We hebben de neiging om wiskunde als puur logisch te beschouwen, maar het wiskundeonderwijs, de waarden, het nut en de werking ervan zitten boordevol nuances. Dus wat is ‘goede’ wiskunde? In 2007, de wiskundige Terence tao schreef een essay voor de Bulletin van de American Mathematical Society die deze vraag probeerde te beantwoorden. Tegenwoordig is Tao, als ontvanger van een Fields Medal, een Breakthrough Prize in Mathematics en een MacArthur Fellowship, een van de meest geëerde en productieve wiskundigen ter wereld. In deze aflevering voegt hij zich bij onze gastheer en collega-wiskundige Steven Strogatz om de ingrediënten van goede wiskunde opnieuw te bekijken.

Luister verder Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasts, stikster, TuneIn of je favoriete podcasting-app, of je kunt stream het van Quanta.

Afschrift

STEVEN STROGATZ: In oktober 2007, lang geleden, toen de iPhone van de eerste generatie nog steeds populair was en de aandelenmarkt vóór de Grote Recessie op een recordhoogte stond, was Terence Tao, hoogleraar wiskunde aan de UCLA, vastbesloten een antwoord te geven op een vraag vraag waarover al lang wordt gedebatteerd onder wiskundigen: wat is goede wiskunde precies?

Gaat het om strengheid? Elegantie? Nut in de echte wereld? Terry schreef een zeer attent en genereus, ik zou zelfs openhartig, essay willen zeggen over alle manieren waarop wiskunde goed zou kunnen zijn. Maar moeten we nu, ruim vijftien jaar later, opnieuw nadenken over wat goede wiskunde is?

Ik ben Steve Strogatz, en dit is 'The Joy of Why', een podcast van Quanta Magazine waar mijn co-presentator, Janna Levin, en ik om beurten enkele van de grootste onbeantwoorde vragen in de wiskunde en natuurwetenschappen van vandaag onderzoeken.

(Themaspelen)

Vandaag is Terry Tao zelf aanwezig om opnieuw in te gaan op de eeuwige vraag wat wiskunde goed maakt. Professor Tao heeft meer dan 300 onderzoeksartikelen geschreven over een verbazingwekkend breed scala aan wiskunde, waaronder harmonische analyse, partiële differentiaalvergelijkingen, combinatoriek, getaltheorie, datawetenschap, willekeurige matrices en nog veel meer. Hij wordt wel de ‘Mozart van de wiskunde’ genoemd. En als winnaar van een Fields Medal, een Breakthrough Prize in Mathematics, een MacArthur Fellowship en vele andere prijzen is die naam zeker welverdiend.

Terry, welkom bij ‘De vreugde van het waarom’.

TERENCE TAO: Fijn om hier te zijn.

STROGATZ: Ik ben erg opgewonden om met u te kunnen praten over de vraag wat sommige vormen van wiskundig onderzoek goed maakt. Ik kan me nog levendig herinneren dat ik er doorheen bladerde Bulletin van de American Math Society in 2007 en tegengekomen uw essay over dit onderwerp dat je voor ons poseerde. Het is iets waar alle wiskundigen over nadenken. Maar voor mensen die misschien niet zo bekend zijn, kunt u ons vertellen: hoe bent u op deze vraag terechtgekomen? Hoe definieerde u destijds goede wiskunde?

TAO: Juist, ja. Het was eigenlijk een verzoek. Dus de redacteur van de bulletin had mij destijds gevraagd een artikel bij te dragen. Ik denk dat ik als student een heel naïef idee had van wat wiskunde was. Ik had het idee dat er een soort raad van grijsbaarden bestond die problemen uitdeelde waar mensen aan konden werken. En het was nogal een schok voor mij als afgestudeerde student, toen ik besefte dat er niet echt een centrale autoriteit was om problemen uit te delen, en dat mensen zelfgestuurd onderzoek deden.

Ik bleef maar naar lezingen gaan en luisteren naar hoe andere wiskundigen vertelden over wat zij spannend vinden en wat hen enthousiast maakt over wiskunde, en over het feit dat elke wiskundige een andere manier heeft om wiskunde te benaderen. Sommigen zouden bijvoorbeeld toepassingen nastreven, sommigen door een soort esthetische schoonheid, anderen door alleen maar problemen op te lossen. Ze wilden een probleem oplossen en concentreerden zich op de moeilijkste, meest uitdagende taken. Sommigen zouden zich concentreren op techniek; sommigen zouden proberen de dingen zo elegant mogelijk te maken.

Maar wat mij opviel toen ik zo veel van deze verschillende wiskundigen hoorde praten over wat zij waardevol vinden in de wiskunde, is dat, ook al hadden we allemaal verschillende idealen over hoe goede wiskunde eruit zou moeten zien, ze allemaal de neiging hebben om convergeren naar hetzelfde.

Als een stukje wiskunde echt goed is, zullen mensen die schoonheid nastreven het uiteindelijk tegenkomen. Mensen die technische macht of toepassingen nastreven, die waarde hechten aan technische macht, zullen er uiteindelijk op terechtkomen.

Eugene Wigner had een zeer beroemd essay over de onredelijke effectiviteit van de wiskunde in de natuurwetenschappen, bijna een eeuw geleden, waar hij zojuist opmerkte dat er gebieden in de wiskunde waren – bijvoorbeeld de Riemannse meetkunde, de studie van de gekromde ruimte – die aanvankelijk slechts een puur theoretische oefening waren voor wiskundigen, weet je, die probeerden de parallel postulaat enzovoort, wat precies bleek te zijn wat Einstein, Poincaré en Hilbert nodig hadden om de wiskunde van de algemene relativiteitstheorie te beschrijven. En dat is slechts een fenomeen dat voorkomt.

Het is dus niet alleen wiskunde, dat wat wiskundigen intellectueel interessant vinden uiteindelijk fysiek belangrijk wordt. Maar zelfs binnen de wiskunde bieden onderwerpen die wiskundigen elegant vinden, toevallig ook diepgaande inzichten.

Waar ik het gevoel van heb, is dat er platonische goede wiskunde bestaat, en dat al onze verschillende waardesystemen gewoon verschillende manieren zijn om toegang te krijgen tot die objectieve goede dingen.

STROGATZ: Dat is erg interessant. Omdat ik zelf een soort persoon ben die geneigd is tot platonisch denken, ben ik geneigd het daarmee eens te zijn. Hoewel ik een beetje verbaasd ben om je dat te horen zeggen, omdat ik dacht dat waar je in eerste instantie naartoe ging, er zo veel verschillende standpunten hierover zijn. Het is echter een interessant feit, een soort empirisch feit, dat we het eens worden over wat goed of niet goed is, ook al komen we er, zoals u zegt, vanuit zoveel verschillende waarden achter.

TAO: Rechts. De convergentie kan enige tijd vergen. Weet je, er zijn dus zeker velden waar ze er bijvoorbeeld veel beter uitzien, gemeten aan de hand van de ene metriek dan de andere. Misschien hebben ze veel toepassingen, maar hun presentatie is buitengewoon walgelijk, weet je.

(Strogatz lacht)

Of dingen die heel elegant zijn, maar nog niet veel goede toepassingen hebben in de echte wereld. Maar ik heb het gevoel dat het uiteindelijk zal convergeren.

STROGATZ: Nou, laat me je iets vragen over dit contactpunt met de echte wereld. Het is een interessante spanning in wiskunde. En weet je, laten we zeggen dat als kleine kinderen voor het eerst over meetkunde leren, je op dat moment misschien denkt dat driehoeken echt zijn, of cirkels of rechte lijnen echt zijn, en dat ze je kunnen vertellen over de rechthoekige vormen die je ziet. in gebouwen over de hele wereld, of dat landmeters geometrie moeten gebruiken. En het woord komt tenslotte van de meting van de aarde, juist, ‘geometrie’. En dus was er een tijd waarin geometrie empirisch was.

Maar wat ik je wilde vragen heeft te maken met een opmerking die John von Neumann gemaakt. Von Neumann was dus, voor iedereen die hem niet kende, zelf een groot wiskundige. En hij maakte deze opmerking in dit essay: “De wiskundige’, over de relatie tussen wiskunde en de empirische wereld, de echte wereld, waar hij grofweg zegt dat wiskundige ideeën hun oorsprong vinden in de empirie, maar dat op een gegeven moment, als je eenmaal de wiskundige ideeën hebt, het onderwerp een eigen leven gaat leiden. eigen. En dan is het meer een creatief kunstwerk. Esthetische criteria worden belangrijk. Maar hij zegt dat dat gevaar met zich meebrengt. Dat wanneer een onderwerp te ver verwijderd raakt van zijn empirische bron, zoals vooral in de tweede of derde generatie, hij zegt dat de kans bestaat dat het onderwerp te lijden heeft onder te veel abstracte inteelt en het gevaar loopt van degeneratie.

Enige gedachten daarover? Ik bedoel: moet wiskunde in contact blijven met haar empirische bron?

BTA: Ja, ik denk dat het wel gegrond moet zijn. Als ik zeg dat, empirisch gezien, al deze verschillende manieren van wiskunde beoefenen convergeren, dan is dat alleen maar omdat – dit gebeurt alleen als de proefpersoon gezond is. Dus weet je, het goede nieuws is dat dat meestal zo is.

Maar wiskundigen waarderen bijvoorbeeld korte bewijzen boven lange bewijzen, terwijl alle andere dingen gelijk blijven. Maar je kunt je voorstellen dat mensen over de schreef gaan en bijvoorbeeld een deelgebied van de wiskunde geobsedeerd raakt door het zo kort mogelijk maken van bewijzen en het hebben van uiterst ondoorzichtige tweeregelige bewijzen van diepe stellingen. En ze maken er een soort wedstrijd van, en dan wordt het een soort duister spel en dan verlies je alle intuïtie. Je verliest misschien een dieper begrip omdat je zo geobsedeerd bent door al je bewijzen zo kort mogelijk te maken. Nu gebeurt dit in de praktijk niet. Maar dit is een soort theoretisch voorbeeld, en ik denk dat Von Neumann een soortgelijk punt maakte.

En in de jaren zestig en zeventig was er een tijdperk in de wiskunde waarin de abstractie enorme vooruitgang boekte bij het vereenvoudigen en verenigen van veel wiskunde die voorheen erg empirisch was. Vooral in de algebra realiseerden mensen zich dat getallen, polynomen en vele andere objecten die voorheen afzonderlijk werden behandeld, allemaal konden worden beschouwd als leden van dezelfde algebraïsche klasse, in dit geval een ring.

En er werd veel vooruitgang geboekt in de wiskunde door het vinden van de juiste abstractie, of het nu een topologische ruimte of een vectorruimte was, wat dan ook, en het bewijzen van stellingen in grote algemeenheid. En dit is soms wat we in de wiskunde het Bourbaki-tijdperk noemen. En het ging een beetje te ver van gegrond zijn.

We hadden natuurlijk de hele New Math-aflevering in de Verenigde Staten, waar docenten dat probeerden wiskunde onderwijzen in de Bourbaki-stijl en besefte uiteindelijk dat dat op dat niveau niet de juiste pedagogie was.

Maar inmiddels is de slinger weer een flink stuk teruggedraaid. We hebben een soort van – het onderwerp is behoorlijk volwassen geworden en op elk gebied van wiskunde, meetkunde, topologie, wat dan ook, hebben we een soort bevredigende formalisaties en weten we min of meer wat de juiste abstracties zijn. En nu richt het vakgebied zich weer op interconnecties en toepassingen. Het verbindt nu veel meer met de echte wereld.

Ik bedoel, niet alleen een soort natuurkunde, wat een traditioneel verband is, maar weet je, informatica, levenswetenschappen, sociale wetenschappen, weet je. Met de opkomst van big data kan vrijwel elke menselijke discipline tot op zekere hoogte worden gewismatiseerd.

STROGATZ: Ik ben erg geïnteresseerd in het woord dat u zojuist gebruikte over 'onderlinge verbindingen', omdat dat een centraal punt voor ons lijkt om te bespreken. Het is iets dat je in je essay noemt dat je, samen met wat jij ‘lokale’ criteria noemt over elegantie, of toepassingen in de echte wereld, of wat dan ook, dit ‘globale’ aspect van goede wiskunde noemt: dat goede wiskunde aansluit op andere goede wiskunde.

Dat is bijna de sleutel tot wat het goed maakt, dat het geïntegreerd is met andere onderdelen. Maar het is interessant omdat het bijna klinkt als een cirkelredenering: goede wiskunde is de wiskunde die aansluit op andere goede wiskunde. Maar het is een heel krachtig idee, en ik vraag me af of je er nog wat verder op kunt ingaan.

TAO: Ja, dus ik bedoel, waar wiskunde over gaat; een van de dingen die wiskunde doet is dat het verbanden legt die heel basaal en fundamenteel zijn, maar niet voor de hand liggend als je er alleen maar vanaf de oppervlakte naar kijkt. Een heel vroeg voorbeeld hiervan is Descartes' uitvinding van cartesiaanse coördinaten die een fundamenteel verband legden tussen geometrie (de studie van punten en lijnen en ruimtelijke objecten) en getallen, algebra.

Een cirkel kun je bijvoorbeeld zien als een geometrisch object, maar je kunt het ook als een vergelijking beschouwen: x² + y² = 1 is de vergelijking van een cirkel. Destijds was het een zeer revolutionaire verbinding. Weet je, de oude Grieken beschouwden getaltheorie en meetkunde als vrijwel volledig onsamenhangende onderwerpen.

Maar bij Descartes was er een fundamenteel verband. En nu is het geïnternaliseerd; Je weet wel, de manier waarop we wiskunde onderwijzen. Het is niet meer verrassend dat als je een geometrisch probleem hebt, je het met cijfers aanpakt. Of als je een probleem hebt met cijfers, kun je het aanpakken met geometrie.

Het komt enigszins omdat zowel geometrie als getallen aspecten zijn van hetzelfde wiskundige concept. We hebben een heel veld dat algebraïsche meetkunde wordt genoemd en dat noch algebra noch meetkunde is, maar het is een verenigd onderwerp dat objecten bestudeert die je kunt beschouwen als geometrische vormen, zoals lijnen en cirkels enzovoort, of als vergelijkingen.

Maar eigenlijk is het een holistische unie van de twee die we bestuderen. En naarmate het onderwerp zich verdiepte, zijn we ons gaan realiseren dat dit op de een of andere manier fundamenteler is dan algebra of meetkunde afzonderlijk. Deze verbanden helpen ons dus een soort echte wiskunde te ontdekken die onze empirische studies ons aanvankelijk op de een of andere manier slechts een stukje van het onderwerp geven.

Er is een beroemde gelijkenis van de olifant, ik ben vergeten waar, dat als je... Er zijn vier blinde mannen, en ze ontdekken een olifant. En een van hen voelt de poot van de olifant en ze denken: “O, dit, het is heel ruw. Het moet iets van een boom zijn of zoiets.”

En een van hen voelt de slurf, en pas veel later zien ze dat er één enkel olifantsobject is dat al hun afzonderlijke hypothesen verklaart. Ja, dus in eerste instantie zijn we allemaal blind, weet je. We kijken alleen maar naar de schaduwen in Plato's grot en beseffen pas later:

STROGATZ: Wauw, je bent hier erg filosofisch. Dit is iets. Ik kan het nu niet laten: als je gaat praten over de olifant en de blinde mensen, suggereert dit dat je denkt dat wiskunde bestaat – dat het zoiets is als de olifant en dat wij blinden zijn… Of, jij Weet je, we proberen iets te zien dat onafhankelijk van menselijke wezens bestaat. Is dat echt wat je gelooft?

TAO: Als je goede wiskunde doet, dan is het niet alleen maar het ronddwalen van symbolen. Je hebt het gevoel dat er een echt object is dat je probeert te begrijpen, en al onze vergelijkingen die we hebben zijn slechts een soort benaderingen daarvan, of schaduwen.

Je kunt debatteren over het filosofische punt van wat feitelijk de werkelijkheid is, enzovoort. Ik bedoel, dit zijn dingen die je daadwerkelijk kunt aanraken, en hoe reëler dingen wiskundig worden, hoe minder fysiek ze soms lijken. Zoals je zei, was geometrie in eerste instantie een heel tastbaar iets over objecten in de fysieke ruimte, dat je kon bouwen – je weet wel, je kunt feitelijk een cirkel en een vierkant enzovoort bouwen.

Maar in de moderne geometrie werken we in hogere dimensies. We kunnen praten over discrete geometrieën, allerlei gekke topologieën. En ik bedoel, het onderwerp verdient nog steeds de naam geometrie, ook al wordt er geen aarde meer gemeten. De oude Griekse etymologie is erg verouderd, maar dat is het wel, maar er zit zeker iets in. Of – hoe echt wil je het noemen. Maar ik denk dat het punt is dat het voor het doel van het daadwerkelijk doen van wiskunde helpt om te geloven dat het echt is.

STROGATZ: Ja, is dat niet interessant? Het doet. Het lijkt erop dat dit iets is dat heel diep in de geschiedenis van de wiskunde zit. Ik werd getroffen door een essay van Archimedes dat schreef aan zijn vriend, of in ieder geval collega, Eratosthenes.

We praten nu over ongeveer 250 v.Chr. En hij maakt de opmerking dat hij een manier heeft ontdekt om de oppervlakte te vinden van wat we het segment van een parabool zouden noemen. Hij neemt een parabool, snijdt deze door met een lijnsegment dat in een schuine hoek staat met de as van de parabool, en hij berekent dit gebied. Hij krijgt een heel mooi resultaat. Maar hij zegt iets tegen Eratosthenes als: “Deze resultaten waren altijd al inherent aan de cijfers.” Weet je, ze zijn er. Ze zijn daar. Ze wachten gewoon tot hij hem vindt.

Het is niet alsof hij ze heeft gemaakt. Het is niet zoals poëzie. Ik bedoel, het is eigenlijk interessant, nietwaar? Dat veel grote kunstenaars – Michelangelo spraken over het losmaken van het beeld uit de steen, weet je, alsof het er om te beginnen al in zat. En het klinkt zoals jij en vele andere grote wiskundigen hebben gedaan - zoals je zegt, het is erg nuttig om dit idee te geloven, dat het daar op ons wacht, wachtend op de juiste geesten om het te ontdekken.

TAO: Rechts. Welnu, ik denk dat een uiting daarvan is dat ideeën die vaak erg ingewikkeld zijn om uit te leggen wanneer ze voor het eerst worden ontdekt, vereenvoudigd worden. Ik bedoel, weet je, vaak is de reden waarom iets er in het begin erg diep of moeilijk uitziet, dat je niet de juiste notatie hebt.

We hebben nu bijvoorbeeld decimale notatie om getallen te manipuleren, en dat is erg handig. Maar in het verleden hadden we Romeinse cijfers, en toen waren er zelfs nog primitievere getalsystemen die gewoon heel, heel moeilijk waren om mee te werken als je wiskunde wilde doen.

van Euclides Elementen, weet je – enkele van de argumenten in deze oude teksten. Er zit bijvoorbeeld één stelling in die van Euclides Elementen Ik denk dat het de Bridge of Fools heet of zoiets. Het lijkt op de uitspraak dat, ik denk dat de uitspraak op een gelijkbenige driehoek lijkt, de twee basishoeken gelijk zijn. Dit lijkt op een tweeregelig bewijs in moderne geometrische teksten, met de juiste axioma's. Maar Euclides had een afschuwelijke manier om het te doen. En het was het punt waarop veel meetkundestudenten in het klassieke tijdperk de wiskunde volledig opgaven.

STROGATZ: WAAR. (lacht)

TAO: Maar weet je, we hebben nu een veel betere manier om dat te doen. De complicaties die we in de wiskunde tegenkomen zijn vaak artefacten van onze eigen beperkingen. En dus, naarmate we ouder worden, worden de dingen eenvoudiger. En daardoor voelt het reëler. We zien de artefacten niet. We zien de essentie.

STROGATZ: Nou, om terug te komen op je essay: toen je het destijds schreef – ik bedoel, dit was vrij vroeg in je carrière, niet het allereerste begin, maar toch. Waarom vond je het destijds belangrijk om te proberen te definiëren wat goede wiskunde was?

TAO: Ik denk... Dus op dat moment begon ik al afgestudeerde studenten te adviseren, en ik merkte dat er, weet je, een aantal misvattingen bestonden over wat goed is en wat niet. En ik sprak ook met wiskundigen op verschillende gebieden, en wat in het ene vakgebied in de wiskunde gewaardeerd werd, leek anders dan dat in dat van anderen. Maar toch studeerden we op de een of andere manier allemaal hetzelfde onderwerp.

En soms zei iemand iets dat me op de verkeerde manier wreef, weet je, zoals: "Deze wiskunde heeft geen toepassingen, daarom heeft het geen waarde." Of “Dit bewijs is gewoon te ingewikkeld; daarom heeft het geen waarde”, of zoiets. Of omgekeerd, weet je: “Dit bewijs is te simpel; daarom is het niet de moeite waard...' Weet je. Er was bijvoorbeeld een soort snobisme, enzovoort, dat ik soms tegenkwam.

En in mijn ervaring kwam de beste wiskunde toen ik een ander gezichtspunt, een andere manier van denken over wiskunde begreep van iemand in een ander vakgebied, en deze toepaste op een probleem waar ik om gaf. En dus was mijn ervaring met hoe je wiskunde op de juiste manier moest gebruiken, hoe je het moest hanteren, zo anders dan deze – een soort van ‘enige echte manier om wiskunde te bedrijven’.

Ik had het gevoel dat dit punt op de een of andere manier gemaakt moest worden. Dat er eigenlijk een plurale manier is om wiskunde te beoefenen, maar dat wiskunde nog steeds verenigd is.

STROGATZ: Dat is heel onthullend, want ik vroeg me af, weet je, in mijn inleiding noemde ik de vele verschillende takken van de wiskunde die je hebt onderzocht, en ik heb er een paar niet eens bij vermeld. Zoals, ik kan me nog maar een paar jaar geleden herinneren, jouw werk over dit mysterie in de vloeistofdynamica, over de vraag of bepaalde vergelijkingen waarvan we denken dat ze de bewegingen van water en lucht goed kunnen benaderen. Ik wil niet te veel in details treden, maar om even te zeggen: mensen denken dat je getaltheorie of harmonische analyse doet, en opeens ben je bezig met vragen over de vloeistofdynamica. Ik bedoel, ik besef dat het partiële differentiaalvergelijkingen zijn. Maar toch lijkt jouw interessegebied verband te houden met de mate waarin je verschillende inzichten en verschillende waardevolle ideeën accepteert van alle verschillende manieren om goede wiskunde te beoefenen.

TAO: Ik ben vergeten wie het zei, maar er zijn twee soorten wiskundigen. Er zijn egels en vossen. Een vos is iemand die van alles een beetje weet. Een egel is een wezen dat één ding heel goed weet. En de een is niet beter dan de ander. Ze vullen elkaar aan. Ik bedoel, in de wiskunde heb je mensen nodig die echt diepgaande experts zijn op één deelgebied, en die een onderwerp door en door kennen. En je hebt mensen nodig die de verbanden tussen het ene vakgebied en het andere kunnen zien. Ik identificeer me dus zeker als een vos, maar ik werk met veel egels. Het werk waar ik het meest trots op ben, is vaak zo’n samenwerking.

STROGATZ: O ja. Realiseren ze zich dat het egels zijn?

TAO: Nou, oké, de rollen veranderen in de loop van de tijd. Er zijn bijvoorbeeld andere samenwerkingen waarbij ik de egel ben en iemand anders de vos. Deze zijn niet permanent. Weet je, deze zitten niet in je DNA.

STROGATZ: Ah, goed punt. We kunnen adopteren – we kunnen beide mantels dragen.

Welnu, was er destijds een reactie op het essay? Hebben mensen iets tegen je gezegd?

TAO: Ik kreeg over het algemeen een redelijk positieve reactie. Ik bedoel, de Bulletin van de AMS is geen enorm, wijdverspreide publicatie, denk ik. En ik heb ook niet echt iets controversieels gezegd. Bovendien dateerde dit soort sociale media al van vóór de tijd, dus ik denk dat er misschien een paar wiskundeblogs zijn die het hebben opgepikt, maar er was geen Twitter. Er was niets dat ervoor zorgde dat het viraal ging.

Ja, ik denk ook dat wiskundigen over het algemeen niet veel van hun tijd en intellectueel kapitaal aan speculatie besteden. Ik bedoel, er is nog een wiskundige gebeld Minhyong Kim die deze hele mooie metafoor had dat geloofwaardigheid voor wiskundigen als valuta, als geld is. Als je stellingen bewijst en aantoont dat je het onderwerp kent, verzamel je op de een of andere manier deze valuta van geloofwaardigheid bij de bank. En als je eenmaal genoeg geld hebt, kun je het je veroorloven om een ​​beetje te speculeren door een beetje filosofisch te zijn en te zeggen wat waar zou kunnen zijn in plaats van wat je daadwerkelijk kunt bewijzen.

Maar we zijn vaak conservatief en willen geen rood staan ​​op onze bankrekening. Weet je, je wilt niet dat het grootste deel van je schrijven speculatief is en dat slechts één procent daadwerkelijk iets bewijst.

STROGATZ: Redelijk. Dus oke. Sindsdien zijn er dus heel wat jaren verstreken. Waar hebben we het over? Het is meer dan 15 jaar.

TAO: Oh ja, de tijd vliegt.

STROGATZ: Is uw mening veranderd? Is er iets dat we moeten herzien?

TAO: Nou, de wiskundecultuur is behoorlijk aan het veranderen. Ik had al een brede kijk op wiskunde, en nu heb ik een nog bredere kijk.

Een heel concreet voorbeeld is: Computerondersteunde bewijzen waren in 2007 nog steeds controversieel. Er was een beroemd vermoeden dat het vermoeden van Kepler werd genoemd en dat betrekking heeft op de meest efficiënte manier om eenheidsballen in een driedimensionale ruimte te verpakken. En er is een standaardpakking, ik denk dat die de kubieke centrale pakking wordt genoemd of zoiets, waarvan Kepler vermoedde dat deze de best mogelijke was.

Dit werd uiteindelijk opgelost, maar de het bewijs was zeer computerondersteund. Het was behoorlijk ingewikkeld, en [Thomas] Halesuiteindelijk werd er feitelijk een hele computertaal gecreëerd om dit specifieke bewijs formeel te verifiëren, maar het werd jarenlang niet als echt bewijs geaccepteerd. Maar het illustreerde hoe controversieel het concept van een bewijs dat je computerhulp nodig had om te verifiëren, was.

In de jaren daarna zijn er vele, vele andere voorbeelden geweest van bewijzen waarbij een mens een ingewikkeld probleem kan reduceren tot iets waarvoor nog steeds een computer nodig is om het te verifiëren. En dan gaat de computer verder en verifieert het. We hebben manieren ontwikkeld om dit op een verantwoorde manier te doen. Je weet wel, hoe je code en gegevens publiceert en manieren om nieuwe open-source dingen te controleren, enzovoort. En nu is er een brede acceptatie van computerondersteunde proefdrukken.

Ik denk dat de volgende culturele verschuiving zal plaatsvinden of door AI gegenereerde bewijzen zullen worden geaccepteerd. Op dit moment zijn AI-tools nog niet op het niveau waarop ze bewijzen kunnen genereren om wiskundige problemen echt vooruit te helpen. Misschien kunnen ze huiswerk op bachelorniveau wel aan, maar wiskundeonderzoek, dat niveau hebben ze nog niet. Maar op een gegeven moment zullen we AI-ondersteunde artikelen zien verschijnen en zal er een debat ontstaan.

De manier waarop onze cultuur in sommige opzichten is veranderd… In 2007 stelde slechts een fractie van de wiskundigen hun preprints beschikbaar voordat ze werden gepubliceerd. Auteurs bewaakten angstvallig hun preprints totdat ze de kennisgeving van acceptatie van het tijdschrift hadden ontvangen. En dan kunnen ze het delen.

Maar nu zet iedereen zijn papieren op openbare servers zoals de arXiv. Er is veel meer openheid om video's en blogposts te plaatsen, over waar de ideeën van een paper vandaan komen. Omdat mensen beseffen dat dit het werk invloedrijker en impactvoller maakt. Als je probeert je werk niet in de publiciteit te brengen en er heel geheimzinnig over doet, zal het geen enkele indruk maken.

Wiskunde is geworden veel meer samenwerking. Weet je, 50 jaar geleden zou ik zeggen dat de meerderheid van de artikelen in de wiskunde uit één auteur bestond. Nu bestaat de meerderheid beslist uit twee, drie of vier auteurs. En we beginnen nu pas echt grote projecten te zien, zoals we dat in de wetenschappen doen, weet je, waarbij tientallen, honderden mensen samenwerken. Dat is nog steeds moeilijk voor wiskundigen, maar ik denk dat we er wel komen.

Tegelijkertijd worden we veel meer interdisciplinair. We werken veel meer samen met andere wetenschappen. We werken tussen de wiskundegebieden. En dankzij internet kunnen we samenwerken met mensen over de hele wereld. De manier waarop we wiskunde beoefenen is dus definitief aan het veranderen.

Ik hoop dat we in de toekomst meer gebruik kunnen maken van de amateur-wiskundegemeenschap. Er zijn andere gebieden, zoals de astronomie, waar astronomen veel gebruik maken van de gemeenschap van amateurastronomie. Er worden bijvoorbeeld veel kometen gevonden door amateurs.

Maar wiskundigen... Er zijn een paar geïsoleerde gebieden van de wiskunde, zoals tegels, tweedimensionale tegels, en misschien het vinden van records in priemgetallen. Er zijn een aantal zeer geselecteerde vakgebieden in de wiskunde waar amateurs bijdragen leveren, en die zijn welkom. Maar er zijn veel barrières. Op de meeste gebieden van de wiskunde heb je zoveel training en geïnternaliseerde of conventionele wijsheid nodig dat we dingen niet kunnen crowdsourcen. Maar dit kan in de toekomst veranderen. Misschien zou een van de gevolgen van AI zijn dat amateurwiskundigen een betekenisvolle bijdrage kunnen leveren aan de wiskunde.

STROGATZ: Dat is erg interessant.

[Pauze voor advertentie-invoeging]

STROGATZ: Dus de amateurs kunnen, met behulp van AI's, nieuwe vragen stellen die goed zijn, of helpen bij het goed onderzoeken van bestaande vragen, dat soort dingen?

TAO: Er zijn veel verschillende modaliteiten – ja. Er zijn nu bijvoorbeeld projecten om bewijzen van grote stellingen in deze dingen te formaliseren formele bewijsassistenten, die vergelijkbaar zijn met computertalen die 100% kunnen verifiëren of een stelling waar is of niet, en – bewezen is of niet. Dit maakt daadwerkelijk grootschalige samenwerking in de wiskunde mogelijk.

Dus als je in het verleden met tien andere mensen samenwerkte om een ​​stelling te bewijzen, en iedereen draagt ​​een stap bij, moest iedereen de wiskunde van de anderen verifiëren. Omdat het ding met wiskunde is dat als er in één stap een fout zit, het hele ding uit elkaar kan vallen.

Je hebt dus vertrouwen nodig, en dus – daarom verhindert dit, dit verhindert werkelijk grootschalige samenwerking in de wiskunde. Maar er zijn nu succesvolle voorbeelden van echt grote stellingen die worden geformaliseerd terwijl er een enorme gemeenschap is, ze kennen elkaar niet allemaal, ze vertrouwen elkaar niet allemaal, maar ze communiceren via het uploaden naar een Github-repository of zoiets als individuele bewijzen van individuele stappen in het betoog. En de formele proefsoftware verifieert alles, zodat u zich geen zorgen hoeft te maken over vertrouwen. We maken dus nieuwe vormen van samenwerking mogelijk, die we in het verleden nog niet echt hebben gezien.

STROGATZ: Het is echt interessant om jouw visie te horen, Terry. Het is een fascinerende gedachte. Je hoort de uitdrukking ‘burgerwiskundige’ niet. Je hoort van burgerwetenschap, maar waarom geen burgerwiskunde?

Maar ik vraag me af: zijn er trends waar u zich zorgen over maakt, bijvoorbeeld op het gebied van computerondersteunde proefdrukken of door AI gegenereerde proefdrukken? Zullen we weten dat bepaalde resultaten waar zijn, maar zullen we niet begrijpen waarom?

TAO: Dus dat is een probleem. Ik bedoel, het is al een probleem, zelfs vóór de komst van AI. Er zijn dus veel vakgebieden waar de artikelen over een onderwerp steeds langer worden, honderden pagina's. En ik heb goede hoop dat AI juist kan helpen bij het vereenvoudigen en zowel kan verklaren als bewijzen.

Er bestaat dus al experimentele software waarmee je, bijvoorbeeld, als je een bewijs neemt dat is geformaliseerd, dit daadwerkelijk kunt omzetten in een interactief, voor mensen leesbaar document, waar je het bewijs hebt en de stappen op hoog niveau ziet en of er een zin is. Als je het niet begrijpt, kun je erop dubbelklikken en het wordt in kleinere stappen uitgevouwen. Ik denk dat je binnenkort ook een AI-chatbot naast je kunt krijgen terwijl je het bewijs doorneemt, en die vragen kan beantwoorden en elke stap kan uitleggen alsof zij de auteur zijn. Ik denk dat we daar al heel dichtbij zijn.

Er zijn zorgen. We moeten de manier veranderen waarop we onze studenten opleiden, vooral nu we met veel van onze traditionele manieren om huiswerk op te geven, enzovoort, bijna op het punt zijn aangekomen waarop deze AI-tools veel van onze standaard examenvragen direct kunnen beantwoorden. En dus moeten we onze studenten nieuwe vaardigheden leren, zoals hoe ze kunnen verifiëren of een door AI gegenereerde output correct is of niet en hoe ze een second opinion kunnen krijgen.

En misschien zien we de komst van een meer experimentele kant van de wiskunde, weet je. Wiskunde is dus bijna geheel theoretisch, terwijl de meeste wetenschappen zowel een theoretische als een experimentele component hebben. Het kan zijn dat we uiteindelijk resultaten behalen die eerst alleen door computers worden bewezen en die we, zoals u zegt, niet begrijpen. Maar zodra we de gegevens hebben die de AI, de door de computer gegenereerde bewijzen, verschaffen, kunnen we misschien experimenten uitvoeren.

Er is nu een beetje experimentele wiskunde. Mensen bestuderen grote datasets van verschillende dingen, bijvoorbeeld elliptische curven. Maar in de toekomst kan het nog veel groter worden.

STROGATZ:Goh, jij hebt een heel optimistische kijk, zo lijkt het mij. Het is niet alsof de Gouden Eeuw in het verleden ligt. Als ik je goed hoor, denk je dat er heel veel spannende dingen in het verschiet liggen.

TAO: Ja, veel van de nieuwe technologische hulpmiddelen zijn zeer krachtig. Ik bedoel, AI heeft over het algemeen veel complexe voor- en nadelen. En buiten de wetenschappen zijn er veel mogelijke verstoringen van de economie, intellectuele eigendomsrechten, enzovoort. Maar binnen wiskunde denk ik dat de verhouding tussen goed en slecht beter is dan op veel andere gebieden.

En weet je, het internet heeft de manier waarop we wiskunde beoefenen echt veranderd. Ik werk met veel mensen samen op veel verschillende terreinen. Zonder internet zou ik dit niet kunnen doen. Het feit dat ik op Wikipedia of wat dan ook kan gaan en aan de slag kan met het leren van een onderwerp, en dat ik iemand kan e-mailen, en dat we online kunnen samenwerken. Als ik dingen op de ouderwetse manier zou moeten doen, waarbij ik alleen met mensen op mijn afdeling kon praten en voor al het andere fysieke post kon gebruiken, zou ik niet de wiskunde kunnen doen die ik nu doe.

STROGATZ: Wauw, oké. Ik moet alleen onderstrepen wat je zojuist zei, omdat ik in geen miljoen jaar had gedacht dat ik dit zou horen: Terry Tao leest Wikipedia om wiskunde te leren?

TAO: Als uitgangspunt. Ik bedoel, het is niet altijd Wikipedia, maar alleen om de trefwoorden te achterhalen, en dan zal ik een meer gespecialiseerde zoekopdracht uitvoeren, bijvoorbeeld WiskundeSciNet of een andere databank. Maar ja.

STROGATZ: Het is geen kritiek. Ik bedoel, ik doe hetzelfde. Als er enige kritiek is op de wiskunde op Wikipedia, is Wikipedia eigenlijk dat het soms een beetje te geavanceerd is voor de lezers waarvoor het bedoeld is, denk ik. Niet altijd. Ik bedoel, het hangt ervan af. Het verschilt nogal per artikel. Maar dat is gewoon grappig. Ik vind het leuk om dat te horen.

TAO: Ik bedoel, met deze tools moet je de output kunnen controleren. Weet je, dus ik bedoel, de reden waarom ik Wikipedia kan gebruiken om wiskunde te doen, is omdat ik al genoeg wiskunde ken, zodat ik kan ruiken of een stukje Wikipedia op het gebied van wiskunde verdacht is of niet. Weet je, het kan een aantal bronnen krijgen en de ene zal een betere bron zijn dan de andere. En ik ken de auteurs, en ik heb een idee welke referentie voor mij beter zal zijn. Als ik Wikipedia zou gebruiken om meer te weten te komen over een onderwerp waar ik geen ervaring mee had, dan denk ik dat het meer een willekeurige variabele zou zijn.

STROGATZ: Nou, we hebben dus nogal wat gepraat over wat goede wiskunde maakt, de mogelijke toekomst voor nieuwe soorten goede wiskunde. Maar misschien moeten we de vraag beantwoorden: waarom doet dit er eigenlijk toe? Waarom is het belangrijk dat wiskunde goed is?

TAO: Nou, in de eerste plaats bedoel ik: waarom hebben we überhaupt wiskundigen? Waarom waardeert de samenleving wiskundigen en geeft ze ons de middelen om te doen wat we doen? Weet je, het komt omdat we enige waarde bieden. We kunnen toepassingen hebben in de echte wereld. Er is intellectuele belangstelling, en sommige van de theorieën die we ontwikkelen, verschaffen uiteindelijk inzicht in andere verschijnselen.

En niet alle wiskunde is van gelijke waarde. Ik bedoel, je zou steeds meer cijfers van pi kunnen berekenen, maar op een gegeven moment leer je niets meer. Elk onderwerp heeft een soort waardeoordeel nodig, omdat je middelen moet toewijzen. Er is zoveel wiskunde. Welke ontwikkelingen wil je onder de aandacht brengen en publiceren en aan andere mensen laten weten, en welke zouden misschien gewoon ergens in een dagboek moeten staan?

Zelfs als je een onderwerp als volkomen objectief beschouwt en er alleen maar waar of onwaar is, moeten we nog steeds keuzes maken. Weet je, alleen maar omdat tijd een beperkte hulpbron is. Aandacht is een beperkte hulpbron. Geld is een beperkte hulpbron. Dit zijn dus altijd belangrijke vragen.

STROGATZ: Nou, interessant dat je zegt over publiceren, omdat het iets is dat volgens mij een onderscheidend kenmerk van je werk is, dat je ook veel moeite hebt gedaan om wiskunde publiekelijk toegankelijk te maken via je blog, via verschillende artikelen die je ' heb geschreven. Ik herinner me dat ik er een besprak waarin je schreef Amerikaanse wetenschapper over universaliteit en dat idee. Waarom is het belangrijk om wiskunde publiekelijk toegankelijk en begrijpelijk te maken? Ik bedoel, wat probeer je te doen?

TAO: Het gebeurde min of meer organisch. In het begin van mijn carrière was het World Wide Web nog erg nieuw, en wiskundigen begonnen webpagina's met verschillende inhoud te hebben, maar er was niet echt een centrale directory. Vóór Google enzovoort was het eigenlijk moeilijk om individuele bronnen te vinden.

Dus ik begon een soort van maken kleine mappen op mijn webpagina. En ik zou ook webpagina's maken voor mijn eigen artikelen, en ik zou wat commentaar geven. Aanvankelijk was het meer voor mijn eigen voordeel, gewoon als organisatorisch hulpmiddel, gewoon om me te helpen dingen te vinden. Als bijproduct was het beschikbaar voor het publiek, maar ik was een soort van primaire consument, althans dat dacht ik, van mijn eigen webpagina's.

Maar ik herinner het me heel duidelijk: er was een keer dat ik een artikel schreef en dat op mijn webpagina plaatste, en ik had een kleine subpagina met de naam 'Wat is er nieuw?' En ik zei alleen maar: 'Hier is een papiertje. Er zit een vraag in die ik nog steeds niet kon beantwoorden, en ik weet niet hoe ik die moet oplossen. En ik maakte zojuist deze opmerking. En toen, twee dagen later, kreeg ik een e-mail waarin stond: 'Oh, ik was net je startpagina aan het controleren. Ik weet het antwoord hierop. Er is een document dat uw probleem zal oplossen.'

En het deed me in de eerste plaats beseffen dat mensen daadwerkelijk mijn webpagina bezochten, wat ik niet echt wist. Maar die interactie met de gemeenschap zou mij echt – nou ja, het zou mij kunnen helpen mijn vragen direct op te lossen.

Er is een zogenaamde wet De wet van Metcalfe in netwerken dat, weet je, als je dat hebt n mensen, en ze praten allemaal met elkaar, er is ongeveer n² verbindingen daartussen. En dus, hoe groter het publiek en hoe groter het forum waar iedereen met iedereen kan praten, hoe meer potentiële verbindingen je kunt maken en hoe meer goede dingen er kunnen gebeuren.

Ik bedoel, in mijn carrière zijn zoveel van de ontdekkingen die ik heb gedaan, of de verbindingen die ik heb gelegd, het gevolg van een onverwachte verbinding. Mijn hele carrière-ervaring is dat hoe meer verbindingen gelijk staan ​​aan het feit dat er betere dingen gebeuren.

STROGATZ: Ik denk dat een mooi voorbeeld van waar je het net over hebt, maar ik zou je er graag over horen praten, de verbindingen zijn die je hebt gelegd met mensen in de datawetenschap die geïnteresseerd zijn in vragen die te maken hebben met medische resonantiebeeldvorming , MRI. Kun je ons iets over dat verhaal vertellen?

TAO: Dus dit was ongeveer 2006, 2005, denk ik. Er was dus een interdisciplinair programma hier op de campus van de UCLA, over, denk ik, geometrische analyse op meerdere schaalniveaus, of iets dergelijks, waar ze zuivere wiskundigen samenbrachten die geïnteresseerd waren in een soort multischaaltypegeometrie op zich, en dan: weet je, mensen die heel concrete problemen met het gegevenstype hadden.

En ik was net begonnen te werken aan een aantal problemen in de willekeurige matrixtheorie, dus ik stond min of meer bekend als iemand die matrices kon manipuleren. En ik ontmoette iemand die ik al kende, Emmanuel Candes, omdat hij destijds vlak naast Caltech werkte. En hij en een andere medewerker, Justin Romberghadden ze dit ongewone fenomeen ontdekt.

Ze keken dus naar MRI-beelden, maar die zijn erg traag. Om genoeg echt hoge resolutie beelden van een menselijk lichaam te verzamelen, of genoeg om misschien een tumor op te vangen, of welk medisch belangrijk kenmerk je ook wilt vinden, duurt het vaak enkele minuten omdat ze al deze verschillende hoeken moeten scannen en vervolgens de gegevens moeten synthetiseren. . En dit was eigenlijk een probleem, omdat het voor kleine kinderen bijvoorbeeld behoorlijk problematisch was om drie minuten stil te zitten in de MRI-machine.

Dus experimenteerden ze op een andere manier, met behulp van lineaire algebra. Ze hoopten een prestatieverbetering van 10%, 20% te behalen. Je weet wel, een iets scherper beeld door het standaardalgoritme een beetje aan te passen.

Het standaardalgoritme heette dus kleinste kwadratenbenadering, en ze deden iets anders: totale variatieminimalisatie. Maar toen ze de computersoftware draaiden, kregen ze een bijna perfecte reconstructie van hun testbeeld. Enorme, enorme verbetering. En ze konden dit niet verklaren.

Maar Emmanuel was bij dit programma en we waren aan het kletsen bij de thee of zoiets. En hij zei dit zojuist en eigenlijk was mijn eerste gedachte dat je een fout hebt gemaakt in je berekening, dat wat je zegt eigenlijk niet mogelijk is. En ik herinner me dat ik die avond naar huis ging en probeerde een feitelijk bewijs op te schrijven dat wat ze zagen niet echt kon gebeuren. En halverwege besefte ik dat ik een aanname had gedaan die niet waar was. En toen besefte ik dat het eigenlijk wel zou kunnen werken. En toen bedacht ik wat de verklaring zou kunnen zijn. En toen werkten we samen, en we vonden eigenlijk een goede verklaring en die publiceerden we.

En toen we dat eenmaal deden, realiseerden mensen zich dat er veel andere situaties waren waarin je een meting moest uitvoeren waarvoor normaal gesproken heel veel gegevens nodig waren, en in sommige gevallen kun je een veel kleinere hoeveelheid gegevens nemen en toch een heel hoog resultaat krijgen. resolutie meting.

Dus nu bijvoorbeeld moderne MRI-machines: een scan die vroeger drie minuten duurde, kan nu 30 seconden duren omdat deze software, dit algoritme, nu hardwired en hardgecodeerd in de machines zit.

STROGATZ: Het is een prachtig verhaal, het is zo'n geweldig verhaal. Ik bedoel, praat over belangrijke wiskunde die levens verandert, letterlijk, in deze context van medische beeldvorming. Ik hou van de serendipiteit ervan en van je openheid, weet je, om dit idee te horen en dan te denken: "Dit is onmogelijk, ik kan het bewijzen." En dan beseffen: nee, eigenlijk. Fantastisch om te zien dat wiskunde zo’n impact heeft.

Nou, oké, ik denk dat ik je beter kan laten gaan, Terry. Het was een waar genoegen om de essentie van goede wiskunde met je te bespreken. Heel erg bedankt dat je vandaag bij ons bent gekomen.

TAO: Ja, nee, het was me een genoegen. 

[Pauze voor advertentie-invoeging]

STROGATZ: “The Joy of Why” is een podcast van Quanta Magazine, een redactioneel onafhankelijke publicatie ondersteund door de Simons Foundation. Financieringsbeslissingen van de Simons Foundation hebben geen invloed op de selectie van onderwerpen, gasten of andere redactionele beslissingen in deze podcast of in Quanta Magazine.

“The Joy of Why” is geproduceerd door PRX-producties. Het productieteam bestaat uit Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler en Merritt Jacob. De uitvoerend producent van PRX Productions is Jocelyn Gonzales. Morgan Church en Edwin Ochoa boden aanvullende hulp. Van Quanta MagazineJohn Rennie en Thomas Lin zorgden voor redactionele begeleiding, met steun van Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana en Madison Goldberg.

Onze themamuziek is van APM Music. Julian Lin bedacht de naam van de podcast. De afbeelding van de aflevering is van Peter Greenwood en ons logo is van Jaki King en Kristina Armitage. Speciale dank aan de Columbia Journalism School en Burt Odom-Reed van de Cornell Broadcast Studios.

Ik ben je gastheer, Steve Strogatz. Als u vragen of opmerkingen voor ons heeft, kunt u een e-mail sturen naar [e-mail beveiligd]. Bedankt voor het luisteren.