Wiskundigen en computerwetenschappers beleefden een spannend jaar van doorbraken op het gebied van verzamelingenleer, topologie en kunstmatige intelligentie, naast het behouden van vervaagde kennis en het opnieuw bekijken van oude vragen. Ze boekten nieuwe vooruitgang op fundamentele vragen in het veld, vierden connecties over verre gebieden van de wiskunde en zagen de verbanden tussen wiskunde en andere disciplines groeien. Maar veel resultaten waren slechts gedeeltelijke antwoorden, en sommige veelbelovende exploratiemogelijkheden bleken doodlopende wegen te zijn, waardoor werk overbleef voor toekomstige (en huidige) generaties.

Topologen, die al een druk jaar achter de rug hadden, zagen dit najaar een boek verschijnen dat eindelijk een omvangrijk 40 jaar oud werk voorstelt dat verloren dreigde te gaan. Een geometrisch hulpmiddel dat 11 jaar geleden werd gemaakt, kreeg nieuw leven in een andere wiskundige context en overbrugde verschillende onderzoeksgebieden. En nieuw werk in de verzamelingenleer bracht wiskundigen dichter bij het begrijpen van de aard van oneindigheid en hoeveel reële getallen er werkelijk zijn. Dit was slechts een van de vele tientallen jaren oude wiskundevragen die dit jaar op een of andere manier werden beantwoord.

Maar wiskunde bestaat niet in een vacuüm. Deze zomer, Quanta beantwoordde de groeiende behoefte aan een wiskundig begrip van de kwantumveldentheorie, een van de meest succesvolle concepten in de natuurkunde. Evenzo worden computers steeds meer onmisbare hulpmiddelen voor wiskundigen, die ze niet alleen gebruiken om berekeningen uit te voeren, maar ook om anders onmogelijke problemen op te lossen en zelfs gecompliceerde bewijzen te verifiëren. En naarmate machines beter worden in het oplossen van problemen, is er dit jaar ook nieuwe vooruitgang geboekt in het begrijpen van hoe ze er zo goed in zijn geworden.

Het is verleidelijk om te denken dat een wiskundig bewijs, eenmaal ontdekt, voor altijd zou blijven bestaan. Maar een baanbrekend topologieresultaat uit 1981 dreigde in de vergetelheid te raken, aangezien de weinige overgebleven wiskundigen die het begrepen ouder werden en het veld verlieten. Michael Freedmans bewijs van het vierdimensionale vermoeden van Poincaré toonde aan dat bepaalde vormen die in sommige opzichten (of 'homotopie-equivalent') lijken op een vierdimensionale bol, er ook op andere manieren op moeten lijken, waardoor ze 'homeomorf' worden. (topologen) hebben hun eigen manieren om te bepalen wanneer twee vormen hetzelfde of vergelijkbaar zijn.) Gelukkig is er een nieuw boek genaamd De Disc Embedding Stelling vestigt in bijna 500 pagina's de onontkoombare logica van Freedmans verrassende benadering en bevestigt de bevinding stevig in de wiskundige canon.

Een ander recent belangrijk resultaat in de topologie was het vermoeden van Smale, dat vraagt ​​of de basissymmetrieën van de vierdimensionale bol in feite alle symmetrieën zijn die het heeft. Tadayuki Watanabe bewezen dat het antwoord nee is - er zijn meer soorten symmetrieën - en daarmee begon hij een zoektocht naar hen, met nieuwe resultaten die pas in september verschenen. Ook ontwikkelden twee wiskundigen “Bloem Morava K-theorie”, een raamwerk dat symplectische geometrie en topologie combineert; het werk stelt een nieuwe reeks hulpmiddelen vast voor het benaderen van problemen op die gebieden en bewijst, bijna terloops, een nieuwe versie van een decennia oud probleem dat het vermoeden van Arnold wordt genoemd. Quanta onderzocht ook de oorsprong van de topologie zelf met a column in januari en een uitleg gewijd aan het verwante onderwerp homologie.

Of ze nu wiskundigen helpen met wiskunde of helpen bij de analyse van wetenschappelijke gegevens, diepe neurale netwerken, een vorm van kunstmatige intelligentie die is gebouwd op lagen kunstmatige neuronen, zijn steeds geavanceerder en krachtiger geworden. Ze blijven ook mysterieus: de traditionele machine learning-theorie zegt dat hun enorme aantal parameters zou moeten resulteren in overfitting en een onvermogen om te generaliseren, maar er moet duidelijk iets anders aan de hand zijn. Het blijkt dat oudere en beter begrepen modellen voor machinaal leren, kernelmachines genaamd, wiskundig equivalent tot geïdealiseerde versies van deze neurale netwerken, wat nieuwe manieren suggereert om de digitale zwarte dozen te begrijpen en er voordeel uit te halen.

Maar er zijn ook tegenslagen geweest. Verwante soorten AI die bekend staan ​​als convolutionele neurale netwerken hebben het erg moeilijk onderscheid maken tussen vergelijkbare en verschillende objecten, en de kans is groot dat ze dat altijd zullen doen. Evenzo heeft recent werk aangetoond dat gradiëntafdaling - een algoritme dat nuttig is voor het trainen van neurale netwerken en het uitvoeren van andere computertaken - is een fundamenteel moeilijk probleem, wat betekent dat sommige taken voor altijd buiten het bereik kunnen zijn. Quantum computing, ondanks zijn belofte, kreeg in maart ook een grote tegenslag toen een belangrijke krant de beschrijving van het maken van foutbestendige topologische qubits werd ingetrokken, waardoor eens hoopvolle wetenschappers zich moesten realiseren dat zo'n machine misschien onmogelijk is. (Scott Aaronson benadrukt, in een column en video, waarom kwantumcomputers zo moeilijk zijn om mee te werken, en zelfs om over te praten.)

Hoeveel reële getallen zijn er? Het is al meer dan een eeuw een provocerende - en onopgeloste - vraag, maar dit jaar zag belangrijke ontwikkelingen in de richting van een antwoord. David Asperó en Ralf Schindler publiceerden in mei een bewijs dat twee eerder antagonistische axioma's combineerde: een variatie van een van hen, bekend als Martin's maximum, impliceert de andere, genaamd (*) (uitgesproken als "ster"). Het resultaat betekent dat beide axioma's waarschijnlijker waar zijn, wat op zijn beurt suggereert dat het aantal reële getallen groter is dan aanvankelijk werd gedacht, wat overeenkomt met het kardinale getal $latexboldsymbol{aleph}_{2}$ in plaats van het kleinere (maar toch oneindig) $latexboldsymbol{aleph}_{1}$. Dit zou in strijd zijn met de continuümhypothese, die stelt dat er geen oneindigheidsgrootte bestaat tussen $latexboldsymbol{aleph}_{0}$, overeenkomend met de verzameling van alle natuurlijke getallen, en het continuüm van reële getallen. Maar niet iedereen is het daarmee eens, inclusief Hugh Woodin, de oorspronkelijke maker van (*), die nieuw werk heeft gepost dat suggereert dat de continuümhypothese toch klopt.

Dit was niet het enige decennia-oude probleem dat door moderne oplossingen opnieuw werd bekeken. In 1900 kwam David Hilbert met 23 onopgeloste belangrijke vragen, en dit jaar gaven wiskundigen onvolledige antwoorden op het 12e probleem, over de bouwstenen van bepaalde getalsystemen, en de 13e, over de oplossingen voor veeltermen van de zevende graad. Februari zag ook de aankondiging dat het vermoeden van de eenheid is onjuist, wat betekent dat multiplicatieve inverses eigenlijk bestaan ​​in meer gecompliceerde structuren dan wiskundigen dachten. En in januari onderzocht Alex Kontorovich misschien wel het grootste onopgeloste probleem in de wiskunde, de Riemann-hypothese, in een essay en video.

Vaak beantwoordt een grote wiskundige vooruitgang niet alleen een belangrijke vraag, maar biedt het ook een nieuwe verkenningsweg om andere problemen uit te proberen. Laurent Fargues en Jean-Marc Fontaine creëerden rond 2010 een nieuw geometrisch object dat hun eigen onderzoek hielp. Maar in combinatie met Peter Scholze's ideeën over perfectoïde ruimtes, de Fargues-Fontaine-curve kreeg een grotere betekenis, waarbij getaltheorie en geometrie verder worden verbonden als onderdeel van het decennia-oude Langlands-programma. "Het is een soort wormgat tussen twee verschillende werelden", zegt Scholze.

Andere overpeinzingen op het Langlands-programma waren een interview met Ana Caraiani, wiens werk heeft bijgedragen aan het versterken en verbeteren van vergelijkbare verbindingen tussen ongelijksoortige wiskundegebieden, en een onderzoek van de Galois-groepen van symmetrieën in het hart van de oorspronkelijke Langlands-gissingen.

Real-world systemen zijn notoir ingewikkeld en partiële differentiaalvergelijkingen (PDE's) helpen onderzoekers ze te beschrijven en te begrijpen. Maar PDE's zijn ook notoir moeilijk op te lossen. Twee nieuwe soorten neurale netwerken - DeepONet en de Fourier neurale operator - zijn ontstaan ​​om dit werk gemakkelijker te maken. Beide hebben het vermogen om operators te benaderen, die functies in andere functies kunnen transformeren, waardoor de netten effectief een oneindig-dimensionale ruimte in kaart kunnen brengen op een andere oneindig-dimensionale ruimte. De nieuwe systemen lossen bestaande vergelijkingen sneller op dan conventionele methoden, en ze kunnen ook helpen bij het leveren van PDE's voor systemen die voorheen te ingewikkeld waren om te modelleren.

Computers zijn dit jaar zelfs op verschillende manieren nuttig gebleken voor wiskundigen. In januari, Quanta rapporteerde over nieuwe algoritmen voor kwantumcomputers waarmee ze niet-lineaire systemen kunnen verwerken, waar interacties zichzelf kunnen beïnvloeden, door ze eerst te benaderen als eenvoudiger, lineaire degenen. Computers bleven ook wiskundig onderzoek vooruithelpen toen een team van wiskundigen moderne hardware en algoritmen gebruikte om te bewijzen dat er geen soorten speciale tetraëders meer dan degenen die 26 jaar geleden werden ontdekt, en - dramatischer - toen een digitale bewijsassistent genaamd Lean de juistheid van een ondoorgrondelijk modern bewijs.

Natuurkunde en wiskunde hebben elkaar altijd overlappen, inspireren en bevorderen. Het concept van de kwantumveldentheorie, een verzamelnaam die natuurkundigen gebruiken om kaders te beschrijven waarin kwantumvelden betrokken zijn, is enorm succesvol geweest, maar het berust op wankele wiskundige grond. Het zou natuurkundigen helpen om in dat kader te werken en het uit te breiden, maar het zou wiskundigen ook een nieuwe reeks hulpmiddelen en structuren geven om mee te spelen. In een vierdelige serie, Quanta onderzocht de belangrijkste problemen momenteel in de weg van wiskundigen, verkend een kleinschaliger succesverhaal in twee dimensies, de mogelijkheden besproken met QFT-specialist Nathan Seiberg, en legde in een video de meest prominente QFT van allemaal uit: het standaardmodel.