In 1917 stelde de Japanse wiskundige Sōichi Kakeya wat aanvankelijk niets meer leek dan een leuke oefening in meetkunde. Leg een oneindig dunne naald van XNUMX cm lang op een plat oppervlak en draai hem vervolgens zodat hij beurtelings in alle richtingen wijst. Wat is het kleinste gebied dat de naald kan wegvegen?

Als je het gewoon om het midden draait, krijg je een cirkel. Maar het is mogelijk om de naald op inventieve manieren te verplaatsen, zodat je veel minder ruimte vrijmaakt. Wiskundigen hebben sindsdien een verwante versie van deze vraag gesteld, het vermoeden van Kakeya. In hun pogingen om het op te lossen, hebben ze verrassende verbanden ontdekt met harmonische analyse, getaltheorie en zelfs natuurkunde.

"Op de een of andere manier is deze geometrie van lijnen die in veel verschillende richtingen wijzen alomtegenwoordig in een groot deel van de wiskunde", zei hij Jonathan Hickman van de Universiteit van Edinburgh.

Maar het is ook iets dat wiskundigen nog steeds niet helemaal begrijpen. In de afgelopen jaren hebben ze variaties op het vermoeden van Kakeya bewezen in gemakkelijkere instellingen, maar de vraag blijft onopgelost in de normale, driedimensionale ruimte. Enige tijd leek het alsof alle vooruitgang op die versie van het vermoeden was vastgelopen, ook al heeft het tal van wiskundige consequenties.

Nu hebben twee wiskundigen als het ware de naald verplaatst. Hun nieuwe bewijs slaat een groot obstakel neer die al tientallen jaren standhoudt - waardoor de hoop weer oplaait dat er eindelijk een oplossing in zicht is.

Wat is de kleine deal?

Kakeya was geïnteresseerd in verzamelingen in het vlak die een lijnstuk van lengte 1 in elke richting bevatten. Er zijn veel voorbeelden van dergelijke sets, de eenvoudigste is een schijf met een diameter van 1. Kakeya wilde weten hoe de kleinste set eruit zou zien.

Hij stelde een driehoek voor met enigszins ingezakte zijkanten, een deltaspier genoemd, die de helft van de schijf beslaat. Het bleek echter dat het veel, veel beter kan.

In 1919, slechts een paar jaar nadat Kakeya zijn probleem opperde, toonde de Russische wiskundige Abram Besicovitch aan dat als je je naalden op een heel bijzondere manier rangschikt, je een netelig ogende set kunt construeren met een willekeurig klein gebied. (Vanwege de Eerste Wereldoorlog en de Russische Revolutie zou zijn resultaat een aantal jaren de rest van de wiskundige wereld niet bereiken.)

Om te zien hoe dit werkt, neem je een driehoek en splits je deze langs de basis in dunnere driehoekige stukken. Schuif die stukken vervolgens rond zodat ze elkaar zoveel mogelijk overlappen, maar in iets andere richtingen uitsteken. Door het proces keer op keer te herhalen - je driehoek onderverdelen in steeds dunnere en dunnere fragmenten en ze zorgvuldig herschikken in de ruimte - kun je je set zo klein maken als je wilt. In de oneindige limiet kun je een set verkrijgen die wiskundig geen gebied heeft, maar toch, paradoxaal genoeg, een naald kan bevatten die in elke richting wijst.

"Dat is nogal verrassend en contra-intuïtief," zei Ruixiang Zhang van de Universiteit van Californië, Berkeley. "Het is een set die erg pathologisch is."

Dit resultaat kan worden gegeneraliseerd naar hogere dimensies: het is mogelijk om een ​​set te construeren met een willekeurig klein volume dat een eenheidslijnsegment bevat dat in elke richting wijst in n-dimensionale ruimte.

Besicovitch leek de vraag van Kakeya volledig te hebben opgelost. Maar decennia later begonnen wiskundigen aan een andere versie van het probleem te werken, waarbij ze oppervlakte (of volume, in het hoger-dimensionale geval) vervingen door een ander begrip van grootte.

Om deze herformulering van de vraag te begrijpen, neem je eerst elk lijnsegment in een Kakeya-set en vet je het een beetje op - alsof je een echte naald gebruikt in plaats van een geïdealiseerde naald. In het vliegtuig bestaat je set uit extreem dunne rechthoeken; in een driedimensionale ruimte heb je een verzameling extreem dunne buizen.

Deze vetgemest sets hebben altijd een bepaald gebied (of volume, maar we houden het voorlopig bij het tweedimensionale geval). Naarmate u de breedte van uw naald verandert, verandert dit gebied. In de jaren zeventig toonde de wiskundige Roy Davies (die vorige maand stierf) aan dat als de totale oppervlakte een klein beetje verandert, de breedte van elke naald drastisch moet veranderen. Als u bijvoorbeeld wilt dat een vetgemest versie van Besicovitch's set een oppervlakte heeft van 1970/1 vierkante inch, moet elke naald een dikte hebben van ongeveer 10 inch: e^-10 van een centimeter, om precies te zijn. Maar als je de totale oppervlakte 1/100 van een vierkante inch wilt maken — 10 keer kleiner — dan zou de naald e^-100 van een centimeter dik. (Drieënveertig nullen volgen de komma voordat je bij de andere cijfers komt.)

"Als je me vertelt hoe klein je het gebied wilt hebben, dan moet ik een naald eisen die gewoon ongelooflijk dun is", zei hij. Karel Fefferman van de Princeton-universiteit.

Wiskundigen meten de "grootte" van de Kakeya-set met behulp van een grootheid die de Minkowski-dimensie wordt genoemd, die gerelateerd is aan, maar niet helemaal hetzelfde is als, een gewone dimensie (gedefinieerd als het aantal onafhankelijke richtingen dat je nodig hebt om een ​​ruimte te beschrijven).

Hier is een manier om na te denken over de Minkowski-dimensie: neem je set en bedek het met kleine balletjes die elk een diameter hebben van een miljoenste van je favoriete eenheid. Als je set een lijnstuk van lengte 1 is, heb je minimaal 1 miljoen ballen nodig om het te bedekken. Als je set een kwadraat van oppervlakte 1 is, heb je er veel, veel meer nodig: een miljoen kwadraat of een biljoen. Voor een bol van volume 1 is het ongeveer 1 miljoen kubussen (een triljoen), enzovoort. De Minkowski-dimensie is de waarde van deze exponent. Het meet de snelheid waarmee het aantal ballen dat je nodig hebt om je set te bedekken, groeit naarmate de diameter van elke bal kleiner wordt. Een lijnstuk heeft dimensie 1, een vierkant heeft dimensie 2 en een kubus heeft dimensie 3.

Deze afmetingen zijn bekend. Maar als we de definitie van Minkowski gebruiken, wordt het mogelijk om een ​​set te construeren met een dimensie van bijvoorbeeld 2.7. Hoewel zo'n set geen driedimensionale ruimte vult, is het in zekere zin 'groter' dan een tweedimensionaal oppervlak.

Wanneer je een set bedekt met ballen van een bepaalde diameter, benader je het volume van de vetgemest versie van de set. Hoe langzamer het volume van de set afneemt met de grootte van je naald, hoe meer ballen je nodig hebt om het te bedekken. Je kunt daarom het resultaat van Davies herschrijven - waarin staat dat het gebied van een Kakeya-verzameling in het vlak langzaam afneemt - om aan te tonen dat de verzameling een Minkowski-dimensie van 2 moet hebben. Het vermoeden van Kakeya generaliseert deze claim naar hogere dimensies: een Kakeya-verzameling moet altijd dezelfde dimensie hebben als de ruimte die het bewoont.

Die simpele bewering was verrassend moeilijk te bewijzen.

Een toren van vermoedens

Tot Fefferman maakte een verrassende ontdekking in 1971 werd het vermoeden als curiositeit beschouwd.

Hij was op dat moment met een heel ander probleem bezig. Hij wilde de Fourier-transformatie begrijpen, een krachtig hulpmiddel waarmee wiskundigen functies kunnen bestuderen door ze te schrijven als som van sinusgolven. Denk aan een muzieknoot, die is opgebouwd uit veel overlappende frequenties. (Daarom klinkt een middelste C op een piano anders dan een middelste C op een viool.) Met de Fourier-transformatie kunnen wiskundigen de samenstellende frequenties van een bepaalde noot berekenen. Hetzelfde principe werkt voor geluiden die zo gecompliceerd zijn als menselijke spraak.

Wiskundigen willen ook weten of ze de oorspronkelijke functie kunnen herbouwen als ze slechts enkele van de oneindig vele samenstellende frequenties krijgen. Ze hebben een goed begrip van hoe dit in één dimensie te doen. Maar in hogere dimensies kunnen ze verschillende keuzes maken over welke frequenties ze gebruiken en welke ze negeren. Fefferman bewees, tot verbazing van zijn collega's, dat je er misschien niet in slaagt je functie opnieuw op te bouwen als je vertrouwt op een bijzonder bekende manier om frequenties te kiezen.

Zijn bewijs hing af van het construeren van een functie door de Kakeya-verzameling van Besicovitch aan te passen. Dit inspireerde later wiskundigen tot het ontwikkelen van een hiërarchie van vermoedens over het hoger-dimensionale gedrag van de Fourier-transformatie. Tegenwoordig bevat de hiërarchie zelfs vermoedens over het gedrag van belangrijke partiële differentiaalvergelijkingen in de natuurkunde, zoals de Schrödingervergelijking. Elk vermoeden in de hiërarchie impliceert automatisch het vermoeden eronder.

Het vermoeden van Kakeya ligt helemaal aan de voet van deze toren. Als het onwaar is, dan zijn de beweringen hoger in de hiërarchie dat ook. Aan de andere kant zou het bewijzen dat het waar is niet meteen de waarheid impliceren van de vermoedens die erboven staan, maar het zou wel hulpmiddelen en inzichten kunnen bieden om ze aan te vallen.

“Het verbazingwekkende aan het vermoeden van Kakeya is dat het niet alleen een leuk probleem is; het is een echt theoretisch knelpunt,' zei Hickman. "We begrijpen veel van deze fenomenen in partiële differentiaalvergelijkingen en Fourier-analyse niet omdat we deze Kakeya-verzamelingen niet begrijpen."

Een plan uitbroeden

Het bewijs van Fefferman - samen met later ontdekte verbanden met getaltheorie, combinatoriek en andere gebieden - deed de belangstelling voor het Kakeya-probleem herleven onder vooraanstaande wiskundigen.

In 1995 bewees Thomas Wolff dat de Minkowski-dimensie van een Kakeya-set in 3D-ruimte minimaal 2.5 moet zijn. Die ondergrens bleek lastig te verhogen. Toen, in 1999, de wiskundigen Netten Katz, Isabella Łaba en Terence tao wist het te verslaan. Hun nieuwe grens: 2.500000001. Ondanks hoe klein de verbetering was, overwon het een enorme theoretische barrière. Hun krant was in het Annalen van de wiskunde, het meest prestigieuze tijdschrift op dit gebied.

Katz en Tao hoopten later enkele van de ideeën uit dat werk toe te passen om het vermoeden van 3D Kakeya op een andere manier aan te vallen. Ze veronderstelden dat elk tegenvoorbeeld drie specifieke eigenschappen moet hebben, en dat het naast elkaar bestaan ​​van die eigenschappen tot een tegenspraak moet leiden. Als ze dit konden bewijzen, zou dat betekenen dat het vermoeden van Kakeya waar was in drie dimensies.

Ze konden niet helemaal gaan, maar ze boekten wel enige vooruitgang. In het bijzonder lieten ze (samen met andere wiskundigen) zien dat elk tegenvoorbeeld twee van de drie eigenschappen moet hebben. Het moet "vlak" zijn, wat betekent dat wanneer lijnsegmenten elkaar snijden in een punt, die segmenten ook bijna in hetzelfde vlak liggen. Het moet ook "korrelig" zijn, wat vereist dat de vlakken van nabijgelegen snijpunten op dezelfde manier georiënteerd zijn.

Dat liet het derde pand over. In een "plakkerige" set moeten lijnsegmenten die in bijna dezelfde richting wijzen ook dicht bij elkaar in de ruimte worden geplaatst. Katz en Tao konden niet bewijzen dat alle tegenvoorbeelden plakkerig moesten zijn. Maar intuïtief lijkt een plakkerige set de beste manier om veel overlap tussen de lijnsegmenten te forceren, waardoor de set zo klein mogelijk wordt - precies wat je nodig hebt om een ​​tegenvoorbeeld te creëren. Als iemand zou kunnen aantonen dat een plakkerige Kakeya-set een Minkowski-dimensie van minder dan 3 had, zou dit het vermoeden van 3D Kakeya weerleggen. "Het klinkt alsof 'plakkerig' het meest zorgwekkende geval zou zijn," zei Larry Guth van het Massachusetts Institute of Technology.

Het is geen zorg meer.

Het knelpunt

In 2014 - meer dan een decennium nadat Katz en Tao probeerden het vermoeden van Kakeya te bewijzen - een schets van hun aanpak geplaatst op zijn blog, waardoor andere wiskundigen de kans krijgen om het zelf uit te proberen.

In 2021, Hong Wang, een wiskundige aan de New York University, en Jozua Zahl van de University of British Columbia besloten om verder te gaan waar Tao en Katz waren gebleven.

Ze gingen uit van het bestaan ​​van een plakkerig tegenvoorbeeld met een Minkowski-dimensie van minder dan 3. Ze wisten uit eerder werk dat zo'n tegenvoorbeeld vlak en korrelig moest zijn. "Dus we waren in het soort wereld waar Terry Tao en Nets Katz aan dachten", zei Zahl. Nu moesten ze aantonen dat de vlakke, korrelige en plakkerige eigenschappen elkaar uitspeelden en tot een tegenstrijdigheid leidden, wat zou betekenen dat dit tegenvoorbeeld eigenlijk niet kon bestaan.

Om die tegenstrijdigheid echter te krijgen, richtten Wang en Zahl hun aandacht in een richting die Katz en Tao niet hadden verwacht - in de richting van een gebied dat bekend staat als projectietheorie.

Ze begonnen met het analyseren van de structuur van hun kleverige tegenvoorbeeld in meer detail. Als je de geïdealiseerde versie van de set bekijkt, heeft deze een oneindig aantal lijnsegmenten die in elke richting wijzen. Maar bedenk bij dit probleem dat je te maken hebt met vetgemest versies van die lijnsegmenten - een stel naalden. Elk van die naalden kan veel van de geïdealiseerde lijnsegmenten bevatten, wat betekent dat je de hele oneindige set kunt coderen met een eindig aantal naalden. Afhankelijk van hoe dik de naalden zijn, kan je vetgemest stel er heel anders uitzien.

Als de set plakkerig is, ziet hij er min of meer hetzelfde uit, hoe dik de naalden ook zijn.

Wang en Zahl gebruikten deze eigenschap om te laten zien dat naarmate de naalden dunner worden, de set steeds vlakker wordt. Door dit proces konden ze "een nog pathologischer object extraheren", zei Zahl - iets dat onmogelijke eigenschappen leek te hebben.

Dat is wat ze vervolgens lieten zien. Ze bewezen dat dit pathologische object op twee manieren moest kijken, die beide tot tegenstrijdigheden leidden. Of je zou het in de 2D-ruimte kunnen projecteren op een manier die het in veel richtingen veel kleiner zou maken - iets dat Wang en haar collega's zojuist hadden gedaan. blijkt onmogelijk te zijn. Of, in het tweede geval, zouden de naalden in de set worden georganiseerd volgens een heel specifiek soort functie, wat Zahl en zijn medewerkers onlangs hadden bewezen kon niet bestaan, omdat het zou leiden tot andere soorten projecties die nergens op sloegen.

Wang en Zahl hadden nu hun tegenspraak - wat betekent dat er geen kleverige tegenvoorbeelden zijn voor het vermoeden van Kakeya. (Ze toonden dit niet alleen aan voor de Minkowski-dimensie, maar ook voor een verwante grootheid die de Hausdorff-dimensie wordt genoemd.) "Het resultaat sluit deze hele klasse van tegenvoorbeelden uit", zei Zahl - het exacte type set dat wiskundigen hadden overwogen om te weerleggen het vermoeden.

Het nieuwe werk "is een sterke ondersteuning voor het feit dat het vermoeden van Kakeya waar is", zei Pablo Schmerkin van de Universiteit van Brits-Columbia. Hoewel het alleen van toepassing is op het driedimensionale geval, kunnen sommige van zijn technieken nuttig zijn in hogere dimensies. Na jarenlang vooruitgang te hebben geboekt met het vermoeden in andere getalstelsels, zijn wiskundigen enthousiast over deze terugkeer naar het oorspronkelijke domein van het probleem, de reële getallen.

"Het is opmerkelijk dat ze deze zaak volledig hebben opgelost", zei Zhang. "In de echte setting is dat uiterst zeldzaam." En als iemand kan bewijzen dat een tegenvoorbeeld kleverig moet zijn, zal het nieuwe resultaat het volledige vermoeden in drie dimensies impliceren. De hiërarchie van vermoedens die erboven is gebouwd, zal dan veilig blijven, het fundament stabiel.

"Op de een of andere manier passen deze twee verschillende problemen in de projectietheorie, die op het eerste gezicht niet veel met elkaar te maken hebben, heel goed bij elkaar om precies te geven wat Kakeya nodig had," zei Zahl.