In de wiskunde kunnen eenvoudige regels universums van complexiteit en schoonheid ontsluiten. Neem de beroemde reeks van Fibonacci, die als volgt is gedefinieerd: deze begint met 1 en 1, en elk volgend getal is de som van de voorgaande twee. De eerste paar cijfers zijn:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

Eenvoudig, ja, maar dit bescheiden recept geeft aanleiding tot een patroon van verreikende betekenis, een patroon dat verweven lijkt te zijn in de structuur van de natuurlijke wereld. Het is te zien aan de kransen van nautilusschelpen, de botten in onze vingers en de rangschikking van bladeren op boomtakken. Het wiskundige bereik strekt zich onder meer uit tot meetkunde, algebra en waarschijnlijkheid. Acht eeuwen sinds de reeks in het Westen werd geïntroduceerd – Indiase wiskundigen bestudeerden het lang vóór Fibonacci – blijven de getallen de belangstelling van onderzoekers trekken, een bewijs van hoeveel wiskundige diepgang er aan zelfs de meest elementaire getalreeks ten grondslag kan liggen.

In de Fibonacci-reeks bouwt elke term voort op de termen die eraan voorafgingen. Dergelijke recursieve reeksen kunnen een breed scala aan gedragingen vertonen, waarvan sommige wonderbaarlijk contra-intuïtief zijn. Neem bijvoorbeeld een merkwaardige familie van reeksen die voor het eerst in de jaren tachtig werd beschreven door de Amerikaanse wiskundige Michaël Somos.

Net als de Fibonacci-reeks begint een Somos-reeks met een reeks enen. Een Somos-k reeks begint met k van hen. Elke nieuwe termijn van een Somos-k De reeks wordt gedefinieerd door voorgaande termen aan elkaar te koppelen, elk paar met elkaar te vermenigvuldigen, de paren bij elkaar op te tellen en vervolgens te delen door de term k posities terug in de reeks.

De sequenties zijn niet erg interessant als k is gelijk aan 1, 2 of 3 – het zijn slechts een reeks zich herhalende getallen. Maar voor k = 4, 5, 6 of 7 hebben de reeksen een vreemde eigenschap. Hoewel er veel verdeeldheid bij betrokken is, verschijnen er geen breuken.

“Normaal gesproken hebben we dit soort fenomeen niet”, zei Somos. “Het is een bedrieglijk eenvoudige herhaling, vergelijkbaar met Fibonacci. Maar er zit veel achter die eenvoud.”

Andere wiskundigen blijven verrassende verbanden ontdekken tussen Somos-reeksen en ogenschijnlijk niet-verwante gebieden van de wiskunde. In een artikel dat in juli werd gepubliceerd, worden ze gebruikt oplossingen construeren tot een systeem van differentiaalvergelijkingen dat wordt gebruikt om alles te modelleren, van interacties tussen roofdieren en prooien tot golven die zich voortplanten in hoogenergetische plasma's. Ze worden ook gebruikt om de structuur van wiskundige objecten te bestuderen cluster algebra's en ermee verbonden zijn elliptische krommen – die de sleutel vormden tot het kraken van de laatste stelling van Fermat.

Janice Malouf, een afgestudeerde student aan de Universiteit van Illinois, publiceerde het eerste bewijs dat Somos-4- en Somos-5-sequenties bestaan zijn integraal (wat betekent dat al hun termen gehele getallen zijn) in 1992. Andere bewijzen van hetzelfde resultaat door verschillende wiskundigen verscheen rond dezelfde tijd, samen met bewijzen dat de Somos-6- en Somos-7-reeksen integraal zijn.

Deze vreemde eigenschap van Somos-reeksen verbaasde wiskundigen. “Somos-reeksen intrigeerden me zodra ik erover hoorde”, zegt hij James Prop, een professor in de wiskunde aan de Universiteit van Massachusetts, Lowell. “Het feit dat Somos-4 tot en met Somos-7 altijd gehele getallen opleveren, hoe ver je ook gaat, leek een wonder als je de zaken vanuit een naïef perspectief bekeek. Er was dus een ander perspectief nodig.”

Propp ontdekte begin jaren 2000 een nieuw perspectief, toen hij en zijn collega's ontdekten dat de getallen in de Somos-4-reeks feitelijk iets betekenen. De termen in de reeks komen overeen met structuren die in bepaalde grafieken voorkomen. Voor sommige grafieken is het mogelijk om hoekpunten (punten) te koppelen aan randen (lijnen), zodat elk hoekpunt verbonden is met precies één ander hoekpunt. Er zijn geen ongepaarde hoekpunten en geen hoekpunt verbonden met meer dan één rand. De termen in de Somos-4-reeks tellen het aantal verschillende perfecte overeenkomsten voor een bepaalde reeks grafieken.

De ontdekking bood niet alleen een nieuw perspectief op Somos-reeksen, maar introduceerde ook nieuwe manieren om grafiektransformaties na te denken en te analyseren. Propp en zijn studenten vierden feest door het resultaat op een te zetten T-shirt.

“Voor mij ligt de aantrekkingskracht van wiskunde voor een groot deel in het feit dat je via verschillende paden op dezelfde bestemming aankomt en het lijkt alsof er iets wonderbaarlijks of diepgaands aan de hand is,” zei Propp. “Het leuke aan deze reeksen is dat er verschillende gezichtspunten zijn die verklaren waarom je gehele getallen krijgt. Er zijn daar verborgen diepten.”

Het verhaal verandert voor Somos-reeksen met een hoger nummer. De eerste 18 termen van Somos-8 zijn gehele getallen, maar de 19e term is een breuk. Elke Somos-reeks daarna bevat ook fractionele waarden.

Een ander type reeks, ontwikkeld door de Duitse wiskundige Fritz Göbel in de jaren zeventig, is een interessant contrapunt voor de Somos-reeksen. De nDe e term van de Göbelreeks wordt gedefinieerd als de som van de kwadraten van alle voorgaande termen, plus 1, gedeeld door n. Net als de Somos-reeksen omvat de Göbel-reeks deling, dus we zouden kunnen verwachten dat termen geen gehele getallen zullen blijven. Maar voor een tijdje – naarmate de reeks enorm wordt – lijken ze dat wel te zijn.

De 10e term in de Göbel-reeks is ongeveer 1.5 miljoen, de 11e 267, ongeveer miljard. De 43e term is veel te groot om te berekenen: hij telt zo’n 178 miljard cijfers. Maar in 1975, de Nederlandse wiskundige Hendrik Lenstra toonde aan dat, in tegenstelling tot de eerste 42 termen, deze 43e term geen geheel getal is.

Göbelreeksen kunnen worden gegeneraliseerd door de vierkanten in de som te vervangen door kubussen, vierde machten of zelfs hogere exponenten. (Volgens deze conventie wordt zijn oorspronkelijke reeks een 2-Göbel-reeks genoemd.) Deze reeksen vertonen ook een verrassende trend waarbij ze beginnen met een uitgebreide reeks gehele termen. In 1988, Henry Ibstedt vertoonde dat de eerste 89 termen van de 3-Göbel-reeks (die kubussen gebruikt in plaats van vierkanten) gehele getallen zijn, maar de 90e niet. Bij vervolgonderzoek naar andere Göbel-reeksen werden zelfs nog langere stukken gevonden. De 31-Göbel-reeks begint bijvoorbeeld met maar liefst 1,077 gehele termen.

In juli hebben de wiskundigen van de Kyushu Universiteit, Rinnosuke Matsuhira, Toshiki Matsusaka en Koki Tsuchida een krant gedeeld laat zien dat voor a k-Göbel-reeks, ongeacht de keuze ervan k, zijn de eerste 19 termen van de reeks altijd gehele getallen. Ze werden geïnspireerd om de vraag te onderzoeken door een Japanse manga genaamd Seisū-tan, wat zich vertaalt naar 'Het verhaal van gehele getallen'. A frame in het stripboek vroeg de lezers om de minimaal mogelijke waarde van te berekenen N_k, het punt waarop a k-Göbel-reeks produceert niet langer integer-termen. De drie wiskundigen gingen op zoek naar een antwoord op de vraag. “Het onverwachte voortbestaan ​​van gehele getallen gedurende zo’n lange periode is in tegenspraak met onze intuïtie,” zei Matsusaka. “Wanneer verschijnselen optreden die tegengesteld zijn aan de intuïtie, geloof ik dat er altijd schoonheid aanwezig is.”

Ze vonden een patroon van herhalend gedrag als k neemt toe. Door zich te concentreren op een eindig aantal zich herhalende gevallen, maakten ze de berekening hanteerbaar en konden ze het bewijs voltooien.

Een nadere blik op de volgorde N_k onthult nog een verrassing: N_k is veel vaker een priemgetal dan je zou verwachten als het puur willekeurig was. "Met de k-Göbel-reeks, het is niet alleen opmerkelijk dat het gehele getallen zijn,' zei Richard Groen, een wiskundige aan de Universiteit van Colorado. “Opmerkelijk is dat de priemgetallen zo vaak voorkomen. Daardoor lijkt het erop dat er iets diepers aan de hand is.”

Hoewel het nieuwe artikel daar een bewijs van levert N_k is altijd minstens 19, het is niet bekend of het altijd eindig is, of dat er a bestaat k waarvoor de reeks voor onbepaalde tijd gehele getallen bevat. “N_k gedraagt ​​zich mysterieus. … Er is een fundamenteel verlangen om het onderliggende patroon ervan te begrijpen,’ zei Matsusaka. “Het lijkt misschien op de vreugde die ik als kind voelde bij het oplossen van puzzels die door leraren werden gegeven. Zelfs nu blijven die gevoelens uit die tijd in mij hangen.”

Quanta voert een reeks onderzoeken uit om ons publiek beter van dienst te zijn. Neem onze lezersonderzoek wiskunde en je doet mee om gratis te winnen Quanta koopwaar.