Alexander Polyakov, een theoretisch natuurkundige die nu aan Princeton University studeert, ving in 1981 een glimp op van de toekomst van de kwantumtheorie. Een reeks mysteries, van het wiebelen van snaren tot het binden van quarks in protonen, vereiste een nieuw wiskundig hulpmiddel waarvan hij het silhouet net kon maken uit.

“Er zijn methoden en formules in de wetenschap die dienen als hoofdsleutels voor veel ogenschijnlijk verschillende problemen', schreef hij in de inleiding van een nu beroemde brief van vier pagina's in Natuurkunde Letters B. "Op dit moment moeten we een kunst ontwikkelen om met sommen over willekeurige oppervlakken om te gaan."

Het voorstel van Polyakov bleek krachtig. In zijn paper schetste hij een formule die ruwweg beschreef hoe gemiddelden van een enorm chaotisch type oppervlak, het 'Liouville-veld', moesten worden berekend. Zijn werk bracht natuurkundigen in een nieuwe wiskundige arena, een die essentieel is voor het ontsluiten van het gedrag van theoretische objecten die strings worden genoemd en het bouwen van een vereenvoudigd model van kwantumzwaartekracht.

Jaren van zwoegen zouden Polyakov naar baanbrekende oplossingen voor andere theorieën in de natuurkunde leiden, maar hij begreep de wiskunde achter het Liouville-veld nooit helemaal.

De afgelopen zeven jaar heeft een groep wiskundigen echter gedaan wat veel onderzoekers voor onmogelijk hielden. In een trilogie van baanbrekende publicaties hebben ze de formule van Polyakov herschreven met behulp van volledig rigoureuze wiskundige taal en bewezen dat het Liouville-veld feilloos de verschijnselen modelleert die Polyakov dacht dat het zou doen.

"Het kostte ons 40 jaar wiskunde om vier pagina's te begrijpen", zei hij Vincent Vargas, een wiskundige bij het Franse Nationale Centrum voor Wetenschappelijk Onderzoek en co-auteur van het onderzoek met Rémi Rhodos van de Universiteit van Aix-Marseille, Antti Kupiainen van de Universiteit van Helsinki, François David van het Franse Nationale Centrum voor Wetenschappelijk Onderzoek, en Colin Guillarmou van de Paris-Saclay Universiteit.

De drie papers smeden een brug tussen de ongerepte wereld van de wiskunde en de rommelige realiteit van de natuurkunde - en ze doen dit door nieuwe wegen in te slaan op het wiskundige gebied van de waarschijnlijkheidstheorie. Het werk raakt ook filosofische vragen over de objecten die centraal staan ​​in de leidende theorieën van de fundamentele fysica: kwantumvelden.

"Dit is een meesterwerk in de wiskundige natuurkunde", zei hij Xin zon, een wiskundige aan de Universiteit van Pennsylvania.

Oneindige velden

In de natuurkunde van vandaag zijn de belangrijkste actoren in de meest succesvolle theorieën velden - objecten die ruimte vullen en van plaats tot plaats verschillende waarden aannemen.

In de klassieke natuurkunde bijvoorbeeld vertelt een enkel veld je alles over hoe een kracht voorwerpen voortduwt. Neem het magnetische veld van de aarde: de schokken van een kompasnaald onthullen de invloed van het veld (de sterkte en richting) op elk punt op de planeet.

Velden staan ​​ook centraal in de kwantumfysica. De situatie hier is echter ingewikkelder vanwege de diepe willekeur van de kwantumtheorie. Vanuit kwantumperspectief genereert de aarde niet één magnetisch veld, maar eerder een oneindig aantal verschillende. Sommige lijken bijna op het veld dat we waarnemen in de klassieke natuurkunde, maar andere zijn enorm verschillend.

Maar natuurkundigen willen nog steeds voorspellingen doen - voorspellingen die in dit geval idealiter overeenkomen met wat een bergbeklimmer op een kompas afleest. Het assimileren van de oneindige vormen van een kwantumveld in een enkele voorspelling is de formidabele taak van een 'kwantumveldentheorie' of QFT. Dit is een model van hoe een of meer kwantumvelden, elk met hun oneindige variaties, werken en op elkaar inwerken.

Gedreven door immense experimentele ondersteuning, zijn QFT's de basistaal van de deeltjesfysica geworden. De Standaard Model is zo'n QFT, waarin fundamentele deeltjes zoals elektronen worden afgebeeld als vage hobbels die voortkomen uit een oneindig aantal elektronenvelden. Het heeft tot nu toe elke experimentele test doorstaan ​​(hoewel verschillende groepen dat kunnen zijn op het randje van het vinden van de eerste gaten).

Natuurkundigen spelen met veel verschillende QFT's. Sommige, zoals het standaardmodel, streven ernaar om echte deeltjes te modelleren die door de vier dimensies van ons universum bewegen (drie ruimtelijke dimensies plus één dimensie van tijd). Anderen beschrijven exotische deeltjes in vreemde universums, van tweedimensionale vlakten tot zesdimensionale uber-werelden. Hun verbinding met de werkelijkheid is ver weg, maar natuurkundigen bestuderen ze in de hoop inzichten te verkrijgen die ze kunnen meenemen naar onze eigen wereld.

De Liouville-veldentheorie van Polyakov is zo'n voorbeeld.

Zwaartekrachtveld

Het Liouville-veld, dat is gebaseerd op een vergelijking uit complexe analyse die in de jaren 1800 is ontwikkeld door de Franse wiskundige Joseph Liouville, beschrijft een volledig willekeurig tweedimensionaal oppervlak - dat wil zeggen een oppervlak, zoals de aardkorst, maar een waarin de hoogte van elk punt wordt willekeurig gekozen. Zo'n planeet zou uitbarsten met bergketens van oneindig hoge toppen, elk toegewezen door een dobbelsteen met oneindige gezichten te gooien.

Zo'n object lijkt misschien geen informatief model voor de natuurkunde, maar willekeur is dat wel niet zonder patronen. De belcurve vertelt u bijvoorbeeld hoe waarschijnlijk het is dat u willekeurig een twee meter lange basketbalspeler op straat passeert. Evenzo volgen bolvormige wolken en gekreukte kustlijnen willekeurige patronen, maar het is niettemin mogelijk om consistente relaties te onderscheiden tussen hun grootschalige en kleinschalige kenmerken.

De theorie van Liouville kan worden gebruikt om patronen te identificeren in het eindeloze landschap van alle mogelijke willekeurige, gekartelde oppervlakken. Polyakov realiseerde zich dat deze chaotische topografie essentieel was voor het modelleren van strings, die oppervlakken traceren terwijl ze bewegen. De theorie is ook toegepast om kwantumzwaartekracht in een tweedimensionale wereld te beschrijven. Einstein definieerde zwaartekracht als de kromming van de ruimte-tijd, maar door zijn beschrijving te vertalen in de taal van de kwantumveldentheorie ontstaat een oneindig aantal ruimte-tijden - net zoals de aarde een oneindige verzameling magnetische velden produceert. De theorie van Liouville verpakt al die oppervlakken samen in één object. Het geeft natuurkundigen de tools om de kromming - en dus de zwaartekracht - op elke locatie op een willekeurig 2D-oppervlak te meten.

"Kwantumzwaartekracht betekent in feite willekeurige geometrie, want kwantum betekent willekeurig en zwaartekracht betekent geometrie", zei Sun.

Polyakovs eerste stap bij het verkennen van de wereld van willekeurige oppervlakken was het opschrijven van een uitdrukking die de kans op het vinden van een bepaalde stekelige planeet definieert, net zoals de belcurve de kans definieert om iemand van een bepaalde lengte te ontmoeten. Maar zijn formule leidde niet tot bruikbare numerieke voorspellingen.

Het oplossen van een kwantumveldentheorie is het veld kunnen gebruiken om waarnemingen te voorspellen. In de praktijk betekent dit het berekenen van de 'correlatiefuncties' van een veld, die het gedrag van het veld vastleggen door de mate te beschrijven waarin een meting van het veld op een bepaald punt verband houdt met of correleert met een meting op een ander punt. Het berekenen van correlatiefuncties in het fotonenveld kan je bijvoorbeeld de handboekwetten van kwantumelektromagnetisme opleveren.

Polyakov was op zoek naar iets abstracters: de essentie van willekeurige oppervlakken, vergelijkbaar met de statistische relaties die een wolk tot een wolk of een kustlijn tot een kustlijn maken. Hij had de correlaties nodig tussen de lukrake hoogten van het Liouville-veld. In de loop van de decennia probeerde hij twee verschillende manieren om ze te berekenen. Hij begon met een techniek genaamd de Feynman-padintegraal en ontwikkelde uiteindelijk een oplossing die bekend staat als de bootstrap. Beide methoden kwamen op verschillende manieren tekort, totdat de wiskundigen achter het nieuwe werk ze verenigden in een meer precieze formulering.

Voeg ze toe

Je zou je kunnen voorstellen dat het bijna onmogelijk is om rekening te houden met de oneindig veel vormen die een kwantumveld kan aannemen. En je zou gelijk hebben. In de jaren veertig ontwikkelde Richard Feynman, een pionier op het gebied van kwantumfysica, één recept om met deze verbijsterende situatie om te gaan, maar de methode bleek ernstig beperkt.

Neem nogmaals het magnetische veld van de aarde. Je doel is om kwantumveldentheorie te gebruiken om te voorspellen wat je zult waarnemen als je een kompasmeting op een bepaalde locatie doet. Om dit te doen, stelde Feynman voor om alle vormen van het veld bij elkaar op te tellen. Hij voerde aan dat je lezing een gemiddelde vertegenwoordigt van alle mogelijke vormen van het veld. De procedure voor het optellen van deze oneindige veldconfiguraties met de juiste weging staat bekend als de Feynman-padintegraal.

Het is een elegant idee dat alleen concrete antwoorden oplevert voor geselecteerde kwantumvelden. Geen enkele bekende wiskundige procedure kan een zinvol gemiddelde nemen van een oneindig aantal objecten die in het algemeen een oneindige uitgestrektheid van de ruimte beslaan. De padintegraal is meer een natuurkundige filosofie dan een exact wiskundig recept. Wiskundigen twijfelen aan het bestaan ​​ervan als een geldige operatie en maken zich zorgen over de manier waarop natuurkundigen erop vertrouwen.

"Ik ben als wiskundige gestoord door iets dat niet gedefinieerd is", zei hij Eveline Peltola, een wiskundige aan de Universiteit van Bonn in Duitsland.

Natuurkundigen kunnen de padintegraal van Feynman gebruiken om exacte correlatiefuncties te berekenen voor alleen de meest saaie velden - vrije velden, die geen interactie hebben met andere velden of zelfs maar met zichzelf. Anders moeten ze het verdraaien, doen alsof de velden vrij zijn en milde interacties of "verstoringen" toevoegen. Deze procedure, bekend als perturbatietheorie, levert correlatiefuncties op voor de meeste velden in het standaardmodel, omdat de krachten van de natuur nogal zwak zijn.

Maar het werkte niet voor Polyakov. Hoewel hij aanvankelijk speculeerde dat het Liouville-veld vatbaar zou kunnen zijn voor de standaard hack van het toevoegen van milde verstoringen, ontdekte hij dat het te sterk op zichzelf inwerkte. Vergeleken met een vrij veld leek het veld van Liouville wiskundig ondoorgrondelijk en leken de correlatiefuncties onbereikbaar.

Boven bij de Bootstraps

Polyakov ging al snel op zoek naar een oplossing. In 1984 ontwikkelde hij samen met Alexander Belavin en Alexander Zamolodchikov een techniek genaamd de bootstrap — een wiskundige ladder die geleidelijk leidt naar de correlatiefuncties van een veld.

Om de ladder te beklimmen, heb je een functie nodig die de correlaties uitdrukt tussen metingen op slechts drie punten in het veld. Deze "driepuntscorrelatiefunctie", plus wat aanvullende informatie over de energieën die een deeltje van het veld kan aannemen, vormt de onderste trede van de bootstrap-ladder.

Vanaf daar klim je punt voor punt: gebruik de driepuntsfunctie om de vierpuntsfunctie te construeren, gebruik de vierpuntsfunctie om de vijfpuntsfunctie te construeren, enzovoort. Maar de procedure levert tegenstrijdige resultaten op als u begint met de verkeerde driepuntscorrelatiefunctie in de eerste trede.

Polyakov, Belavin en Zamolodchikov gebruikten de bootstrap om met succes een verscheidenheid aan eenvoudige QFT-theorieën op te lossen, maar net als bij de Feynman-padintegraal konden ze het niet laten werken voor het Liouville-veld.

Toen in de jaren negentig twee paren natuurkundigen — Harald Dorn en Hans-Jörg Otto en Zamolodchikov en zijn broer Alexei - slaagde erin de driepuntscorrelatiefunctie te raken die het mogelijk maakte om de ladder te schalen, waardoor het Liouville-veld (en zijn eenvoudige beschrijving van kwantumzwaartekracht) volledig werd opgelost. Hun resultaat, bekend onder hun initialen als de DOZZ-formule, liet natuurkundigen elke voorspelling doen met betrekking tot het veld van Liouville. Maar zelfs de auteurs wisten dat ze er deels door toeval waren gekomen, niet door degelijke wiskunde.

"Het waren dit soort genieën die formules raadden", zei Vargas.

Gefundeerde gissingen zijn nuttig in de natuurkunde, maar stellen de wiskundigen niet tevreden, die achteraf wilden weten waar de DOZZ-formule vandaan kwam. De vergelijking die het Liouville-veld oploste, zou afkomstig moeten zijn van een beschrijving van het veld zelf, zelfs als niemand enig idee had hoe het te krijgen.

"Het leek me sciencefiction", zei Kupiainen. "Dit zal nooit door iemand worden bewezen."

Wilde oppervlakken temmen

In de vroege jaren 2010 bundelden Vargas en Kupiainen hun krachten met de waarschijnlijkheidstheoreticus Rémi Rhodes en de natuurkundige François David. Hun doel was om de wiskundige losse eindjes van het Liouville-veld aan elkaar te knopen - om de Feynman-padintegraal die Polyakov had verlaten te formaliseren en, heel misschien, de DOZZ-formule te demystificeren.

Toen ze begonnen, realiseerden ze zich dat een Franse wiskundige genaamd Jean-Pierre Kahane decennia eerder had ontdekt wat de sleutel zou blijken te zijn tot Polyakovs meestertheorie.

"In zekere zin is het volkomen gek dat Liouville niet vóór ons werd gedefinieerd", zei Vargas. “Alle ingrediënten waren aanwezig.”

Het inzicht leidde tot drie mijlpaalpapieren in de wiskundige natuurkunde, afgerond tussen 2014 en 2020.

Ze polijstten eerst de padintegraal weg, die Polyakov had gefaald omdat het Liouville-veld een sterke interactie met zichzelf heeft, waardoor het onverenigbaar is met Feynmans perturbatieve tools. Dus in plaats daarvan gebruikten de wiskundigen de ideeën van Kahane om het wilde Liouville-veld om te vormen tot een wat milder willekeurig object dat bekend staat als het Gaussiaanse vrije veld. De pieken in het Gaussische vrije veld fluctueren niet naar dezelfde willekeurige uitersten als de pieken in het Liouville-veld, waardoor de wiskundigen gemiddelden en andere statistische maatstaven op verstandige manieren kunnen berekenen.

"Op de een of andere manier gebruikt het allemaal gewoon het Gaussiaanse vrije veld," zei Peltola. “Daaruit kunnen ze alles in de theorie construeren.”

In 2014 hebben ze onthulden hun resultaat: een nieuwe en verbeterde versie van de padintegraal die Polyakov in 1981 had opgeschreven, maar volledig gedefinieerd in termen van het vertrouwde Gaussische vrije veld. Het is een zeldzaam geval waarin de padintegraalfilosofie van Feynman een solide wiskundige uitvoering heeft gevonden.

"Padintegralen kunnen bestaan, bestaan ​​ook," zei Jorg Teschner, een natuurkundige bij het Duitse Electron Synchrotron.

Met een strikt gedefinieerde padintegraal in de hand, probeerden de onderzoekers vervolgens te zien of ze die konden gebruiken om antwoorden uit het Liouville-veld te krijgen en de correlatiefuncties ervan af te leiden. Het doelwit was de mythische DOZZ-formule, maar de kloof tussen die formule en de padintegraal leek enorm.

"We zouden in onze kranten schrijven, alleen om propaganda-redenen, dat we de DOZZ-formule willen begrijpen", zei Kupiainen.

Het team heeft jaren besteed aan het onderzoeken van hun probabilistische padintegraal, om te bevestigen dat het echt alle functies had die nodig waren om de bootstrap te laten werken. Daarbij bouwden ze voort op eerder werk van Teschner. Uiteindelijk slaagden Vargas, Kupiainen en Rhodes erin met een geposte krant 2017 en nog een in oktober 2020, met Colin Guillarmou. Ze leidden DOZZ en andere correlatiefuncties af van de padintegraal en toonden aan dat deze formules perfect overeenkwamen met de vergelijkingen die natuurkundigen hadden bereikt met behulp van de bootstrap.

'Nu zijn we klaar,' zei Vargas. "Beide objecten zijn hetzelfde."

Het werk legt de oorsprong van de DOZZ-formule uit en verbindt de bootstrap-procedure - die wiskundigen als vaag beschouwden - met geverifieerde wiskundige objecten. Al met al lost het de laatste mysteries van het Liouville-veld op.

"Het is op de een of andere manier het einde van een tijdperk", zei Peltola. "Maar ik hoop dat het ook het begin is van nieuwe, interessante dingen."

Nieuwe hoop voor QFT's

Vargas en zijn medewerkers hebben nu een eenhoorn in handen, een sterk op elkaar inwerkende QFT, perfect beschreven op een niet-verstorende manier door een korte wiskundige formule die ook numerieke voorspellingen doet.

Nu de letterlijke vraag van een miljoen dollar is: hoe ver kunnen deze probabilistische methoden gaan? Kunnen ze nette formules genereren voor alle QFT's? Vargas is er snel bij om zulke hoop de kop in te drukken, door vol te houden dat hun tools specifiek zijn voor de tweedimensionale omgeving van de Liouville-theorie. In hogere dimensies zijn zelfs vrije velden te onregelmatig, dus betwijfelt hij of de methoden van de groep ooit in staat zullen zijn om het kwantumgedrag van zwaartekrachtvelden in ons universum aan te kunnen.

Maar het nieuwe slaan van Polyakovs "hoofdsleutel" zal andere deuren openen. De effecten ervan worden al gevoeld in de waarschijnlijkheidstheorie, waar wiskundigen nu ongestraft voorheen onbetrouwbare natuurkundige formules kunnen hanteren. Aangemoedigd door het werk van Liouville, hebben Sun en zijn medewerkers al vergelijkingen uit de natuurkunde geïmporteerd om op te lossen twee problemen met betrekking tot willekeurige bochten.

Natuurkundigen wachten ook op tastbare voordelen, verderop. De rigoureuze constructie van het Liouville-veld zou wiskundigen kunnen inspireren om kenmerken van andere schijnbaar hardnekkige QFT's te bewijzen - niet alleen speelgoedtheorieën over de zwaartekracht, maar beschrijvingen van echte deeltjes en krachten die rechtstreeks verband houden met de diepste fysieke geheimen van de werkelijkheid.

"[Wiskundigen] zullen dingen doen die we ons niet eens kunnen voorstellen," zei David Gaiotto, een theoretisch natuurkundige aan het Perimeter Institute.