Als je een badkamervloer wilt betegelen, zijn vierkante tegels de eenvoudigste optie: ze passen zonder gaten in elkaar in een rasterpatroon dat voor onbepaalde tijd kan doorgaan. Dat vierkante raster heeft een eigenschap die veel andere tegels gemeen hebben: als je het hele raster een vast bedrag verschuift, is het resulterende patroon niet meer te onderscheiden van het origineel. Maar voor veel wiskundigen zijn zulke ‘periodieke’ betegelingen saai. Als je één klein stukje hebt gezien, heb je alles gezien.

In de jaren zestig begonnen wiskundigen te studeren “aperiodieke” tegelsets met veel rijker gedrag. Misschien wel de meest bekende is een paar ruitvormige tegels die in de jaren zeventig werden ontdekt door de polymathische natuurkundige en toekomstige Nobelprijswinnaar Roger Penrose. Kopieën van deze twee tegels kunnen oneindig veel verschillende patronen vormen die eeuwig doorgaan, de zogenaamde Penrose-tegels. Maar hoe je de tegels ook rangschikt, je zult nooit een periodiek herhalend patroon krijgen.

"Dit zijn tegels die eigenlijk niet zouden moeten bestaan", zei hij Nikolas Breuckman, een natuurkundige aan de Universiteit van Bristol.

Al meer dan een halve eeuw fascineren aperiodieke betegelingen wiskundigen, hobbyisten en onderzoekers op vele andere gebieden. Nu hebben twee natuurkundigen een verband ontdekt tussen aperiodieke betegelingen en een ogenschijnlijk niet-verwante tak van de informatica: de studie van hoe toekomstige kwantumcomputers informatie kunnen coderen om bescherm het tegen fouten. In een papier Gepost op de preprint-server arxiv.org in november, lieten de onderzoekers zien hoe Penrose-tilings kunnen worden omgezet in een geheel nieuw type kwantumfoutcorrectiecode. Ze construeerden ook soortgelijke codes op basis van twee andere soorten aperiodieke tegels.

De kern van de correspondentie is een eenvoudige observatie: zowel bij aperiodieke betegelingen als bij kwantumfoutcorrectiecodes onthult het leren over een klein deel van een groot systeem niets over het systeem als geheel.

"Het is een van die mooie dingen die achteraf gezien voor de hand liggend lijken", zei hij Toby Cubitt, een kwantuminformatieonderzoeker aan het University College London. "Je denkt: 'Waarom heb ik daar niet aan gedacht?'"

Verboden kennis

Gewone computers vertegenwoordigen informatie met behulp van bits met twee verschillende toestanden, genaamd 0 en 1. Kwantumbits, of qubits, hebben eveneens twee toestanden, maar ze kunnen ook worden overgehaald tot zogenaamde superposities waarin hun 0- en 1-toestanden naast elkaar bestaan. Door gebruik te maken van uitgebreidere superposities waarbij veel qubits betrokken zijn, quantum computers kan bepaalde berekeningen veel sneller uitvoeren dan welke conventionele machine dan ook.

Toch zijn kwantumsuperposities schichtige wezens. Meet een qubit in een superpositiestatus en deze zal instorten tot 0 of 1, waardoor alle lopende berekeningen worden weggevaagd. Tot overmaat van ramp kunnen fouten die voortkomen uit zwakke interacties tussen qubits en hun omgeving de destructieve effecten van metingen nabootsen. Alles wat een qubit de verkeerde kant op wrijft, of het nu een nieuwsgierige onderzoeker is of een verdwaald foton, kan de berekening bederven.

Deze extreme kwetsbaarheid zou ervoor kunnen zorgen dat quantum computing hopeloos klinkt. Maar in 1995 ontdekte de toegepaste wiskundige Peter Shor ontdekt een slimme manier om kwantuminformatie op te slaan. Zijn codering had twee belangrijke eigenschappen. Ten eerste kon het fouten tolereren die alleen van invloed waren op individuele qubits. Ten tweede werd er een procedure meegeleverd om fouten te corrigeren zodra ze zich voordeden, zodat ze zich niet konden opstapelen en een berekening konden laten ontsporen. De ontdekking van Shor was het eerste voorbeeld van een kwantumfoutcorrigerende code, en de twee belangrijkste eigenschappen ervan zijn de bepalende kenmerken van al dergelijke codes.

De eerste eigenschap komt voort uit een eenvoudig principe: geheime informatie is minder kwetsbaar als deze wordt opgedeeld. Spionagenetwerken hanteren een vergelijkbare strategie. Elke spion weet heel weinig over het netwerk als geheel, dus de organisatie blijft veilig, zelfs als er iemand wordt opgepakt. Maar kwantumfoutcorrectiecodes voeren deze logica tot het uiterste. In een kwantumspionagenetwerk zou geen enkele spion iets weten, maar samen zouden ze veel weten.

Elke kwantumfoutcorrectiecode is een specifiek recept voor het distribueren van kwantuminformatie over vele qubits in een collectieve superpositiestatus. Deze procedure transformeert een cluster van fysieke qubits effectief in één virtuele qubit. Herhaal het proces vele malen met een grote reeks qubits, en u krijgt veel virtuele qubits die u kunt gebruiken om berekeningen uit te voeren.

De fysieke qubits waaruit elke virtuele qubit bestaat, lijken op die zich niet bewuste kwantumspionnen. Meet een van deze, en je leert niets over de toestand van de virtuele qubit waar hij deel van uitmaakt - een eigenschap die lokale niet-onderscheidbaarheid wordt genoemd. Omdat elke fysieke qubit geen informatie codeert, zullen fouten in afzonderlijke qubits een berekening niet verpesten. De informatie die er toe doet, is op de een of andere manier overal aanwezig, maar nergens in het bijzonder.

"Je kunt het niet aan een individuele qubit koppelen", zei Cubitt.

Alle kwantumfoutcorrectiecodes kunnen ten minste één fout absorberen zonder enig effect op de gecodeerde informatie, maar ze zullen uiteindelijk allemaal bezwijken naarmate de fouten zich opstapelen. Dat is waar de tweede eigenschap van kwantumfoutcorrectiecodes in werking treedt: de daadwerkelijke foutcorrectie. Dit hangt nauw samen met de lokale ononderscheidbaarheid: omdat fouten in individuele qubits geen informatie vernietigen, is het altijd mogelijk om elke fout ongedaan maken waarbij gebruik wordt gemaakt van vastgestelde procedures die specifiek zijn voor elke code.

Genomen voor een ritje

Zji Li, een postdoc aan het Perimeter Institute for Theoretical Physics in Waterloo, Canada, was goed thuis in de theorie van kwantumfoutcorrectie. Maar het onderwerp was ver uit zijn hoofd toen hij een gesprek begon met zijn collega Latham Boyle. Het was de herfst van 2022 en de twee natuurkundigen zaten in een avondpendel van Waterloo naar Toronto. Boyle, een expert op het gebied van aperiodieke betegeling, die destijds in Toronto woonde en nu aan de Universiteit van Edinburgh werkt, was een bekend gezicht op die shuttleritten, die vaak vast kwamen te zitten in druk verkeer.

‘Normaal gesproken kunnen ze zich heel ellendig voelen,’ zei Boyle. “Dit was de grootste aller tijden.”

Vóór die noodlottige avond kenden Li en Boyle elkaars werk, maar hun onderzoeksgebieden overlapten elkaar niet direct en ze hadden nooit een één-op-één gesprek gehad. Maar net als talloze onderzoekers op niet-gerelateerde terreinen was Li nieuwsgierig naar aperiodieke betegelingen. 'Het is heel moeilijk om niet geïnteresseerd te zijn', zei hij.

Interesse veranderde in fascinatie toen Boyle een bijzondere eigenschap van aperiodieke betegeling noemde: lokale niet-onderscheidbaarheid. In die context betekent de term iets anders. Dezelfde set tegels kan oneindig veel tegels vormen die er totaal verschillend uitzien, maar het is onmogelijk om twee tegels van elkaar te onderscheiden door een lokaal gebied te onderzoeken. Dat komt omdat elk eindig stukje van welke tegel dan ook, hoe groot ook, ergens in elke andere tegel zal verschijnen.

'Als ik je in de ene of de andere tegel neerleg en je de rest van je leven de tijd geef om te ontdekken, zul je nooit kunnen achterhalen of ik je in jouw tegel of de mijne heb neergezet,' zei Boyle.

Voor Li leek dit verleidelijk veel op de definitie van lokale niet-onderscheidbaarheid bij kwantumfoutcorrectie. Hij noemde de connectie met Boyle, die meteen gefascineerd was. De onderliggende wiskunde in de twee gevallen was behoorlijk verschillend, maar de gelijkenis was te intrigerend om te ontkennen.

Li en Boyle vroegen zich af of ze een nauwkeuriger verband konden leggen tussen de twee definities van lokale niet-onderscheidbaarheid door een kwantumfoutcorrectiecode te bouwen op basis van een klasse van aperiodieke betegelingen. Ze bleven praten gedurende de hele twee uur durende rit met de shuttle, en tegen de tijd dat ze in Toronto aankwamen, waren ze er zeker van dat een dergelijke code mogelijk was; het was alleen maar een kwestie van een formeel bewijs construeren.

Kwantumtegels

Li en Boyle besloten te beginnen met Penrose-betegelingen, die eenvoudig en vertrouwd waren. Om ze om te zetten in een kwantumfoutcorrectiecode, zouden ze eerst moeten definiëren hoe kwantumtoestanden en fouten eruit zouden zien in dit ongebruikelijke systeem. Dat deel was gemakkelijk. Een oneindig tweedimensionaal vlak bedekt met Penrose-tegels, zoals een raster van qubits, kan worden beschreven met behulp van het wiskundige raamwerk van de kwantumfysica: de kwantumtoestanden zijn specifieke tegels in plaats van 0s en 1s. Een fout verwijdert eenvoudigweg een enkele patch van het tegelpatroon, zoals bepaalde fouten in qubit-arrays de status van elke qubit in een klein cluster wegvagen.

De volgende stap was het identificeren van tegelconfiguraties die niet zouden worden beïnvloed door gelokaliseerde fouten, zoals de virtuele qubit-statussen in gewone kwantumfoutcorrectiecodes. De oplossing was, net als bij gewone code, het gebruik van superposities. Een zorgvuldig gekozen combinatie van Penrose-tegels lijkt op een badkamertegelarrangement voorgesteld door 's werelds meest besluiteloze binnenhuisarchitect. Zelfs als een stukje van die door elkaar gegooide blauwdruk ontbreekt, zal dit geen enkele informatie over de algehele plattegrond verraden.

Om deze aanpak te laten werken, moesten Li en Boyle eerst twee kwalitatief verschillende relaties tussen verschillende Penrose-betegelingen onderscheiden. Bij elke tegeling kunt u een oneindig aantal nieuwe tegels genereren door deze in welke richting dan ook te verschuiven of te draaien. De verzameling van alle op deze manier gegenereerde betegelingen wordt een equivalentieklasse genoemd.

Maar niet alle Penrose-betegelingen vallen in dezelfde gelijkwaardigheidsklasse. Een tegelwerk in de ene equivalentieklasse kan niet worden getransformeerd in een tegelwerk in een andere klasse door welke combinatie van rotaties en vertalingen dan ook; de twee oneindige patronen zijn kwalitatief verschillend, maar toch lokaal niet van elkaar te onderscheiden.

Met dit onderscheid konden Li en Boyle eindelijk een foutcorrectiecode construeren. Bedenk dat in een gewone kwantumfoutcorrectiecode een virtuele qubit wordt gecodeerd in superposities van fysieke qubits. In hun op tegels gebaseerde code zijn de analoge toestanden superposities van alle tegels binnen een enkele equivalentieklasse. Als het vlak bedekt is met dit soort superpositie, bestaat er een procedure om gaten op te vullen zonder enige informatie over de algehele kwantumtoestand te onthullen.

"De Penrose-tegels wisten op de een of andere manier al van kwantumfoutcorrectie vóór de uitvinding van de kwantumcomputer", zei Boyle.

De intuïtie van Li en Boyle tijdens de busrit had gelijk gehad. Op een diep niveau waren de twee definities van lokale niet-onderscheidbaarheid zelf niet van elkaar te onderscheiden.

Het patroon vinden

Hoewel wiskundig goed gedefinieerd, was de nieuwe code van Li en Boyle nauwelijks praktisch. De randen van tegels in Penrose-betegelingen vallen niet met regelmatige tussenpozen, dus het specificeren van hun verdeling vereist continue reële getallen in plaats van discrete gehele getallen. Kwantumcomputers gebruiken daarentegen doorgaans discrete systemen zoals rasters van qubits. Erger nog, Penrose-betegelingen zijn alleen lokaal niet te onderscheiden op een oneindig vlak, wat zich niet goed vertaalt naar de eindige echte wereld.

"Het is een heel merkwaardige verbinding", zei hij Barbara Terhal, een quantum computing-onderzoeker aan de Technische Universiteit Delft. “Maar het is ook goed om het nuchter te brengen.”

Li en Boyle hebben al een stap in die richting gezet door twee andere op tegels gebaseerde codes te construeren waarin het onderliggende kwantumsysteem in het ene geval eindig is en in het andere geval discreet. De discrete code kan ook eindig worden gemaakt, maar er blijven andere uitdagingen bestaan. Beide eindige codes kunnen alleen fouten corrigeren die bij elkaar zijn geclusterd, terwijl de meest populaire kwantumfoutcorrectiecodes willekeurig verdeelde fouten kunnen verwerken. Het is nog niet duidelijk of dit een inherente beperking is van op tegels gebaseerde codes of dat dit kan worden omzeild met een slimmer ontwerp.

"Er is veel vervolgwerk dat kan worden gedaan", zei hij Felix Flikker, een natuurkundige aan de Universiteit van Bristol. “Alle goede papieren zouden dat moeten doen.”

Het zijn niet alleen de technische details die beter moeten worden begrepen; de nieuwe ontdekking roept ook meer fundamentele vragen op. Een voor de hand liggende volgende stap is om te bepalen welke andere betegelingen ook als codes werken. Vorig jaar ontdekten wiskundigen een familie van aperiodieke betegelingen dat elk slechts één tegel gebruikt. “Het zou fascinerend zijn om te zien hoe deze recente ontwikkelingen misschien verband houden met het probleem van kwantumfoutcorrectie”, schreef Penrose in een e-mail.

Een andere richting omvat het onderzoeken van verbindingen tussen kwantumfoutcorrectiecodes en bepaalde modellen van kwantumzwaartekracht. In een 2020 papierBoyle, Flicker en wijlen Madeline Dickens toonden aan dat aperiodieke betegelingen voorkomen in de ruimte-tijdgeometrie van die modellen. Maar dat verband kwam voort uit een eigenschap van de betegeling die geen rol speelt in het werk van Li en Boyle. Het lijkt erop dat kwantumzwaartekracht, kwantumfoutcorrectie en aperiodieke betegelingen verschillende stukjes van een puzzel zijn waarvan onderzoekers de contouren nog maar net beginnen te begrijpen. Net als bij aperiodieke betegelingen zelf, kan het opmerkelijk subtiel zijn om uit te zoeken hoe die stukken in elkaar passen.

“Er zijn diepe wortels die deze verschillende dingen met elkaar verbinden”, zegt Flicker. “Deze prikkelende reeks verbindingen smeekt om uitgewerkt te worden.”