Het duurde lang voordat Claire Voisin verliefd werd op wiskunde.

Dat wil niet zeggen dat ze het onderwerp ooit niet leuk vond. Ze groeide op in Frankrijk – de tiende van twaalf kinderen – en bracht graag urenlang door met het oplossen van wiskundige problemen met haar vader, een ingenieur. Tegen de tijd dat ze twaalf werd, was ze zelf begonnen met het lezen van een algebra-leerboek op de middelbare school, gefascineerd door de definities en bewijzen die op de pagina's stonden. “Er was al deze structuur,” zei ze. “Algebra is eigenlijk een theorie van structuren.”

Maar ze zag wiskunde niet als een levenslange roeping. Pas tijdens haar universiteitsjaren besefte ze hoe diep en mooi het kon zijn – en dat ze in staat was nieuwe ontdekkingen te doen. Tot die tijd streefde ze naast wiskunde ook serieus andere interesses na: filosofie, schilderkunst en poëzie. (“Toen ik twintig was, deed ik denk ik alleen wiskunde en schilderen. Dat was misschien een beetje overdreven”, lachte ze.) Toen ze begin twintig was, had de wiskunde al het andere ondergebracht. Maar schilderkunst en poëzie bleven haar beïnvloeden. Ze ziet wiskunde als een kunst – en als een manier om de grenzen van de taal te verkennen en ermee te spelen.

Tientallen jaren later, nadat hij een leider was geworden op het gebied van de algebraïsche meetkunde, heeft Voisin opnieuw de tijd gevonden om te schilderen en sculpturen van klei te maken. Toch blijft de wiskunde het grootste deel van haar aandacht in beslag nemen; ze besteedt haar tijd het liefst aan het verkennen van deze ‘andere wereld’ waar ‘het is alsof je droomt’.

Voisin is senior onderzoeker bij het Franse Nationale Centrum voor Wetenschappelijk Onderzoek in Parijs. Daar bestudeert ze algebraïsche varianten, die kunnen worden gezien als vormen die worden gedefinieerd door reeksen polynoomvergelijkingen, zoals een cirkel wordt gedefinieerd door de polynoom x² + y² = 1. Ze is een van 's werelds meest vooraanstaande experts op het gebied van de Hodge-theorie, een gereedschapskist die wiskundigen gebruiken om de belangrijkste eigenschappen van algebraïsche variëteiten te bestuderen.

Voisin heeft een litanie aan prijzen gewonnen voor haar werk, waaronder de Clay Research Award in 2008, de Heinz Hopf-prijs in 2015 en de Shaw-prijs voor wiskunde in 2017. In januari werd ze de eerste vrouw die de Crafoord-prijs in de wiskunde ontving. Wiskunde.

Quanta sprak met Voisin over het creatieve karakter van wiskunde. Het interview is voor de duidelijkheid ingekort en bewerkt.

Als kind genoot je van wiskunde, maar zag je jezelf er niet mee bezig zijn. Waarom niet?

Er is de magie van een bewijs: de emotie die je voelt als je het begrijpt, als je beseft hoe sterk het is en hoe sterk het je maakt. Als kind kon ik dit al zien. En ik genoot van de concentratie die wiskunde vereist. Het is iets dat ik, naarmate ik ouder word, steeds belangrijker vind in de wiskundepraktijk. De rest van de wereld verdwijnt. Je hele brein bestaat om een ​​probleem te bestuderen. Het is een buitengewone ervaring, een ervaring die heel belangrijk voor mij is – om jezelf de wereld van praktische dingen te laten verlaten, om in een andere wereld te gaan wonen. Misschien is dit de reden waarom mijn zoon zo graag videogames speelt.

Maar wat mij in zekere zin tot een laatkomer in de wiskunde maakte, is dat ik absoluut niet geïnteresseerd ben in games. Het is niet voor mij. En op de middelbare school voelde wiskunde als een spel. Ik vond het moeilijk om het serieus te nemen. Ik zag eerst de diepten van de wiskunde niet. Zelfs toen ik na de middelbare school zeer interessante bewijzen en stellingen begon te ontdekken, heb ik op geen enkel moment gedacht dat ik zelf iets kon uitvinden, dat ik het tot het mijne kon maken.

Ik had behoefte aan iets diepers, serieuzers, iets dat ik van mij kon maken.

Waar zocht je dat voordat je dat in de wiskunde ontdekte?

Ik genoot van filosofie en haar nadruk op het idee van een concept. Ook besteedde ik tot mijn 22e veel tijd aan schilderen, vooral figuratieve stukken geïnspireerd door de geometrie. En ik hield erg van poëzie – van het werk van Mallarmé, Baudelaire, René Char. Ik leefde al in een soort andere wereld. Maar dat is normaal, denk ik, als je jonger bent.

Maar wiskunde werd steeds belangrijker. Het vergt echt al je hersenen. Als u niet achter uw bureau aan een specifiek probleem werkt, zijn uw gedachten nog steeds bezig. Dus hoe meer ik wiskunde deed, hoe minder ik schilderde. Ik ben pas sinds kort weer begonnen met schilderen, nu mijn kinderen allemaal het huis uit zijn en ik veel meer tijd heb.

Waarom besloot je uiteindelijk het grootste deel van je creatieve energie aan wiskunde te besteden?

Wiskunde werd voor mij steeds interessanter. Als master en Ph.D. student, ontdekte ik dat de wiskunde van de 20e eeuw iets heel dieps en buitengewoons was. Het was een wereld van ideeën en concepten. In de algebraïsche meetkunde was er de beroemde revolutie onder leiding van Alexander Grothendieck. Zelfs vóór Grothendieck waren er ongelooflijke resultaten. Het is dus een recent vakgebied, met ideeën die mooi zijn, maar ook enorm krachtig. De Hodge-theorie, die ik bestudeer, was daar een onderdeel van.

Het werd steeds duidelijker dat mijn leven daar was. Natuurlijk had ik een gezinsleven – een man en vijf kinderen – en andere plichten en activiteiten. Maar ik besefte dat ik met wiskunde iets kon creëren. Ik zou mijn leven eraan kunnen wijden, omdat het zo mooi, zo spectaculair, zo interessant was.

Je hebt eerder geschreven over hoe wiskunde een creatieve onderneming is.

Ik ben een professionele wiskundige, dus mijn werkdag is officieel georganiseerd rond wiskunde. Ik zit aan een bureau; Ik werk op een computer. Maar het grootste deel van mijn wiskundeactiviteit vindt in die tijd niet plaats. Je hebt een nieuw idee nodig, een goede definitie, een uitspraak waarvan je denkt dat je die kunt exploiteren. Pas dan kan jouw werk beginnen. En dat gebeurt niet als ik aan mijn bureau zit. Ik moet mijn gedachten volgen, mezelf aan het denken houden.

Het klinkt alsof wiskunde heel persoonlijk voor je is. Heb je tijdens het proces iets over jezelf ontdekt?

Als ik wiskunde doe, moet ik meestal tegen mezelf vechten, omdat ik erg ongeordend ben, niet erg gedisciplineerd, en ook de neiging heb om depressief te worden. Ik vind het niet gemakkelijk. Maar wat ik ontdekte is dat op sommige momenten – zoals ‘s ochtends tijdens het ontbijt, of wanneer ik door de straten van Parijs loop of iets doms doe zoals schoonmaken – mijn hersenen vanzelf gaan werken. Ik besef dat ik aan wiskunde denk, zonder dat ik dat van plan was. Het is alsof je droomt. Ik ben 62, en ik heb geen echte methode om goede wiskunde te doen: ik wacht nog steeds min of meer op het moment waarop ik inspiratie krijg.

Je werkt met zeer abstracte objecten – met hoogdimensionale ruimtes, met structuren die aan ingewikkelde vergelijkingen voldoen. Hoe denk je over zo’n abstracte wereld?

Eigenlijk is het niet zo moeilijk. De meest abstracte definitie is, als je er eenmaal mee vertrouwd bent, niet meer abstract. Het is als een prachtige berg die je heel goed ziet, omdat de lucht heel helder is en er licht is waardoor je alle details kunt zien. Voor ons zien de wiskundige objecten die we bestuderen er concreet uit, omdat we ze veel beter kennen dan wat dan ook.

Natuurlijk valt er veel te bewijzen, en als je iets begint te leren, kun je last krijgen van de abstractie. Maar als je een theorie gebruikt – omdat je de stellingen begrijpt – voel je je in feite heel dicht bij de objecten in kwestie, ook al zijn ze abstract. Door over de objecten te leren, ze te manipuleren en ze in wiskundige argumenten te gebruiken, worden ze uiteindelijk je vriend.

En vereist dit ook dat je ze vanuit verschillende gezichtspunten bekijkt?

Oorspronkelijk heb ik geen algebraïsche meetkunde gestudeerd. Ik heb gewerkt in complexe analytische en differentiële meetkunde. Bij analytische meetkunde bestudeer je een veel grotere klasse van functies en de vormen die lokaal door die functies worden gedefinieerd. Ze hebben meestal geen globale vergelijking, in tegenstelling tot de algebraïsche meetkunde.

Aanvankelijk besteedde ik niet veel aandacht aan het algebraïsche gezichtspunt. Maar hoe ouder ik word en hoe meer ik op dit gebied werk, hoe meer ik de noodzaak zie van het hebben van deze twee verschillende talen.

Er is een ongelooflijke stelling, genaamd GAGA, wat een beetje een grap is; het betekent ‘seniel’ in het Frans, maar het staat ook voor meetkunde algebrique en meetkundige analyse. Er staat dat je van de ene taal naar de andere kunt overgaan. Je kunt een berekening maken in complexe analytische meetkunde als dat gemakkelijker is, en dan terugkeren naar de algebraïsche meetkunde.

Andere keren geeft algebraïsche meetkunde je de mogelijkheid om een ​​andere versie van een probleem te bestuderen die buitengewone resultaten kan opleveren. Ik heb gewerkt aan het begrijpen van de algebraïsche meetkunde als geheel, in plaats van me alleen te concentreren op de complexe geometrische kant ervan.

Het is interessant dat je dit beschouwt als verschillende wiskundige talen.

Taal is essentieel. Vóór wiskunde is er taal. Er zit al veel logica in de taal. We hebben al deze logische regels in de wiskunde: kwantoren, negaties, haakjes om de juiste volgorde van bewerkingen aan te geven. Maar het is belangrijk om te beseffen dat al deze regels die van vitaal belang zijn voor wiskundigen al in onze dagelijkse taal voorkomen.

Je zou een wiskundige stelling kunnen vergelijken met een gedicht. Het is in woorden geschreven. Het is een product van taal. We hebben onze wiskundige objecten alleen omdat we taal gebruiken, omdat we alledaagse woorden gebruiken en er een specifieke betekenis aan geven. Je kunt poëzie en wiskunde dus met elkaar vergelijken, in die zin dat ze allebei volledig afhankelijk zijn van de taal, maar toch iets nieuws creëren.

Je werd aangetrokken tot wiskunde vanwege Grothendiecks revolutie in de algebraïsche meetkunde. Hij creëerde in wezen een nieuwe taal voor dit soort wiskunde.

Rechts.

Zijn er manieren waarop de wiskundige taal die u nu gebruikt mogelijk nog moet veranderen?

Wiskundigen herwerken voortdurend hun taal. Dat is jammer, want het maakt oudere kranten behoorlijk moeilijk leesbaar. Maar we herwerken de wiskunde uit het verleden omdat we die beter begrijpen. Het geeft ons een betere manier om stellingen te schrijven en te bewijzen. Dit was het geval bij Grothendieck, met zijn toepassing van schoofcohomologie op de meetkunde. Het is echt spectaculair.

Het is belangrijk om vertrouwd te raken met het object dat je bestudeert, zodat het voor jou bijna een moedertaal is. Wanneer een theorie zich begint te vormen, kost het tijd om de juiste definities te vinden en alles te vereenvoudigen. Of misschien is het nog steeds erg ingewikkeld, maar raken we veel vertrouwder met de definities en objecten; het wordt natuurlijker om ze te gebruiken.

Het is een voortdurende evolutie. We moeten voortdurend herschrijven en vereenvoudigen, theoretiseren over wat belangrijk is, over welke hulpmiddelen we beschikbaar moeten stellen.

Heeft u in uw werk nieuwe definities moeten introduceren?

Soms. In werk dat ik deed Met János Kollárwas er een keerpunt waarop we eindelijk de juiste kijk op het probleem konden vinden – via een bepaalde definitie. Dit was een heel klassiek probleem en we werkten met klassieke hulpmiddelen, maar ons bewijs was eigenlijk gebaseerd op deze definitie die we hadden opgesteld.

In een ander geval Olivier Debarre, Daniël Huybrechts, Emanuele Macri en ik bleek aardig te zijn classificatie resultaat over objecten die hyper-Kähler-spruitstukken worden genoemd. En het uitgangspunt voor dat bewijs was de introductie van een invariant, die we heel oorspronkelijk ‘a."[lacht.]

Je onderschat misschien het belang van definities in de wiskunde, maar dat moet je niet doen.

Definities en taal zijn niet de enige leidende krachten in de wiskunde. Dat geldt ook voor vermoedens, die wel of niet waar kunnen zijn. Je hebt bijvoorbeeld veel werk verricht aan het vermoeden van Hodge, een Clay-millenniumprobleem waarvan de oplossing gepaard gaat met een $ 1 miljoen beloning.

Stel dat u een algebraïsche variant heeft die u wilt begrijpen. Dus je gaat naar de kant van de complex-analytische geometrie en beschouwt het in plaats daarvan als een zogenaamde complexe variëteit. Je kunt aan een complex verdeelstuk denken in termen van zijn globale vorm of topologie. Er is een object, homologie genaamd, dat je veel topologische informatie over het verdeelstuk geeft. Maar het is niet zo eenvoudig te definiëren.

Beschouw nu algebraïsche subvariëteiten binnen uw oorspronkelijke variëteit. Elk daarvan zal een topologische invariant hebben, bepaalde topologische informatie die eraan is gekoppeld. Welk deel van de homologie van de complexe variëteit kan worden verkregen door naar deze topologische invarianten te kijken?

Het vermoeden van Hodge geeft een specifiek antwoord. En het antwoord is heel subtiel.

Wiskundigen weten dus niet zeker of het vermoeden van Hodge uiteindelijk waar of onwaar zal zijn?

Je wilt in het vermoeden van Hodge geloven, omdat het zo'n leidraad is voor de belangrijkste theorieën in de algebraïsche meetkunde.

Je wilt heel graag de belangrijkste eigenschappen van een algebraïsche variëteit begrijpen. En als het vermoeden van Hodge waar is, zou dat je ongelooflijke controle geven over de geometrie van je variëteit. Je krijgt heel belangrijke informatie over de structuur van variëteiten.

Er zijn enkele sterke redenen om erin te geloven. Er zijn bijzondere gevallen van het vermoeden van Hodge bekend. En er zijn veel diepgaande uitspraken over algebraïsche varianten die erop wijzen dat het vermoeden van Hodge waar is.

Maar er is vrijwel geen vooruitgang geboekt bij het bewijzen hiervan. Ik heb ook bewezen dat er geen manier is om het vermoeden van Hodge uit te breiden naar een andere omgeving waarin het natuurlijk lijkt. Dus dat was even een schok.

Heb je, na tientallen jaren als wiskundige te hebben gewerkt, het gevoel dat je nu nog dieper met wiskunde bezig bent?

Nu ik ouder ben, heb ik veel meer tijd om mijn energie aan wiskunde te besteden, om daar echt aanwezig te zijn. Ik kan ook beter hier en daar heen gaan. In het verleden was ik, misschien omdat ik minder tijd had, minder mobiel – al is het ook niet goed om te mobiel te zijn en problemen alleen maar aan te pakken zonder eraan vast te houden. Nu heb ik meer ervaring en kan ik mijn eigen foto samenstellen.

Je hebt een veel beter beeld van wat je niet weet, van openstaande problemen. U heeft een gedetailleerd zicht op uw perceel en de grenzen ervan. Er moeten een aantal goede aspecten zitten aan ouder worden. En er is nog zoveel te doen.