Overal om ons heen vinden willekeurige processen plaats. De ene dag regent het, de volgende dag niet; aandelen en obligaties winnen en verliezen waarde; files vloeien samen en verdwijnen. Omdat ze worden bepaald door talloze factoren die op ingewikkelde manieren met elkaar interacteren, is het onmogelijk om het exacte gedrag van dergelijke systemen te voorspellen. In plaats daarvan denken we erover na in termen van waarschijnlijkheden, waarbij we uitkomsten karakteriseren als waarschijnlijk of zeldzaam.

Vandaag de dag, de Franse waarschijnlijkheidstheoreticus Michel Talagrand ontving de Abelprijs, een van de hoogste onderscheidingen in de wiskunde, voor het ontwikkelen van een diep en verfijnd begrip van dergelijke processen. De prijs, uitgereikt door de koning van Noorwegen, is gemodelleerd naar de Nobelprijs en omvat 7.5 miljoen Noorse kronen (ongeveer $700,000). Toen hem werd verteld dat hij had gewonnen, ‘werd mijn hoofd leeg’, zei Talagrand. “Het soort wiskunde dat ik doe was helemaal niet in de mode toen ik begon. Het werd beschouwd als inferieure wiskunde. Het feit dat ik deze prijs heb gekregen, is een absoluut bewijs dat dit niet het geval is.”

Andere wiskundigen zijn het daarmee eens. Talagrands werk "veranderde de manier waarop ik naar de wereld kijk", zei hij Assaf Naor van de Princeton Universiteit. Vandaag toegevoegd Helge Holden, de voorzitter van de Abelprijscommissie, “wordt het erg populair om gebeurtenissen uit de echte wereld te beschrijven en te modelleren door middel van willekeurige processen. De gereedschapskist van Talagrand komt meteen naar boven.”

Talagrand beschouwt zijn eigen leven als een aaneenschakeling van onwaarschijnlijke gebeurtenissen. Hij slaagde nauwelijks voor de lagere school in Lyon: hoewel hij geïnteresseerd was in wetenschap, hield hij niet van studeren. Toen hij 5 jaar oud was, verloor hij het gezichtsvermogen in zijn rechteroog nadat zijn netvlies loskwam; op 15-jarige leeftijd kreeg hij drie netvliesloslatingen in zijn andere oog, waardoor hij een maand in het ziekenhuis moest doorbrengen, met verbonden ogen, uit angst dat hij blind zou worden. Zijn vader, een wiskundeprofessor, bezocht hem elke dag en hield zijn geest bezig door hem wiskunde te leren. “Dit is hoe ik de kracht van abstractie leerde kennen”, Talagrand schreef in 2019 na het winnen van de Shaw Prize, een andere grote wiskundeprijs waar een premie van $ 1.2 miljoen aan verbonden is. (Talagrand gebruikt een deel van dit geld, samen met zijn Abel-winsten, om een ​​eigen prijs in het leven te roepen, ‘ter erkenning van de prestaties van jonge onderzoekers op de gebieden waaraan ik mijn leven heb gewijd.’)

Hij miste een half jaar school terwijl hij herstelde, maar hij werd geïnspireerd om zich op zijn studie te gaan concentreren. Hij blonk uit in wiskunde, en nadat hij in 1974 afstudeerde aan de universiteit, werd hij aangenomen bij het Franse Nationale Centrum voor Wetenschappelijk Onderzoek, het grootste onderzoeksinstituut van Europa, waar hij werkte tot zijn pensionering in 2017. Gedurende die tijd promoveerde hij; werd op het eerste gezicht verliefd op zijn toekomstige vrouw, een statisticus (hij deed haar een aanzoek drie dagen nadat hij haar had ontmoet); en ontwikkelde geleidelijk een interesse in waarschijnlijkheid, waarbij hij honderden artikelen over dit onderwerp publiceerde.

Dat was niet voorbestemd. Talagrand begon zijn carrière met het bestuderen van hoogdimensionale geometrische ruimtes. ‘Tien jaar lang had ik niet ontdekt waar ik goed in was’, zei hij. Maar hij heeft geen spijt van deze omweg. Het leidde hem uiteindelijk naar de waarschijnlijkheidstheorie, waar ‘ik een ander standpunt had… dat gaf me een manier om de dingen anders te bekijken’, zei hij. Het stelde hem in staat willekeurige processen te onderzoeken door de lens van hoogdimensionale geometrie.

"Hij gebruikt zijn geometrische intuïtie om puur probabilistische vragen op te lossen", zei Naor.

Een willekeurig proces is een verzameling gebeurtenissen waarvan de uitkomsten afhankelijk van het toeval variëren op een manier die kan worden gemodelleerd – zoals een reeks muntwisselingen, of de trajecten van atomen in een gas, of de dagelijkse neerslagtotalen. Wiskundigen willen de relatie begrijpen tussen individuele uitkomsten en geaggregeerd gedrag. Hoe vaak moet je een munt opgooien om erachter te komen of deze eerlijk is? Zal een rivier buiten zijn oevers treden?

Talagrand concentreerde zich op processen waarvan de uitkomsten worden verdeeld volgens een klokvormige curve die Gauss wordt genoemd. Dergelijke verdelingen zijn gebruikelijk van aard en hebben een aantal wenselijke wiskundige eigenschappen. Hij wilde weten wat met zekerheid kan worden gezegd over extreme uitkomsten in deze situaties. Hij bewees dus een reeks ongelijkheden die strakke boven- en ondergrenzen stelden aan mogelijke uitkomsten. ‘Het verkrijgen van een goede ongelijkheid is een kunstwerk’, zei Holden. Die kunst is nuttig: de methoden van Talagrand kunnen een optimale schatting geven van bijvoorbeeld het hoogste niveau dat een rivier in de komende tien jaar zou kunnen bereiken, of de omvang van de sterkste potentiële aardbeving.

Als we te maken hebben met complexe, hoogdimensionale gegevens, kan het lastig zijn om zulke maximale waarden te vinden.

Stel dat u het risico op een rivieroverstroming wilt inschatten, wat afhangt van factoren als regenval, wind en temperatuur. Je kunt de hoogte van de rivier modelleren als een willekeurig proces. Talagrand heeft vijftien jaar lang een techniek ontwikkeld die generieke ketening wordt genoemd en waarmee hij een hoogdimensionale geometrische ruimte kon creëren die verband hield met een dergelijk willekeurig proces. Zijn methode "geeft je een manier om het maximale uit de geometrie te halen", zei Naor.

De techniek is zeer algemeen en daardoor breed toepasbaar. Stel dat u een enorme, hoogdimensionale dataset wilt analyseren die afhankelijk is van duizenden parameters. Om een ​​zinvolle conclusie te trekken, wil je de belangrijkste kenmerken van de dataset behouden, terwijl je deze karakteriseert in termen van slechts een paar parameters. (Dit is bijvoorbeeld een manier om de ingewikkelde structuren van verschillende eiwitten te analyseren en te vergelijken.) Veel geavanceerde methoden bereiken deze vereenvoudiging door een willekeurige bewerking toe te passen die de hoogdimensionale gegevens afbeeldt op een lagerdimensionale ruimte. . Wiskundigen kunnen de generieke ketenmethode van Talagrand gebruiken om de maximale hoeveelheid fouten te bepalen die dit proces introduceert, waardoor ze de kans kunnen bepalen dat een belangrijk kenmerk niet behouden blijft in de vereenvoudigde dataset.

Talagrands werk beperkte zich niet alleen tot het analyseren van de beste en slechtst mogelijke uitkomsten van een willekeurig proces. Ook onderzocht hij wat er in het gemiddelde geval gebeurt.

In veel processen kunnen willekeurige individuele gebeurtenissen in hun geheel tot zeer deterministische uitkomsten leiden. Als metingen onafhankelijk zijn, worden de totalen zeer voorspelbaar, zelfs als elke individuele gebeurtenis onmogelijk te voorspellen is. Gooi bijvoorbeeld een eerlijke munt op. Je kunt van tevoren niets zeggen over wat er gaat gebeuren. Draai het 10 keer om en je krijgt vier, vijf of zes keer kop (ongeveer de verwachte waarde van vijf keer kop) in ongeveer 66% van de gevallen. Maar als je de munt 1,000 keer omdraait, krijg je in 450% van de gevallen tussen de 550 en 99.7 kop, een resultaat dat zelfs nog meer geconcentreerd is rond de verwachte waarde van 500. “Het is uitzonderlijk scherp rond het gemiddelde,” zei Holden.

"Ook al heeft iets zoveel willekeur, de willekeur heft zichzelf op", zei Naor. “Wat aanvankelijk een vreselijke puinhoop leek, wordt feitelijk georganiseerd.”

Dit fenomeen, bekend als concentratie van maatregelen, komt ook voor in veel ingewikkelder willekeurige processen. Talagrand kwam met een verzameling ongelijkheden die het mogelijk maken die concentratie te kwantificeren, en bewees dat deze in veel verschillende contexten voorkomt. Zijn technieken markeerden een afwijking van eerder werk in het gebied. Het bewijzen van de eerste dergelijke ongelijkheid, zo schreef hij in zijn essay uit 2019, was ‘een magische ervaring’. Hij verkeerde ‘in een staat van voortdurende opgetogenheid’.

Hij is bijzonder trots op een van zijn latere concentratieverschillen. "Het is niet eenvoudig om een ​​resultaat te krijgen dat probeert na te denken over het universum en dat tegelijkertijd een bewijs van één pagina bevat dat gemakkelijk uit te leggen is", zei hij. (Hij herinnert zich met vreugde dat hij ooit een taxibedrijf gebruikte waarvan de eigenaar zijn naam herkende, nadat hij de ongelijkheid had geleerd tijdens een waarschijnlijkheidscursus op de business school. “Dat was buitengewoon”, zei hij.)

Net als zijn generieke ketenmethode komen Talagrands concentratie-ongelijkheden overal in de wiskunde voor. “Het is verbazingwekkend hoe ver het gaat,” zei Naor. “Ongelijkheden in Talagrand zijn de schroeven die de dingen bij elkaar houden.”

Denk eens aan een optimalisatieprobleem waarbij je items van verschillende groottes in bakken moet sorteren: een model voor de toewijzing van middelen. Als je veel spullen hebt, is het erg moeilijk om het kleinste aantal bakken te bepalen dat je nodig hebt. Maar de ongelijkheden van Talagrand kunnen u vertellen hoeveel bakken u waarschijnlijk nodig zult hebben als de afmetingen van de artikelen willekeurig zijn.

Soortgelijke methoden zijn gebruikt om concentratieverschijnselen te bewijzen in de combinatoriek, natuurkunde, informatica, statistiek en andere omgevingen.

Meer recentelijk heeft Talagrand zijn kennis van willekeurige processen toegepast om een ​​belangrijk vermoeden te bewijzen over spinbrillen, ongeordende magnetische materialen die zijn ontstaan ​​door willekeurige, vaak tegenstrijdige interacties. Talagrand was gefrustreerd dat, hoewel spinglazen wiskundig goed gedefinieerd zijn, natuurkundigen ze beter begrepen dan wiskundigen. “Het was een doorn in het oog”, zegt hij. Hij bewees een resultaat – over de zogenaamde vrije energie van een spinbril – dat een basis vormde voor een meer wiskundige theorie.

Gedurende zijn carrière werd het onderzoek van Talagrand gekenmerkt door “dit vermogen om gewoon een stap terug te doen en de algemene principes te vinden die overal herbruikbaar zijn”, aldus Naor. “Hij kijkt en herhaalt en denkt vanuit allerlei perspectieven over iets na. En uiteindelijk komt hij met een inzicht dat een werkpaard wordt, waar iedereen gebruik van maakt.”

“Ik begrijp simpele dingen graag heel goed, omdat mijn hersenen erg traag zijn”, zegt Talagrand. “Dus ik denk heel, heel lang aan hen.” Hij wordt gedreven, zei hij, door de wens om “iets diep te begrijpen, op een pure manier, wat de theorie veel gemakkelijker maakt. Dan kan de volgende generatie van daaruit beginnen en op hun eigen voorwaarden vooruitgang boeken.”

De afgelopen tien jaar heeft hij dit bereikt door leerboeken te schrijven – niet alleen over willekeurige processen en spin-brillen, maar ook over een gebied waarin hij helemaal niet werkt: de kwantumveldentheorie. Hij had er meer over willen weten, maar besefte dat alle leerboeken die hij kon vinden, geschreven waren door en voor natuurkundigen, en niet voor wiskundigen. Daarom schreef hij er zelf een. ‘Als je de dingen niet meer kunt verzinnen, kun je ze uitleggen’, zei hij.