recursos. Quando você tem muitos itens, é muito difícil descobrir o menor número de caixas necessárias. Mas as desigualdades de Talagrand podem dizer de quantas caixas você provavelmente precisará se os tamanhos dos itens forem aleatórios.

Métodos semelhantes têm sido usados ​​para provar fenômenos de concentração em combinatória, física, ciência da computação, estatística e outros ambientes.

Mais recentemente, Talagrand aplicou sua compreensão dos processos aleatórios para provar uma importante conjectura sobre os vidros de spin, materiais magnéticos desordenados criados por interações aleatórias, muitas vezes conflitantes. Talagrand ficou frustrado porque, embora os óculos de spin sejam matematicamente bem definidos, os físicos os entendiam melhor do que os matemáticos. “Foi um espinho no nosso pé”, disse ele. Ele provou um resultado – sobre a chamada energia livre dos vidros de spin – que forneceu a base para uma teoria mais matemática.

Ao longo de sua carreira, a pesquisa de Talagrand foi marcada por “essa capacidade de simplesmente dar um passo atrás e encontrar princípios gerais que podem ser reutilizados em qualquer lugar”, disse Naor. “Ele revisita e revisita e pensa sobre algo de todos os tipos de perspectivas. E eventualmente ele divulga um insight que se torna um burro de carga, que todo mundo está usando.”

“Gosto de entender muito bem as coisas simples, porque meu cérebro é muito lento”, disse Talagrand. “Então, penso neles por muito, muito tempo.” Ele é movido, disse ele, pelo desejo de “compreender algo profundamente, de uma forma pura, o que torna a teoria muito mais fácil. Então a próxima geração poderá começar a partir daí e progredir nos seus próprios termos.”

Ao longo da última década, ele conseguiu isso escrevendo livros didáticos – não apenas sobre processos aleatórios e spinglasses, mas também sobre uma área na qual não trabalha, a teoria quântica de campos. Ele queria aprender sobre isso, mas percebeu que todos os livros que encontrou foram escritos por e para físicos, não matemáticos. Então ele mesmo escreveu um. “Depois que você não consegue mais inventar coisas, você pode explicá-las”, disse ele.