De krachtigste formule in de natuurkunde begint met een slanke S, het symbool voor een soort som die een integraal wordt genoemd. Verderop komt een tweede S, die een hoeveelheid vertegenwoordigt die bekend staat als actie. Samen vormen deze dubbele S'en de essentie van een vergelijking die misschien wel de meest effectieve waarzegger van de toekomst is die tot nu toe is bedacht.

De orakelformule staat bekend als de Feynman-padintegraal. Voor zover natuurkundigen kunnen zien, voorspelt het precies het gedrag van elk kwantumsysteem - een elektron, een lichtstraal of zelfs een zwart gat. De padintegraal heeft zoveel successen behaald dat veel natuurkundigen geloven dat het een direct venster is op het hart van de werkelijkheid.

"Het is hoe de wereld echt is," zei Renate Lol, een theoretisch natuurkundige aan de Radboud Universiteit in Nederland.

Maar de vergelijking, hoewel ze de pagina's van duizenden natuurkundige publicaties siert, is meer een filosofie dan een rigoureus recept. Het suggereert dat onze werkelijkheid een soort vermenging is - een som - van alle denkbare mogelijkheden. Maar het vertelt onderzoekers niet precies hoe ze de som moeten uitvoeren. Natuurkundigen hebben dus tientallen jaren besteed aan het ontwikkelen van een arsenaal aan benaderingsschema's voor het construeren en berekenen van de integraal voor verschillende kwantumsystemen.

De benaderingen werken zo goed dat onverschrokken natuurkundigen zoals Loll nu de ultieme padintegraal nastreven: een pad dat alle denkbare vormen van ruimte en tijd combineert en als netto resultaat een universum produceert in de vorm van het onze. Maar in deze zoektocht om te laten zien dat de werkelijkheid inderdaad de som is van alle mogelijke werkelijkheden, stuiten ze op grote verwarring over welke mogelijkheden de som moeten bevatten.

Alle wegen leiden naar één

De kwantummechanica kwam pas echt van de grond in 1926 toen Erwin Schrödinger een vergelijking bedacht die beschrijft hoe de golftoestanden van deeltjes van moment tot moment evolueren. Het volgende decennium, Paul Dirac vergevorderd een alternatieve visie op de kwantumwereld. Hij was gebaseerd op het eerbiedwaardige idee dat dingen de weg van "minste actie" volgen om van A naar B te komen - de weg die, losjes gesproken, de minste tijd en energie kost. Richard Feynman kwam later het werk van Dirac tegen en werkte het idee uit, onthulling van de padintegraal in 1948.

De kern van de filosofie komt volledig tot uiting in de ultieme demonstratie van de kwantummechanica: het experiment met twee spleten.

Natuurkundigen schieten deeltjes op een barrière met twee spleten erin en kijken waar de deeltjes op een muur achter de barrière landen. Als deeltjes kogels waren, zouden ze achter elke spleet een cluster vormen. In plaats daarvan landen deeltjes langs de achterwand in herhalende strepen. Het experiment suggereert dat wat door de spleten beweegt eigenlijk een golf is die de mogelijke locaties van het deeltje voorstelt. De twee opkomende golffronten interfereren met elkaar en produceren een reeks pieken waar het deeltje uiteindelijk kan worden gedetecteerd.

Het interferentiepatroon is een buitengewoon vreemd resultaat omdat het impliceert dat beide mogelijke paden van het deeltje door de barrière een fysieke realiteit hebben.

De padintegraal gaat ervan uit dat deeltjes zich zo gedragen, zelfs als er geen barrières of spleten in de buurt zijn. Stel je eerst voor dat je een derde spleet in de barrière snijdt. Het interferentiepatroon op de verste muur zal verschuiven om de nieuwe mogelijke route weer te geven. Blijf nu spleten snijden totdat de barrière niets meer is dan spleten. Vul ten slotte de rest van de ruimte in met "barrières" met volledige spleten. Een deeltje dat in deze ruimte wordt geschoten, neemt in zekere zin alle routes door alle spleten naar de verre muur - zelfs bizarre routes met lusvormige omwegen. En op de een of andere manier, als ze correct worden opgeteld, komen al die opties overeen met wat je zou verwachten als er geen barrières zijn: een enkel lichtpuntje op de verre muur.

Het is een radicale kijk op kwantumgedrag die veel natuurkundigen serieus nemen. "Ik beschouw het als volkomen echt", zei hij Richard MacKenzie, een natuurkundige aan de Universiteit van Montreal.

Maar hoe kan een oneindig aantal gebogen paden samen één rechte lijn vormen? Het schema van Feynman is grofweg om elk pad te nemen, de actie ervan te berekenen (de tijd en energie die nodig is om het pad te doorlopen), en daaruit een getal te halen dat een amplitude wordt genoemd en die je vertelt hoe waarschijnlijk het is dat een deeltje dat pad zal afleggen. Dan som je alle amplitudes op om de totale amplitude te krijgen voor een deeltje dat van hier naar daar gaat - een integraal van alle paden.

Naïef, slingerende paden zien er net zo waarschijnlijk uit als rechte paden, omdat de amplitude voor elk individueel pad dezelfde grootte heeft. Cruciaal is echter dat amplitudes complexe getallen zijn. Terwijl reële getallen punten op een lijn markeren, gedragen complexe getallen zich als pijlen. De pijlen wijzen in verschillende richtingen voor verschillende paden. En twee pijlen die van elkaar af wijzen, tellen op tot nul.

Het resultaat is dat, voor een deeltje dat door de ruimte reist, de amplitudes van min of meer rechte paden allemaal in wezen in dezelfde richting wijzen en elkaar versterken. Maar de amplitudes van kronkelende paden wijzen alle kanten op, dus werken deze paden elkaar tegen. Alleen het rechtlijnige pad blijft over, wat aantoont hoe het enkele klassieke pad van de minste actie voortkomt uit oneindige kwantumopties.

Feynman toonde aan dat zijn padintegraal gelijk is aan de vergelijking van Schrödinger. Het voordeel van de methode van Feynman is een meer intuïtief recept voor hoe om te gaan met de kwantumwereld: som alle mogelijkheden op.

Som van alle rimpelingen

Natuurkundigen gingen deeltjes al snel begrijpen als excitaties in kwantumvelden — entiteiten die op elk punt de ruimte vullen met waarden. Waar een deeltje langs verschillende paden van plaats naar plaats kan bewegen, kan een veld hier en daar op verschillende manieren rimpelen.

Gelukkig werkt de padintegraal ook voor kwantumvelden. "Het is duidelijk wat te doen," zei Gerald Dunne, een deeltjesfysicus aan de Universiteit van Connecticut. “In plaats van alle paden op te tellen, tel je alle configuraties van je velden op.” Je identificeert de begin- en eindarrangementen van het veld en overweeg vervolgens elke mogelijke geschiedenis die ze met elkaar verbindt.

Feynman leunde zelf op het pad integraal naar ontwikkelen een kwantumtheorie van het elektromagnetische veld in 1949. Anderen zouden uitwerken hoe acties en amplitudes konden worden berekend voor velden die andere krachten en deeltjes vertegenwoordigen. Wanneer moderne natuurkundigen de uitkomst van een botsing bij de Large Hadron Collider in Europa voorspellen, ligt de padintegraal ten grondslag aan veel van hun berekeningen. De cadeauwinkel daar verkoopt zelfs een koffiemok met een vergelijking die kan worden gebruikt om het belangrijkste ingrediënt van de padintegraal te berekenen: de werking van de bekende kwantumvelden.

"Het is absoluut fundamenteel voor de kwantumfysica," zei Dunne.

Ondanks zijn triomf in de natuurkunde, maakt de padintegraal wiskundigen misselijk. Zelfs een eenvoudig deeltje dat door de ruimte beweegt, heeft oneindig veel mogelijke paden. Velden zijn erger, met waarden die op oneindig veel manieren op oneindig veel plaatsen kunnen veranderen. Natuurkundigen hebben slimme technieken om met de wankelende toren van oneindigheden om te gaan, maar wiskundigen beweren dat de integraal nooit is ontworpen om in zo'n oneindige omgeving te werken.

"Het is als zwarte magie," zei Yen Chin Ong, een theoretisch natuurkundige aan de Yangzhou University in China met een achtergrond in wiskunde. "Wiskundigen voelen zich niet op hun gemak bij het werken met dingen waarvan het niet duidelijk is wat er aan de hand is."

Toch krijgt het resultaten die buiten kijf staan. Natuurkundigen zijn er zelfs in geslaagd om de padintegraal te schatten voor de sterke kracht, de buitengewoon complexe interactie die deeltjes in atoomkernen bij elkaar houdt. Ze gebruikten hiervoor twee hoofdhacks. Eerst maakten ze van tijd een denkbeeldig getal, a vreemde truc dat verandert amplitudes in reële getallen. Vervolgens benaderden ze het oneindige ruimte-tijd continuüm als een eindig raster. Beoefenaars hiervan "rooster" kwantumveldentheorie benadering kan de padintegraal gebruiken om eigenschappen te berekenen van protonen en andere deeltjes die de sterke kracht voelen, waarbij gammele wiskunde wordt overwonnen om solide antwoorden te krijgen die overeenkomen met experimenten.

"Voor iemand zoals ik in deeltjesfysica," zei Dunne, "is dat het bewijs dat het ding werkt."

Ruimte-tijd = de som van wat?

Het grootste mysterie in de fundamentele natuurkunde ligt echter buiten experimenteel bereik. Natuurkundigen willen de kwantumoorsprong van de zwaartekracht begrijpen. In 1915 herschikte Albert Einstein de zwaartekracht als het resultaat van krommingen in het weefsel van ruimte en tijd. Zijn theorie onthulde dat de lengte van een meetstok en het tikken van een klok van plaats tot plaats veranderen - met andere woorden, dat ruimte-tijd een kneedbaar veld is. Andere velden hebben een kwantumkarakter, dus de meeste natuurkundigen verwachten dat ruimte-tijd dat ook zou moeten doen, en dat de padintegraal dat gedrag zou moeten vastleggen.

De filosofie van Feynman is duidelijk: natuurkundigen moeten alle mogelijke vormen van ruimte-tijd optellen. Maar als we kijken naar de vorm van ruimte en tijd, wat is dan precies mogelijk?

Het is denkbaar dat ruimte-tijd zich splitst, bijvoorbeeld door de ene locatie van de andere te scheiden. Of het kan worden doorboord door buizen - wormgaten - die locaties met elkaar verbinden. De vergelijkingen van Einstein staan ​​dergelijke exotische vormen toe, maar verbieden veranderingen die daartoe zouden leiden; scheuren of fusies zouden de causaliteit schenden en tijdreisparadoxen veroorzaken. Niemand weet echter of ruimte-tijd en zwaartekracht meer gedurfde activiteiten op kwantumniveau kunnen aangaan, dus weten natuurkundigen niet of ze de ruimte-tijd van Zwitserse kaas in de "zwaartekrachtspadintegraal" moeten gooien of niet.

Eén kamp vermoedt dat alles erin gaat. Stephen Hawking bijvoorbeeld pleitte voor een padintegraal die plaats biedt aan scheuren, wormgaten, donuts en andere wilde "topologische" veranderingen tussen vormen van ruimte. Hij leunde een tijdje op de denkbeeldige-nummer-hack om de wiskunde gemakkelijker te maken. Door tijd denkbeeldig te maken, verandert het in feite in een andere dimensie van ruimte. In zo'n tijdloze arena is er geen notie van causaliteit voor door wormgaten geteisterde of gescheurde universums om te bederven. Hawking gebruikte deze tijdloze, "Euclidische" padintegraal om dat te beargumenteren tijd begon bij de oerknal en om de ruimte-tijd bouwstenen in een zwart gat te tellen. Onlangs gebruikten onderzoekers de Euclidische benadering om dat te beargumenteren informatie lekt uit stervende zwarte gaten.

Dit "lijkt het rijkere standpunt te zijn om in te nemen", zei Simon Ross, een kwantumzwaartekrachttheoreticus aan de Universiteit van Durham. "De zwaartekrachtpadintegraal, gedefinieerd om alle topologieën te omvatten, heeft een aantal prachtige eigenschappen die we nog niet volledig begrijpen."

Maar het rijkere perspectief heeft een prijs. Sommige natuurkundigen houden er niet van om een ​​dragend element van de werkelijkheid, zoals tijd, te verwijderen. De Euclidische padintegraal "is echt volkomen onfysiek", zei Loll.

Haar kamp probeert de tijd binnen de padintegraal te houden, door haar te situeren in de ruimte-tijd die we kennen en waar we van houden, waar oorzaken strikt voorafgaan aan effecten. Na jarenlang manieren te hebben ontwikkeld om deze veel formidabelere padintegraal te benaderen, heeft Loll aanwijzingen gevonden dat de aanpak kan werken. In één paper, bijvoorbeeld, zij en haar medewerkers telden een aantal standaard ruimte-tijdvormen op (die elk benaderden als een quilt van kleine driehoekjes) en kregen zoiets als ons universum - het ruimte-tijd-equivalent van laten zien dat deeltjes in rechte lijnen bewegen.

Anderen bevorderen de tijdloze padintegraal voor ruimte-tijd en zwaartekracht, inclusief alle topologische veranderingen. In 2019, onderzoekers rigoureus de volledige integraal gedefinieerd - niet alleen een benadering - voor tweedimensionale universums, maar met behulp van wiskundige hulpmiddelen die de fysieke betekenis ervan verder vertroebelden. Dergelijk werk verdiept alleen maar de indruk, zowel bij natuurkundigen als wiskundigen, dat de padintegraal kracht bevat die erop wacht om aangewend te worden. "Misschien moeten we padintegralen nog goed definiëren," zei Ong, "maar fundamenteel denk ik dat het slechts een kwestie van tijd is."