Herhaling hoeft niet altijd alledaags te zijn. In de wiskunde is het een krachtige kracht die in staat is verbijsterende complexiteit te genereren.

Zelfs na decennia van onderzoek blijken wiskundigen niet in staat vragen te beantwoorden over de herhaalde uitvoering van zeer eenvoudige regels – de meest fundamentele ‘dynamische systemen’. Maar door dit te proberen hebben ze diepe verbanden blootgelegd tussen deze regels en andere schijnbaar verre gebieden van de wiskunde.

Bijvoorbeeld de Mandelbrot-set, die ik schreef erover Vorige maand is een kaart weergegeven van hoe een familie van functies wordt beschreven door de vergelijking f(x) = x² + c - gedraagt ​​zich als de waarde van c zich uitstrekt over het zogenaamde complexe vlak. (In tegenstelling tot reële getallen, die op een lijn kunnen worden geplaatst, hebben complexe getallen twee componenten, die op de lijn kunnen worden geplot x- en y-assen van een tweedimensionaal vlak.)

Hoe ver je ook inzoomt op de Mandelbrot-set, er ontstaan ​​altijd nieuwe patronen, zonder beperking. “Het is voor mij zelfs nu nog verbijsterend dat deze zeer complexe structuur voortkomt uit zulke eenvoudige regels,” zei Matthijs Bakker van het Georgia Institute of Technology. “Het is een van de werkelijk verrassende ontdekkingen van de 20e eeuw.”

De complexiteit van de Mandelbrot-verzameling komt gedeeltelijk naar voren omdat deze wordt gedefinieerd in termen van getallen die zelf, nou ja, complex zijn. Maar, misschien verrassend, is dat niet het hele verhaal. Zelfs wanneer c Als een eenvoudig reëel getal is, zoals bijvoorbeeld –3/2, kunnen er allerlei vreemde verschijnselen optreden. Niemand weet wat er gebeurt als je de vergelijking herhaaldelijk toepast f(x) = x² – 3/2, waarbij elke uitvoer wordt gebruikt als de volgende invoer in een proces dat iteratie wordt genoemd. Als je begint met itereren vanaf x = 0 (het “kritieke punt” van een kwadratische vergelijking), is het onduidelijk of je een reeks gaat produceren die uiteindelijk convergeert naar een zich herhalende cyclus van waarden, of een reeks die eindeloos rond blijft stuiteren in een chaotisch patroon.

voor waarden van c kleiner dan –2 of groter dan 1/4, de iteratie wordt snel opgeblazen tot oneindig. Maar binnen dat interval zijn er oneindig veel waarden van c waarvan bekend is dat het chaotisch gedrag veroorzaakt, en oneindig veel gevallen zoals –3/2, waarbij “we niet weten wat er gebeurt, ook al is het super concreet”, zegt Giulio Tiozzo van de Universiteit van Toronto.

Maar in de jaren negentig ontdekte de wiskundige van de Stony Brook University Misja Lyubich, die een prominente rol speelde in mijn rapport over de Mandelbrot-set, bewezen dat in het interval tussen –2 en 1/4 de overgrote meerderheid van de waarden van c aardig “hyperbolisch” gedrag produceren. (De wiskundigen Jacek Grazyk en Grzegorz Swiatek onafhankelijk bewezen het resultaat rond dezelfde tijd.) Dit betekent dat de overeenkomstige vergelijkingen, wanneer ze worden herhaald, convergeren naar een enkele waarde of naar een zich herhalende cyclus van getallen.

Tien jaar later toonde een drietal wiskundigen aan dat de meeste waarden van c zijn niet alleen hyperbolisch voor kwadratische vergelijkingen, maar ook voor elke familie van echte polynomen (meer algemene functies die variabelen combineren die tot machten zijn verheven, zoals x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). En nu één van hen, Sebastiaan van Strien van het Imperial College London, gelooft dat hij een bewijs heeft voor deze eigenschap voor een nog bredere klasse van vergelijkingen die echte analytische functies worden genoemd en die sinus-, cosinus- en exponentiële functies omvatten. Van Strien hoopt de uitslag in mei bekend te maken. Als het na peer review stand houdt, zal het een grote vooruitgang betekenen in de karakterisering van hoe echte eendimensionale systemen zich gedragen.

Onwaarschijnlijke kruispunten en entropie-bagels

Er zijn oneindig veel echte kwadratische vergelijkingen waarvan bekend is dat ze, wanneer ze vanaf nul worden herhaald, uiteindelijk een zich herhalende cyclus van getallen opleveren. Maar als je beperkt c voor rationele waarden – waarden die als breuken kunnen worden geschreven – genereren slechts drie waarden uiteindelijk periodieke reeksen: 0, –1 en –2. “Deze dynamische systemen zijn heel, heel bijzonder”, zegt hij Clayton Petsche van de Oregon State Universiteit.

In een krant vorig jaar gepubliceerd, Petsche en Chatchai Noytaptim van de Universiteit van Waterloo bewezen dat ze nog specialer zijn dan ze op het eerste gezicht lijken. De wiskundigen keken naar ‘volledig reële’ getallen, die restrictiever zijn dan reële getallen, maar minder restrictief dan rationele getallen.

Als je een getal in een polynoom steekt en de uitkomst nul krijgt, is dat getal een oplossing voor, of een wortel van, het polynoom. 2 is bijvoorbeeld een wortel van f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30, en oneindig veel andere vergelijkingen. Dergelijke polynomen kunnen wortels hebben die reëel zijn, of wortels die complex zijn. (Bijvoorbeeld de wortels van x² + 1 is de wortel van –1, geschreven als i, en -i - beide complexe getallen.)

Een getal is volledig reëel als het voldoet aan een polynoomvergelijking met gehele coëfficiënten die alleen reële wortels heeft. Alle rationale getallen zijn volkomen reëel, maar dat geldt ook voor sommige irrationele getallen. $latex sqrt{2}$ is bijvoorbeeld volkomen reëel, omdat het een oplossing is voor f(x) = x² – 2, die alleen echte wortels heeft ($latex sqrt{2}$ en zijn “zuster” root $latex -sqrt{2}$). Maar de derdemachtswortel van 2, $latex sqrt[3]{2}$, is niet helemaal reëel. Het is een oplossing voor f(x) = x³ – 2, die nog twee extra zusterwortels heeft, ook bekend als Galois-conjugaten, die complex zijn.

Petsche en Noytaptim bewezen dat er geen irrationele, volledig reële getallen bestaan ​​die uiteindelijk periodieke cycli produceren. Integendeel, 0, –1 en –2 zijn de enige volledig reële getallen die dit doen. Ze vertegenwoordigen een onwaarschijnlijk kruispunt tussen eigenschappen uit twee ogenschijnlijk verschillende werelden: de getaltheorie (de studie van gehele getallen) en dynamische systemen. Petsche en Noytaptim gebruikten in hun bewijs belangrijke resultaten uit de getaltheorie, waarbij ze het verband tussen de twee velden benadrukten.

De wiskundigen Xavier Buff en Sarah Kok gevonden nog een onwaarschijnlijk kruispunt. Ze toonden aan dat slechts vier volledig echte waarden van c — 1/4, –3/4, –5/4 en –7/4 — genereren reeksen van een bepaald, goed begrepen type dat een parabolische cyclus wordt genoemd.

Galois-conjugaten maakten ook de weg vrij voor de ontdekking van een mysterieus object dat de ‘entropie-bagel’ wordt genoemd, een gloeiende fractale ring in het complexe vlak. Entropie is een maatstaf voor willekeur; in deze context meet het hoe moeilijk het is om de reeks getallen te voorspellen die door iteratie wordt gegenereerd x² + c. In de laatste artikel dat hij schreef Voordat hij in 2012 stierf, maakte de beroemde topoloog William Thurston een grafiek van de reeks entropiewaarden die overeenkomen met bijna een miljard verschillende reële waarden van c – samen met de Galois-conjugaten van die entropiewaarden, die complex kunnen zijn. Het idee van entropie “ligt precies op de echte grens, maar op de een of andere manier kun je nog steeds deze schaduw van de complexe wereld zien”, zei Tiozzo.

"Je ziet dat dit zichzelf organiseert in deze ongelooflijke kanten fractale structuur", zei Koch. "Het is zo gaaf." De entropie-bagel is slechts één zeer gecompliceerd patroon dat voortkomt uit de iteratie van echte kwadratische vergelijkingen. “We leren nog steeds al deze magische uitspraken – kleine juweeltjes – over echte kwadratische polynomen,” voegde ze eraan toe. "Je kunt altijd teruggaan en verrast worden door iets waarvan je dacht dat je het heel goed kende."