Stel je voor dat een raster van zeshoeken, honingraatachtig, zich voor je uitstrekt. Sommige zeshoeken zijn leeg; andere zijn gevuld door een 6 meter hoge kolom van massief beton. Het resultaat is een soort doolhof. Al meer dan een halve eeuw stellen wiskundigen vragen over zulke willekeurig gegenereerde doolhoven. Hoe groot is het grootste web van vrijgemaakte paden? Hoe groot is de kans dat er een pad is van de ene rand naar het midden van het raster en weer terug naar buiten? Hoe veranderen die kansen naarmate het raster groter wordt en steeds meer zeshoeken aan de randen worden toegevoegd?

Deze vragen zijn eenvoudig te beantwoorden als er veel lege ruimte of veel beton is. Stel dat aan elke zeshoek zijn toestand willekeurig wordt toegewezen, onafhankelijk van alle andere zeshoeken, met een waarschijnlijkheid die constant is over het hele raster. Er kan bijvoorbeeld een kans van 1% zijn dat elke zeshoek leeg is. Beton vult het raster, waardoor er slechts kleine luchtbellen tussen zitten, waardoor de kans op het vinden van een pad naar de rand feitelijk nul is. Aan de andere kant, als er een kans van 99% is dat elke zeshoek leeg is, is er slechts een dun laagje betonnen muren, die delen van de open ruimte accentueren – niet echt een doolhof. Het vinden van een pad van het midden naar de rand is in dit geval vrijwel zeker.

Voor grote netwerken is er een opmerkelijk plotselinge verandering wanneer de waarschijnlijkheid 1/2 bedraagt. Net zoals ijs bij precies nul graden Celsius smelt in vloeibaar water, verandert het karakter van het doolhof drastisch op dit overgangspunt, dat de kritische waarschijnlijkheid wordt genoemd. Beneden de kritische waarschijnlijkheid zal het grootste deel van het raster onder beton liggen, terwijl lege paden steevast doodlopen. Boven de kritieke waarschijnlijkheid blijven enorme gebieden leeg, en het zijn de betonnen muren die zeker zullen verdwijnen. Als je precies bij de kritische waarschijnlijkheid stopt, zullen beton en leegte elkaar in evenwicht brengen, en geen van beide kan het doolhof domineren.

“Op het kritieke punt ontstaat er een hogere mate van symmetrie”, zegt hij Michaël Aizenman, een wiskundig natuurkundige aan de Universiteit van Princeton. “Dat opent de deur naar een enorme hoeveelheid wiskunde.” Het heeft ook praktische toepassingen voor alles, van het ontwerp van gasmaskers tot analyses van hoe infectieziekten zich verspreiden of hoe olie door rotsen sijpelt.

In een papier geplaatst afgelopen najaarhebben vier onderzoekers eindelijk de kans berekend om een ​​pad voor doolhoven te vinden met de kritische waarschijnlijkheid van 1/2.

Een wapenwedloop

Als promovendus in Frankrijk, halverwege de jaren 2000, Pierre Nolin heeft het kritische waarschijnlijkheidsscenario gedetailleerd bestudeerd. Het willekeurige doolhof, denkt hij, is “een heel mooi model, misschien wel een van de eenvoudigste modellen die je kunt bedenken.” Tegen het einde van zijn doctoraatsstudie, die hij in 2008 afrondde, raakte Nolin gefascineerd door een bijzonder uitdagende vraag over hoe een hexagonaal raster zich bij de kritische waarschijnlijkheid gedraagt. Stel dat je een raster rond een centraal punt bouwt, zodat het een cirkel benadert, en van daaruit willekeurig je doolhof bouwt. Nolin wilde de kans onderzoeken dat je een open pad kunt vinden dat van de rand naar het midden reikt en weer terug naar buiten, zonder zichzelf terug te keren. Wiskundigen noemen dit een monochromatisch tweearmig pad, omdat zowel de binnenwaartse als de buitenwaartse ‘armen’ zich op open paden bevinden. (Soms wordt gedacht dat dergelijke rasters uit twee verschillende kleuren bestaan, bijvoorbeeld lichtblauw en donkerblauw, in plaats van uit open en gesloten cellen.) Als je de grootte van het doolhof vergroot, zal de lengte van het benodigde pad ook toenemen. , en de kans om zo’n pad te vinden zal steeds kleiner worden. Maar hoe snel nemen de kansen af ​​als het doolhof willekeurig groot wordt?

Eenvoudiger gerelateerde vragen werden decennia geleden beantwoord. Berekeningen uit 1979 door Marcel den Nijs schatte de kans in dat je één pad, of arm, van de rand naar het midden kunt vinden. (Vergelijk dit met de eis van Nolin dat er één arm naar binnen en één arm naar buiten moet zijn.) Het werk van Den Nijs voorspelde dat de kans om één arm in een zeshoekig raster te vinden evenredig is met $latex 1/n^{5/48}$ , waar n is het aantal tegels vanaf het midden tot de rand, of de straal van het raster. In 2002, Gregorius Lawler, Oded Schramm en Wendelin Werner Tenslotte bewezen dat de eenarmige voorspelling juist was. Om de afnemende waarschijnlijkheid bondig te kwantificeren naarmate de omvang van het raster groter wordt, gebruiken onderzoekers de exponent van de noemer, 5/48, die bekend staat als de eenarmige exponent.

Nolin wilde de meer ongrijpbare monochromatische tweearmige exponent berekenen. Numerieke simulaties in 1999 toonde aan dat het heel dicht bij 0.3568 lag, maar wiskundigen slaagden er niet in de exacte waarde ervan vast te stellen.

Het was veel gemakkelijker om de zogenaamde polychromatische tweearmige exponent te berekenen, die de kans karakteriseert dat je, beginnend in het midden, niet alleen een 'open' pad naar de omtrek kunt vinden, maar ook een afzonderlijk 'gesloten' pad. (Denk aan het gesloten pad als een pad dat door de toppen van de betonnen muren van het doolhof loopt.) In 2001 hebben Stanislav Smirnov en Werner bewezen dat deze exponent 1/4 was. (Omdat 1/4 substantieel groter is dan 5/48, krimpt $latex 1/n^{1/4}$ sneller dan $latex 1/n^{5/48}$ als n groeit. De kans op een polychromatische tweearmige structuur is dus een stuk kleiner dan de kans op één arm, zoals je zou verwachten.)

Die berekening leunde zwaar op kennis over de vorm van clusters in de grafiek. Stel je voor dat een doolhof met de kritische waarschijnlijkheid extreem groot is – bestaande uit miljoenen en miljoenen zeshoeken. Zoek nu een cluster lege zeshoeken en traceer de rand van het cluster met een dikke zwarte Sharpie. Dit zal waarschijnlijk niet resulteren in een eenvoudige, ronde klodder. Vanaf kilometers hoogte zie je een kronkelende curve die voortdurend terugdraait, vaak lijkt het alsof hij op het punt staat zichzelf te kruisen, maar nooit helemaal vast te leggen.

Dit is een soort curve die een SLE-curve wordt genoemd, geïntroduceerd door Schramm in a 2000 papier die het vakgebied opnieuw definieerde. Een wiskundige die de kansen bestudeert om één open pad en één gesloten pad te vinden, weet dat die paden zich binnen grotere clusters van open en gesloten locaties moeten bevinden, die uiteindelijk samenkomen langs een SLE-curve. De wiskundige eigenschappen van SLE-curven vertalen zich vervolgens in waardevolle informatie over paden binnen het doolhof. Maar als wiskundigen naar meerdere paden van hetzelfde type zoeken, verliezen SLE-curven veel van hun effectiviteit.

In 2007 hadden Nolin en zijn medewerker Vincent Beffara numerieke simulaties gemaakt die aantoonden dat de monochromatische tweearmige exponent ongeveer 0.35 was. Dit lag verdacht dicht bij 17/48 – de som van de eenarmige exponent, 5/48, en de polychromatische tweearmige exponent, 1/4 (of 12/48). “17/48 is echt opvallend”, zei Nolin. Hij begon te vermoeden dat 17/48 het ware antwoord was – wat betekende dat er een eenvoudig verband bestond tussen de verschillende soorten exponenten. Je zou ze gewoon bij elkaar kunnen voegen. “We zeiden: oké, het is te mooi om vals te zijn; het moet waar zijn.”

Een tijdlang kwam er niets terecht van het vermoeden van Nolin en Beffara, hoewel Nolin het op zijn website plaatste zodat anderen er mee konden werken. Hij verhuisde in 2017 naar Hong Kong om een ​​hoogleraarschap te aanvaarden aan de City University van Hong Kong, en bleef aan het probleem werken. In 2018 bracht hij de exponent ter sprake in gesprek met Wei Qian, die toen postdoc was aan de Universiteit van Cambridge in Engeland. Qian bestudeerde willekeurige geometrie in de continue in plaats van discrete context, met een speciale focus op SLE-curven. Ze zat midden in een project waarbij SLE werd gebruikt om exponenten te berekenen in een ander type willekeurig model, en Nolin begon te vermoeden dat haar expertise ook relevant was voor de monochromatische tweearmige exponent. Het tweetal vond al snel een eenvoudig ogende vergelijking waarvan de oplossing de exponent zou opleveren, maar die vergelijking was gebaseerd op een tussenliggende grootheid die te maken had met de ruimte omsloten door een SLE-curve aan de rand van het raster. Nolin en Qian konden dat nummer niet achterhalen.

"Ik heb veel berekeningen gedaan, maar ik kon deze eigenschap nog steeds niet berekenen", zei Qian. “Het lukte niet, dus ik ben er maar een tijdje mee gestopt.”

“We hebben het nooit aan iemand verteld, omdat we niet zeker wisten of het nuttig zou zijn of niet”, voegde Nolin eraan toe.

De ruggengraat-exponent

De monochromatische exponent met twee armen is bijzonder interessant omdat deze ook de ‘ruggengraat’ van een raster beschrijft: de verzameling zeshoeken die zijn verbonden met twee afzonderlijke armen die zich uitstrekken tot twee niet-overlappende armen: één naar de rand van het doolhof en één naar zijn centrum. Wanneer deze sites zijn ingekleurd, vormen ze een web dat het hele raster omvat en de ruggengraat wordt genoemd. Wanneer onderzoekers de verspreiding van ziekten of poreuze rotsformaties modelleren, is de ruggengraat een snelweg waarlangs microben of olie kunnen stromen. De exponent die Nolin en Qian zochten, onthult de grootte van de ruggengraat en wordt de ruggengraat-exponent genoemd.

Nolin en Qian waren niet de enigen die op zoek waren naar de ruggengraat. Xin zon, destijds aan de Universiteit van Pennsylvania, had ook geprobeerd de ruggengraat-exponent te berekenen. In de voorgaande jaren hadden Sun en medewerkers, waaronder Nina Holden van de New York University, een manier bedacht om SLE-curven te bestuderen met behulp van willekeurige fractale oppervlakken. Deze uitgestrekte, gebogen oppervlakken hebben geschulpte randen die zich uitstrekken tot lange ranken. Sommige punten zijn slechts een korte rit verwijderd van hun buren, terwijl andere een reis van maanden duren. Op bepaalde plaatsen zijn deze effecten te extreem om te visualiseren. “Het is eigenlijk niet mogelijk om het helemaal nauwkeurig te tekenen”, zei Holden. "Je zou het oppervlak een beetje moeten uitrekken."

In de zomer van 2022 schakelde Sun Zijie Zhuang, een tweedejaars student, in om met de kritieke waarschijnlijkheid mee te doen aan het onderzoek naar het willekeurige doolhof. Ze beschouwden willekeurige doolhoven waarbij de zeshoeken op een willekeurig fractaal oppervlak lagen, in plaats van op een plat vlak. Omdat het toeval bepaalt waar en hoeveel het oppervlak wordt uitgerekt en samengedrukt, heeft het oppervlak unieke eigenschappen. (Deze eigenschappen maken dergelijke oppervlakken ook nuttig voor natuurkundigen die modellen van kwantumzwaartekracht in een tweedimensionaal universum bestuderen, waardoor ze hun naam krijgen: Liouville kwantumzwaartekrachtoppervlakken.) Als je bijvoorbeeld een schaar naar zo’n oppervlak brengt, veranderen de vormen van de oppervlakken. twee helften zijn niet van elkaar afhankelijk. “Dat soort onafhankelijkheid vereenvoudigt de zaken enorm”, zegt hij Scott Sheffield van het Massachusetts Institute of Technology. Als dingen willekeurig zijn, weet je er minder van, maar dat kan betekenen dat je minder informatie hoeft te verwerken.

Sun en Zhuang probeerden eerst de waarschijnlijkheid te bepalen dat er een open pad was dat een kleine cirkel rond het midden van het raster verbond met een grotere, omringende cirkel. Nadat ze die vraag hadden beantwoord, stelde Sun een stap hoger in ambitie voor: het berekenen van de kans dat er twee paden waren die de geneste cirkels met elkaar verbonden, wat hen een manier zou hebben gegeven om de ruggengraat-exponent te berekenen. Al snel kwamen ze echter in de problemen. “We hebben deze aanpak een aantal maanden geprobeerd, maar de berekening lijkt niet erg hanteerbaar te zijn”, schreef Zhuang in een e-mail.

Hoewel Nolin en Qian er intussen niet in waren geslaagd de waarde van de exponent te vinden, boekten ze intussen op andere manieren vooruitgang. Qian nam verlof op van haar functie bij het Franse Nationale Centrum voor Wetenschappelijk Onderzoek en ging bij Nolin werken als professor aan de City University van Hong Kong. (Ze trouwden ook.) In de zomer van 2021 kwam ze een paar papieren van Sun en zijn medewerkers tegen die haar intrigeerden, dus toen de reisbeperkingen vanwege de pandemie werden opgeheven, plande ze in december 2022 een bezoek aan het Institute for Advanced Study in Princeton. , New Jersey, waar Sun het jaar doorbracht.

Het bleek een winstgevend bezoek. Terwijl Qian de vergelijking beschreef die zij en Nolin hadden gevonden, begon Sun te denken dat deze geschikt zou kunnen zijn voor de techniek van hem en Zhuang om de doolhoven op de kwantumzwaartekrachtoppervlakken van Liouville te overlappen. “Het is een beetje toeval,” zei Sun. “Eén man heeft een slot, één man heeft een sleutel.”

Zhuang was een beetje sceptisch. “We hebben geen voorspellingen en we weten niet eens of de formule een mooie oplossing zal bieden”, zei hij, terwijl hij de toenmalige stand van zaken beschreef. Sun en Zhuang gebruikten de daaropvolgende maanden hun kwantumzwaartekrachttechnieken uit Liouville – de sleutel – om de ongrijpbare grootheid in de vergelijking van Nolin en Qian van jaren eerder te ontsluiten: het slot.

Na vier maanden werken hadden Sun en Zhuang het metaforische slot geopend. Sun stuurde een e-mail naar Zhuang, Qian en Nolin, waarin hij verkondigde: “Geweldig nieuws: exacte formule voor backbone-exponent.” Het antwoord, zo ontdekte hij, was een redelijk gecompliceerde uitdrukking van vierkantswortels en de trigonometrische sinusfunctie. Het was in overeenstemming met de eerdere schattingen, een eindeloze stroom cijfers die begon met 0.3566668.

De vier veranderden hun werk in een geschreven artikel, waarbij ze het argument verfijnden totdat de ideeën van Nolin en Qian aan de ene kant, en Sun en Zhuang aan de andere kant, samen een bewijs creëerden dat Sheffield, de promovendus van Sun, ‘een prachtig voorbeeld van een wetenschappelijk onderzoek’ noemde. edelsteen." "De proof-strategie is absoluut verrassend en heel origineel, maar als je het ziet, voelt het ook iets natuurlijks aan," zei Holden.

Nolin betreurt zijn vermoeden uit 2011 dat de exponent precies 17/48 was. “We hebben het veld een hele tijd op het verkeerde been gezet. Ik ben er niet erg trots op.” De ruggengraat-exponent verschilt opvallend van zijn polychromatische neven. Het is niet alleen irrationeel, maar het is ook transcendentaal, wat betekent dat net als $latex pi$ en e, kan het niet worden geschreven als de oplossing van een eenvoudige polynoomvergelijking.

"Het bewijs verklaart niet echt waar deze formule vandaan komt", zei hij. "We hebben het aan natuurkundigen laten zien en we kijken erg uit naar hun inzicht."

De transcendentale aard van de ruggengraat-exponent trok de aandacht van anderen in het veld. Gregory Huber van de Chan Zuckerberg Biohub, die co-auteur was van een vervolg artikel over de ruggengraat-exponent, zei dat hij denkt dat het resultaat de “eerste glimp van een nieuw continent” in de statistische mechanica is. Hoewel het combineren van SLE-curven en de kwantumzwaartekracht van Liouville uiterst technisch is, is het duidelijke en eenvoudige numerieke antwoord dat naar voren kwam, zo schreef hij, ‘verbazingwekkend eenvoudig en elegant’.