Als u ooit op een regenachtige middag in de file heeft gestaan, heeft u waarschijnlijk wel eens regendruppels door het autoraam zien racen. Wanneer paren druppels botsen, versmelten ze tot een nieuwe druppel, waardoor ze hun afzonderlijke identiteit verliezen.

Dat samensmelten is mogelijk omdat de waterdruppeltjes vrijwel bolvormig zijn. Als vormen flexibel zijn – zoals regendruppels – verandert er niets aan het bevestigen van een bol. In bepaalde gebieden van de wiskunde is een bol die aan een bol is bevestigd nog steeds een bol, hoewel misschien groter of klonteriger. En als er een bol op een donut wordt geplakt, heb je nog steeds een donut – met een blaar. Maar als twee donuts samensmelten, vormen ze een vorm met twee gaten. Voor wiskundigen is dat iets heel anders.

Die kwaliteit maakt bollen tot een cruciale testcase voor meetkundigen. Wiskundigen kunnen de lessen die ze over bollen hebben geleerd vaak overbrengen naar complexere vormen door te kijken naar wat er gebeurt als je de twee aan elkaar naait. In feite kunnen ze deze techniek op elk spruitstuk toepassen: een klasse van wiskundige objecten die eenvoudige vormen zoals bollen en donuts omvat, maar ook oneindige structuren zoals een tweedimensionaal vlak of een driedimensionale ruimte.

Bollen zijn vooral belangrijk in een subdiscipline van de meetkunde die bekend staat als contactgeometrie. In de contactgeometrie komt elk punt op een driedimensionaal verdeelstuk – zoals de 3D-ruimte waarin we leven – overeen met een vlak. De vlakken kunnen van punt naar punt kantelen en draaien. Als ze dit doen op een manier die aan bepaalde wiskundige criteria voldoet, wordt de hele reeks vlakken een contactstructuur genoemd. Een verdeelstuk (zoals een 3D-ruimte) samen met een contactstructuur (alle vlakken) wordt een contactspruitstuk genoemd.

Hoewel contactstructuren misschien weinig meer lijken te zijn dan decoratie, brengen ze fundamentele inzichten in de spruitstukken waarop ze leven, evenals links naar de natuurkunde. Moderne wiskundigen kunnen contactspruitstukken gebruiken om theorieën over hoe licht zich gedraagt ​​en over de manier waarop licht zich gedraagt, te herformuleren water vloeit door de ruimte.

Resultaten over driedimensionale contactspruitstukken komen vaak terug op bollen. Als u een contactbol op een ander contactspruitstuk lijmt, zoals een 3D-donut, kan de 3D-versie van de bol delen van de contactstructuur aan de vereniging doneren. Als je wilt bewijzen dat een donut een contactstructuur kan hebben waarvan de vlakken duizend keer draaien terwijl ze het donutgat omcirkelen, kun je die structuur eerst op de bol bouwen en deze vervolgens aan de donut toevoegen door in beide vormen een klein gaatje te snijden. en plak ze langs de randen aan elkaar. Wiskundigen die onderzoeken welke contactstructuren op een bepaald verdeelstuk kunnen bestaan, vertrouwen vaak op dit raamwerk Johannes Etnyre, een wiskundige aan het Georgia Institute of Technology. "Ze doen veel werk om het probleem terug te brengen tot het begrijpen van wat er op de bol gebeurt", zei hij.

As Jonathan Bowden, een wiskundige aan de Universiteit van Regensburg, zegt: “Als jij een bol niet kunt begrijpen, hoe kan ik dan ooit iets anders begrijpen?”

We hebben de neiging om bollen als eenvoudige vormen te beschouwen: het zijn slechts alle punten die zich op een vaste afstand van een middelpunt bevinden. Voorbeelden zijn onder meer een cirkel, die eendimensionaal is, maar ook het tweedimensionale oppervlak van een gewone bal zoals een basketbal. Maar als je contactstructuren toevoegt, kunnen bollen ingewikkelder worden dan je zou verwachten. En terwijl wiskundigen proberen een ongeorganiseerde oceaan van contactspruitstukken te doorzoeken, kunnen nieuwe soorten bollen hen aanwijzingen geven over wat ze uit de diepte zouden kunnen vissen.

In een recent artikel dat vorige week inhoudelijk werd bijgewerkt, vier wiskundigen – Bowden, Fabio Gironella, Augustinus Moreno en Zhengyi Zhou – hebben een nieuw type contactsfeer ontdekt en daarmee een oneindig aantal nieuwe contactverdeelstukken.

Full-contactsport

Als vakgebied ontstond de contactgeometrie in de loop van de eeuwen geleidelijk. Hoewel moderne wiskundigen, terugkijkend, hints van contactgeometrie zien in de studie van de optica in de 17e eeuw en de thermodynamica in de 19e eeuw, pas in de jaren vijftig was de zin “contactspruitstuk” werd voor het eerst gebruikt in een artikel, aldus de wiskundige Hansjörg Geiges' geschiedenis van het onderwerp.

Tegen die tijd waren wiskundigen al op de hoogte van enkele voorbeelden van contactspruitstukken. Om technische redenen zijn contactspruitstukken alleen verkrijgbaar in afwijkende afmetingen. De standaard driedimensionale ruimte heeft een contactstructuur die bestaat uit rijen vlakken die geleidelijk naar voren kantelen. Deze structuur strekt zich uiteraard uit tot wat wiskundigen de driedimensionale sfeer noemen. (Dit is het oppervlak van een vierdimensionale bal, net zoals de tweedimensionale wiskundige bol het oppervlak is van een gewone driedimensionale bal.)

Vanaf het einde van de jaren zestig begonnen wiskundigen nieuwe voorbeelden van contactspruitstukken te presenteren. In 1960 boekte Mikhael Gromov vooruitgang bij het vinden van nieuwe contactstructuren op bepaalde verdeelstukken, zoals de driedimensionale ruimte, en Jean Martinet volgde in 1971 met voorbeelden van zogenaamde compacte vormen (die eindig zijn met een duidelijke grens) zoals de 3D-bol. In 1977 ontdekte Robert Lutz hoe hij een nieuwe contactstructuur kon creëren op elk driedimensionaal verdeelstuk. De constructie van Lutz omvatte het opensnijden van het contactspruitstuk, het omhoog draaien en het weer aan elkaar naaien op een manier die de onderliggende vorm hetzelfde hield, maar de contactstructuur in een nieuwe configuratie dwong. Het resulteerde in een nieuwe contactstructuur voor een oneindige 3D-ruimte, de 3D-bol en een aantal nog vreemdere objecten, zoals een kubus waarvan je, als je je hand door de onderkant steekt, hem vanaf de bovenkant naar beneden ziet bungelen.

Toch lieten deze resultaten wiskundigen uit de late 20e eeuw met veel onbeantwoorde vragen over contactspruitstukken achter. Welke soorten contactstructuren waren er? Hoe moeten ze worden gecategoriseerd? “Als wiskundigen zich met een bepaald onderwerp bezighouden, willen ze altijd objecten classificeren of begrijpen”, zegt hij Yakov Elashberg, een wiskundige aan Stanford University die een belangrijke rol speelde in de vroege ontwikkeling van contactgeometrie.

In dimensie vijf en hoger (onthoud dat contactspruitstukken slechts een oneven aantal dimensies kunnen hebben) zijn deze vragen nog steeds niet beantwoord. In het driedimensionale geval werd een groot deel van de vooruitgang vrijwel in zijn eentje geboekt door Eliashberg, die in de jaren tachtig als immigrant uit de Sovjet-Unie in Berkeley, Californië, aankwam.

Draai en roep

Naar aanleiding van een vraag van een nieuwe kennis uit Berkeley genaamd Jesús Gonzalo Pérez, die de techniek van Lutz voor het maken van nieuwe contactspruitstukken had bestudeerd, merkte Eliashberg op dat alle driedimensionale contactspruitstukken die je kon krijgen met behulp van de strategie van Lutz bepaalde overeenkomsten hadden. In 1989 publiceerde hij een baanbrekend papier beschrijft deze spruitstukken in detail. Hij noemde de nieuwe klasse contactspruitstukken ‘overtwist’ vanwege de manier waarop de vlakken van de contactstructuur meerdere keren roteerden, meer dan de verdraaiing die nodig was om als contactstructuur te kwalificeren. Het artikel van Eliashberg uit 1989 beantwoordde vrijwel alle vragen die wiskundigen zouden kunnen hebben over overgedraaide verdeelstukken in drie dimensies, maar elk ander contactverdeelstuk – dat Eliashberg ‘strak’ noemde vanwege de weinige verdraaide contactstructuur ervan – was veel moeilijker te bereiken.

“Terwijl verdraaide structuren in overvloed voorkomen, zijn nauwe contactstructuren zeldzamer of op zijn minst veel slechter begrepen”, zegt Moreno, een wiskundige aan de Universiteit van Heidelberg.

Eén onderscheid tussen overgedraaide en strak contactspruitstukken wordt duidelijk als we een verdeelstuk beschouwen als de grens van een grotere ruimte. Omdat contactspruitstukken oneven dimensionaal zijn, vormen ze altijd de rand van een even dimensionaal spruitstuk. (Denk aan hoe de eendimensionale curve van een cirkel een tweedimensionale schijf omringt, of hoe een oneindige lijn het tweedimensionale vlak in twee afzonderlijke helften snijdt.) Contactgeometrie heeft een evendimensionale tegenhanger die symplectische geometrie wordt genoemd. Wiskundigen wilden weten of het inwendige van een contactspruitstuk – dat altijd even dimensionaal is – een symplectisch verdeelstuk vormt of niet.

Als dit het geval is, wordt het originele contactspruitstuk ‘vulbaar’ genoemd. Vulbaarheid is een bijzondere eigenschap. Resultaten van Eliashberg en Gromov uit de jaren tachtig en begin jaren negentig impliceerden dat vulbare contactspruitstukken niet te ver gedraaid kunnen worden - ze moeten strak zitten. Maar het omgekeerde scenario was duisterder: zou een verdeelstuk strak maar niet vulbaar kunnen zijn?

“Lange tijd was het mogelijk dat strak zijn eigenlijk alleen maar een weerspiegeling was van invulbaar zijn,” zei Etnyre. Eliashberg had bewezen dat een driedimensionale bol slechts één strakke contactstructuur heeft, die ook opvulbaar is. Maar in 2002, samen met Ko Honda van de Universiteit van Californië, Los Angeles, Etnyre een voorbeeld gevonden van een driedimensionaal contactspruitstuk dat strak maar niet-vulbaar was.

In hoger-dimensionale gevallen waren de zaken onzeker. “We hebben veel tools om contactstructuren in dimensie drie te bestuderen, en we hebben vrijwel geen tools in hoge dimensies. En dat is een echt probleem,” zei Etnyre.

“In contacttopologie zijn hogere dimensies eigenlijk het wilde westen. Mensen weten werkelijk bijna niets over wat er aan de hand is”, aldus Honda. De vraag werd: Zijn er strakke maar niet-vulbare contactverdeelstukken met hoge afmetingen? En zo ja, hoe zien ze eruit?

Het strak houden

In 2013 drie wiskundigen een weg gevonden om dergelijke spruitstukken te maken, maar “de spruitstukken die ze bouwden waren eigenlijk heel erg ingewikkeld”, zei Etnyre. Het was onbekend, voegde hij eraan toe, of dat niveau van complexiteit noodzakelijk was. Als dat zo is, kan er nog steeds een nauw verband bestaan ​​tussen dichtheid en vulbaarheid voor eenvoudige spruitstukken zoals bollen.

In 2015 toonden Bowden, destijds verbonden aan de Ludwig Maximilian Universiteit van München, en twee medewerkers aan dat bepaalde contactspruitstukken zorgvuldig konden worden uitgesneden en aan elkaar konden worden bevestigd om een ​​bol te vormen zonder hun contactstructuren op te offeren. Hun werk suggereerde dat wiskundigen niet alleen een contactstructuur van een bol naar een ingewikkelder contactspruitstuk konden overbrengen – de gebruikelijke richting van dingen – maar ook een geheel nieuwe contactstructuur op een bol konden creëren door met een ingewikkelder voorbeeld te beginnen.

In 2019 begon hij samen te werken met Gironella en Moreno. Dat jaar, zij een paper gepubliceerd voortbouwend op technieken van verschillende eerdere wiskundigen. De drie gevonden voorbeelden van contactspruitstukken met symplectische vullingen, maar wispelturige vullingen: de vullingen, 'zwakke vullingen' genoemd, verdwenen als het contactspruitstuk op de juiste manier werd aangepast.

Na het uitbreken van de pandemie begonnen ze te vermoeden dat ze bollen met de gewenste eigenschappen zouden kunnen bouwen. Ze namen een aantal van de contactspruitstukken en herwerkten ze zorgvuldig tot bollen: hier een gat snijden en het daar oplappen. Toen ze klaar waren, hadden ze een oneindige verzameling strakke maar niet-vulbare bollen. En omdat bollen delen van hun contactstructuren naar andere verdeelstukken kunnen overbrengen, ontstonden er strakke maar niet-vulbare contactverdeelstukken in alle vormen en variëteiten.

De drie lieten Zhou medio 2022 een vroege versie van hun paper zien, in de hoop dat hij een aantal van hun berekeningen zou proeflezen. Zhou had eerder samengewerkt met zowel Moreno als Gironella, en was bekend met enkele van de technieken die hun concept gebruikte. “Ik las het artikel door en besefte dat dit een enorm potentieel had om nog betere resultaten te behalen”, zegt Zhou, een wiskundige aan de Chinese Academie van Wetenschappen. Vol nieuwe ideeën kwam hij bij hen terug.

De groep verwerkte de inzichten van Zhou in hun paper, en met z'n vieren plaatsten ze het online in november 2022. Hun werk laat zien dat strakke maar niet-vulbare bollen in dimensie vijf en hoger mogelijk zijn, en gebruikt dat resultaat om veel nieuwe voorbeelden van spruitstukken met nauw contact te creëren. die slechts zwak invulbaar zijn, waarbij de wispelturige ‘zwakke vullingen’ van de paper uit 2019 worden erkend. Vorige week hebben ze het artikel bijgewerkt met een belangrijke generalisatie. Ze zijn nu in staat om strakke en zwak opvulbare contactstructuren te vinden voor elk spruitstuk met afmeting zeven of hoger.

Hoewel hun bewijs een oneindig aantal nieuwe voorbeelden aan het licht brengt, is de studie van hoger-dimensionale contactspruitstukken – en zelfs van hoger-dimensionale sferen – nog maar net begonnen.

“Dit geeft ons een kijkje in wat een zeer wilde en nogal gecompliceerde wereld lijkt te zijn,” zei Moreno, en voegde er later aan toe: “Hogere dimensies zullen de aandacht van meerdere generaties opslokken, zou ik zeggen.”

“Op dit moment probeer je alleen maar voorbeelden te vinden; je probeert dingen van elkaar te onderscheiden; je probeert gewoon een idee te krijgen van wat er is. En het begrijpen van dingen op de bol is een soort kiem, of het zaadje dat je zou kunnen helpen andere situaties te begrijpen, ‘zei Etnyre. “We hebben nog niet echt de tools om die volgende stap te zetten.”

Quanta voert een reeks onderzoeken uit om ons publiek beter van dienst te zijn. Neem onze lezersonderzoek wiskunde en je doet mee om gratis te winnen Quanta koopwaar.