Wiskundigen verheugen zich als ze bewijzen dat schijnbaar onmogelijke dingen bestaan. Dat is het geval met een nieuw bewijs in maart online geplaatst door Cédric Pilatte, een eerstejaars afgestudeerde student aan de Universiteit van Oxford.

Pilatte bewees dat het mogelijk is een verzameling – een verzameling getallen – te creëren die aan twee ogenschijnlijk onverenigbare eigenschappen voldoet. De eerste is dat geen twee paren getallen in de set optellen tot hetzelfde totaal. Tel bijvoorbeeld twee willekeurige getallen in {1, 3, 5, 11} bij elkaar op en je krijgt altijd een uniek getal. Het is gemakkelijk om kleine 'Sidon'-sets zoals deze te construeren, maar naarmate het aantal elementen toeneemt, neemt ook de kans toe dat de sommen samenvallen, waardoor het Sidon-karakter van de set teniet wordt gedaan.

De tweede eis is dat de set erg groot moet zijn. Het moet oneindig zijn en je zou elk voldoende groot getal moeten kunnen genereren door maximaal drie getallen in de set bij elkaar op te tellen. Deze eigenschap, die de verzameling tot een "asymptotische basis van orde 3" maakt, vereist een grote, dichte reeks getallen. 'Ze trekken in tegengestelde richtingen,' zei Pilatte. "Sidon-verzamelingen zijn beperkt om klein te zijn en een asymptotische basis is beperkt om groot te zijn. Het was niet evident dat het zou kunnen werken.”

De vraag of zo'n set bestaat, is sindsdien tientallen jaren blijven hangen werd gesteld door de productieve Hongaarse wiskundige Paul Erdős en twee medewerkers in 1993. Erdős' fascinatie voor Sidon-sets is terug te voeren op een gesprek dat hij in 1932 had met hun uitvinder Simon Sidon, die destijds geïnteresseerd was in het begrijpen van de groeisnelheid van deze sets. (Erdős zou Sidon later omschrijven als 'gekker dan de gemiddelde wiskundige', wat hij vrijwel zeker als een compliment bedoelde.)

Sidon-verzamelingen komen voor in verschillende wiskundige contexten, waaronder getaltheorie, combinatoriek, harmonische analyse en cryptografie, maar de simpele vraag hoe groot ze kunnen worden, is een blijvend mysterie geweest waar Erdős een groot deel van zijn carrière over nadacht. Erdős realiseerde zich al vroeg dat Sidon-sets buitengewoon moeilijk te schalen zijn. In 1941 hij en een andere wiskundige bewezen dat de grootst mogelijke Sidon-verzameling waarvan de leden allemaal kleiner zijn dan een geheel getal N moet kleiner zijn dan de vierkantswortel van N plus een term die groeit in verhouding tot de vierde wortel van N. (Tegen 1969 zou Bernt Lindström laten zien dat het kleiner is dan $latex sqrt{N}+sqrt[4]{N}+1$, en in 2021 een andere groep wiskundigen de band strakker gemaakt naar $latex sqrt{N}+0.998 maal sqrt[4]{N}$.) Met andere woorden, Sidon-sets moeten schaars zijn.

Het is al lang bekend dat een Sidon-verzameling geen asymptotische basis van orde 2 kan zijn, waarbij elk geheel getal kan worden uitgedrukt als de som van maximaal twee getallen. (De oneven getallen vormen bijvoorbeeld een basis van orde 2.) Zoals Pilatte uitlegde, is dit zo eenvoudig aan te tonen dat wiskundigen niet de moeite namen het op te schrijven: "Dat orde 2 onmogelijk is, was waarschijnlijk veel eerder bekend dan expliciet in de literatuur werd geschreven." Hij legde uit dat dit komt omdat "Sidon-reeksen een bepaalde dichtheid niet kunnen overschrijden, terwijl asymptotische basen van orde 2 altijd dichter zijn dan die drempel, dus de twee eigenschappen kunnen niet tegelijk gelden."

Algemeen werd aangenomen dat een asymptotische basis van orde 3 kon worden geconstrueerd uit een Sidon-verzameling, maar bewijzen dat dit een andere zaak was. "Mensen geloofden dat dit waar moest zijn", zei de adviseur van Pilatte James Maynard. "Maar er was een probleem met de technieken die we gebruikten."

Er was enige vooruitgang geboekt voordat Pilatte de uitdaging aanging. In 2010, de Hongaarse wiskundige Sándor Kiss vertoonde dat een Sidon-set een asymptotische basis van orde 5 kan zijn - wat betekent dat elk voldoende groot geheel getal kan worden geschreven als de som van maximaal vijf elementen van de set - en in 2013 Kiss en twee van zijn collega's bewezen het vermoeden voor een asymptotische basis van orde 4. Twee jaar later, de Spaanse wiskundige Javier Cilleruelo nam deze resultaten een stap verder door te bewijzen dat het mogelijk is een Sidonverzameling te construeren die een asymptotische basis is van orde 3 + e, wat betekent dat elk voldoende groot geheel getal N kan worden geschreven als de som van vier leden van de Sidon-verzameling, waarvan er één kleiner is dan N^e voor willekeurig klein positief e.

Deze bevindingen zijn verkregen met behulp van variaties op een probabilistische methode ontwikkeld door Erdős, waarbij een willekeurige reeks gehele getallen wordt gegenereerd en enigszins wordt aangepast om een ​​reeks te creëren die aan beide eigenschappen voldoet.

Pilatte realiseerde zich dat de probabilistische methode zo ver mogelijk was doorgevoerd. "Je kunt een basis van orde 4 krijgen door probabilistische methoden te gebruiken, maar je kunt geen basis van orde 3 krijgen," zei hij. "Het mislukt gewoon."

Dus gooide Pilatte het over een andere boeg en ging in plaats daarvan over op een procedure die de logaritmes van priemgetallen gebruikt als de bouwstenen van Sidon-verzamelingen. Ontwikkeld door de Hongaarse getaltheoreticus Imre Ruzsa en Cilleruelo, deze benadering levert grotere, dichtere Sidon-sets op dan de probabilistische methode, die Pilatte nodig had om een ​​basis van lage orde te creëren die ook gehoorzaamde aan de Sidon-eigenschap. Maar de methode vereiste een faciliteit met priemgetallen die zelfs de meest vooraanstaande experts ter wereld niet hadden. "Je zou een begrip van priemgetallen nodig hebben dat verder gaat dan alles wat we hebben," zei Pilatte. "Dus dat was niet goed."

De zoektocht naar een oplossing bracht Pilatte in een onverwachte richting, weg van de additieve getaltheorie en naar de wereld van de algebraïsche meetkunde, een tak van de wiskunde die de relatie bestudeert tussen geometrische vormen, zoals krommen en oppervlakken, en de vergelijkingen die deze definiëren. Gebruikmakend van een idee van Cilleruelo, begon Pilatte met het vervangen van getallen door polynomen, waardoor het probleem meteen beter handelbaar werd.

Een polynoom is een algebraïsche uitdrukking die bestaat uit een som van termen, die elk een product zijn van een constante coëfficiënt en een of meer variabelen die zijn verheven tot niet-negatieve gehele machten. De termen kunnen worden gecombineerd met behulp van optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld 3x² + 22x + 35 is een polynoom met drie termen. Een polynoom ontbinden in factoren betekent het opsplitsen in een product van andere, eenvoudigere polynomen. In dit voorbeeld 3x² + 22x + 35 = (x + 5)(3x + 7). Een onherleidbaar polynoom - een polynoom dat niet kan worden ontbonden - is de analoog van een priemgetal.

Het omwisselen van gehele getallen voor variabelen en coëfficiënten klinkt misschien vreemd, maar ze hebben meer gemeen dan je zou denken. "Het blijkt dat veeltermen zich erg op dezelfde manier gedragen als de gehele getallen", zei een collega van Pilatte in Oxford Thomas Blom. "Ik kan ze optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen." En in sommige opzichten begrijpen wiskundigen polynomen veel beter dan getallen. "Al deze dingen die, met priemgetallen, voor ons als sciencefiction klinken, zijn bekend in de polynoomwereld," zei Maynard.

Met een recent resultaat door de wiskundige van Columbia University Wil Sawin over de verdeling van onherleidbare polynomen in rekenkundige reeksen, was Pilatte in staat een set te construeren die precies de juiste hoeveelheid willekeur en precies de juiste dichtheid van getallen bezat om aan de beperkingen van Erdős te voldoen.

"Ik was ontzettend blij", zei Pilatte. "Ik sluit me hier aan bij de groep mensen die een Erdős-probleem hebben opgelost, en dat is leuk."

Maar wat hem het meest verheugt, is de verrassende manier waarop hij tot de oplossing is gekomen. "Het is cool dat deze zeer diepgaande technieken uit de algebraïsche meetkunde ook kunnen worden gebruikt voor deze eenvoudige en concrete vraag over getallenreeksen", zei hij.

De problemen van Erdő hebben een griezelig talent om verbanden te leggen tussen zogenaamd niet-verwante takken van de wiskunde, en de ontdekkingen die wiskundigen doen terwijl ze proberen ze te beantwoorden, zijn vaak zinvoller dan de antwoorden zelf. "Ze zijn bedrieglijk in hoe diep ze zijn, en de oplossing van Cédric is daar een goed voorbeeld van," zei Bloom. "Ik weet zeker dat Erdős heel blij zou zijn geweest."

correctie: 5 June 2023
Dit artikel gaf oorspronkelijk een voorbeeld van een Sidon-set die eigenlijk geen Sidon-set is. Dat voorbeeld is verwijderd.