Er zijn drie soorten priemgetallen. De eerste is een eenzame uitbijter: 2, het enige even priemgetal. Daarna laat de helft van de priemgetallen een rest van 1 achter als ze door 4 worden gedeeld. De andere helft laat een rest van 3 achter. (5 en 13 vallen in het eerste kamp, ​​7 en 11 in het tweede). Er is geen duidelijke reden voor die rest. -1 priemgetallen en rest-3 priemgetallen zouden zich op fundamenteel verschillende manieren moeten gedragen. Maar dat doen ze wel.

Eén belangrijk verschil komt voort uit een eigenschap die kwadratische wederkerigheid wordt genoemd en die voor het eerst werd bewezen door Carl Gauss, misschien wel de meest invloedrijke wiskundige van de 19e eeuw. "Het is een vrij eenvoudige uitspraak die overal toepasbaar is, in allerlei soorten wiskunde, niet alleen in de getaltheorie", zegt hij James Rickards, een wiskundige aan de Universiteit van Colorado, Boulder. “Maar het is ook niet voor de hand liggend genoeg om echt interessant te zijn.”

Getaltheorie is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met hele getallen (in tegenstelling tot bijvoorbeeld vormen of continue hoeveelheden). De priemgetallen – die alleen deelbaar zijn door 1 en zichzelf – vormen de kern, net zoals DNA de kern is van de biologie. Kwadratische wederkerigheid heeft de opvatting van wiskundigen veranderd over hoeveel er over hen te bewijzen valt. Als je priemgetallen als een bergketen beschouwt, is wederkerigheid als een smal pad waardoor wiskundigen naar voorheen onbereikbare toppen kunnen klimmen en vanaf die toppen waarheden kunnen zien die verborgen waren gebleven.

Hoewel het een oud theorema is, heeft het nog steeds nieuwe toepassingen. Deze zomer Rickards en zijn collega Katherine Stang, samen met twee studenten, weerlegde een algemeen aanvaard vermoeden over hoe kleine cirkels in een grotere kunnen worden verpakt. Het resultaat schokte wiskundigen. Peter Sarnak, een getaltheoreticus aan het Institute for Advanced Study en Princeton University, sprak met Stange op een conferentie kort nadat haar team geplaatst hun papier. ‘Ze vertelde me dat ze een tegenvoorbeeld heeft’, herinnert Sarnak zich. “Ik vroeg haar meteen: 'Gebruik je ergens wederkerigheid?' En dat was inderdaad wat ze gebruikte. ''

Patronen in paren van priemgetallen

Om wederkerigheid te begrijpen, moet je eerst modulaire rekenkunde begrijpen. Modulaire bewerkingen zijn afhankelijk van het berekenen van resten wanneer u deelt door een getal dat de modulus wordt genoemd. 9 modulo 7 is bijvoorbeeld 2, want als je 9 door 7 deelt, houd je een rest van 2 over. In het modulo 7-getalsysteem zijn er 7 getallen: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Je kunt deze getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

Net als bij de gehele getallen kunnen deze getallenstelsels perfecte kwadraten hebben: getallen die het product zijn van een ander getal maal zichzelf. 0, 1, 2 en 4 zijn bijvoorbeeld de perfecte vierkanten modulo 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 en 3 × 3 = 2 mod 7). Elk gewoon vierkant zal gelijk zijn aan 0, 1, 2 of 4 modulo 7. (Bijvoorbeeld 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Omdat modulaire getalsystemen eindig zijn, komen perfecte vierkanten vaker voor.

Kwadratische wederkerigheid komt voort uit een relatief eenvoudige vraag. Gegeven twee priemgetallen p en q, als je dat weet p is een perfecte vierkante modulo q, kunt u zeggen of dat wel of niet het geval is q is een perfecte vierkante modulo p?

Het blijkt dat zolang beide p or q laat een rest van 1 over wanneer gedeeld door 4, als p is een perfecte vierkante modulo qdan q is ook een perfecte vierkante modulo p. Er wordt gezegd dat de twee priemgetallen wederkerig zijn.

Aan de andere kant, als ze allebei een rest van 3 achterlaten (zoals bijvoorbeeld 7 en 11), dan reageren ze niet: als p is een kwadratische modulo q, dat betekent dat q zal geen kwadratische modulo zijn p. In dit voorbeeld is 11 een vierkant modulo 7, aangezien 11 = 4 mod 7 en we weten al dat 4 een van de perfecte vierkanten is modulo 7. Hieruit volgt dat 7 geen vierkant modulo 11 is. Als je de lijst met gewone vierkanten (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) en kijk naar hun resten modulo 11, dan zal 7 nooit verschijnen.

Dit is, om een ​​technische term te gebruiken, echt raar!

De kracht van generalisatie

Zoals veel wiskundige ideeën is wederkerigheid van invloed geweest omdat deze kan worden gegeneraliseerd.

Kort nadat Gauss in 1801 het eerste bewijs van kwadratische wederkerigheid publiceerde, probeerden wiskundigen het idee verder uit te breiden dan alleen vierkanten. “Waarom geen derde macht of vierde macht? Ze dachten dat er misschien een kubieke wederkerigheidswet of een kwartaire wederkerigheidswet bestond”, zei hij Keith Conrad, een getaltheoreticus aan de Universiteit van Connecticut.

Maar ze kwamen vast te zitten, zei Conrad, ‘omdat er geen eenvoudig patroon bestaat.’ Dit veranderde toen Gauss wederkerigheid introduceerde in het rijk van complexe getallen, die de vierkantswortel van min 1 optellen, weergegeven door i, naar gewone getallen. Hij introduceerde het idee dat getaltheoretici niet alleen gewone gehele getallen konden analyseren, maar ook andere wiskundige systemen die op gehele getallen lijken, zoals de zogenaamde Gaussiaanse gehele getallen, dit zijn complexe getallen waarvan de reële en imaginaire delen beide gehele getallen zijn.

Met Gaussiaanse gehele getallen veranderde het hele idee van wat als priemgetal geldt. 5 is bijvoorbeeld niet langer een priemgetal, omdat 5 = (2 + i) × (2 − i). 'Je moet opnieuw beginnen alsof je weer op de basisschool zit,' zei Conrad. In 1832 bewees Gauss een kwartaire wederkerigheidswet voor de complexe gehele getallen die zijn naam dragen.

Plotseling leerden wiskundigen hulpmiddelen zoals modulaire rekenkunde en factorisatie toe te passen op deze nieuwe getalsystemen. Kwadratische wederkerigheid was volgens Conrad de inspiratiebron.

Patronen die zonder complexe getallen ongrijpbaar waren geweest, begonnen nu naar voren te komen. Tegen het midden van de jaren veertig van de negentiende eeuw hadden Gotthold Eisenstein en Carl Jacobi de eerste kubieke wederkerigheidswetten bewezen.

Vervolgens ontdekte Emil Artin, een van de grondleggers van de moderne algebra, in de jaren twintig wat Conrad de ‘ultieme wederkerigheidswet’ noemt. Alle andere wederkerigheidswetten kunnen worden gezien als speciale gevallen van Artins wederkerigheidswet.

Een eeuw later bedenken wiskundigen nog steeds nieuwe bewijzen voor de eerste kwadratische wederkerigheidswet van Gauss en generaliseren deze naar nieuwe wiskundige contexten. Het kan nuttig zijn om veel verschillende bewijzen te hebben. "Als je het resultaat wilt uitbreiden naar een nieuwe setting, zal een van de argumenten misschien gemakkelijk worden overgedragen, terwijl de andere dat niet doen", zei Conrad.

Waarom wederkerigheid zo nuttig is

Kwadratische wederkerigheid wordt gebruikt in onderzoeksgebieden die zo divers zijn als grafentheorie, algebraïsche topologie en cryptografie. In dit laatste geval werd een invloedrijk encryptie-algoritme voor openbare sleutels ontwikkeld in 1982 door Shafi Goldwasser en Silvio Micali hangt af van het vermenigvuldigen van twee grote priemgetallen p en q samen en het resultaat weergeven, N, samen met een nummer, x, wat geen vierkante modulo is N. Het algoritme gebruikt N en x om digitale berichten te coderen in reeksen van grotere getallen. De enige manier om deze string te decoderen is door te beslissen of elk getal in de gecodeerde string al dan niet een kwadraat modulo is N – vrijwel onmogelijk zonder de waarden van de priemgetallen te kennen p en q.

En natuurlijk duikt kwadratische wederkerigheid herhaaldelijk op in de getaltheorie. Het kan bijvoorbeeld worden gebruikt om te bewijzen dat elk priemgetal gelijk aan 1 modulo 4 kan worden geschreven als de som van twee kwadraten (13 is bijvoorbeeld gelijk aan 1 modulo 4, en 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). Priemgetallen gelijk aan 3 modulo 4 kunnen daarentegen nooit worden geschreven als de som van twee kwadraten.

Sarnak merkte op dat wederkerigheid kan worden gebruikt om open vragen op te lossen, zoals uitzoeken welke getallen kunnen worden geschreven als de som van drie derde machten. Het is bekend dat getallen die gelijk zijn aan 4 of 5 modulo 9 niet gelijk zijn aan de som van drie kubussen, maar andere blijven een mysterie. (In 2019, Andrew Booker gegenereerde koppen toen hij ontdekte dat (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

Ondanks al zijn vele toepassingen en vele verschillende bewijzen, is er iets met wederkerigheid dat een mysterie blijft, zei Stange.

“Wat vaak gebeurt bij een wiskundig bewijs is dat je elke stap kunt volgen; Je kunt geloven dat het waar is,' zei ze. "En je kunt nog steeds aan de andere kant naar buiten komen met het gevoel: 'Maar waarom?'"

Begrijpen, op een diepgeworteld niveau, wat 7 en 11 anders maakt dan 5 en 13, kan voor altijd buiten bereik zijn. ‘We kunnen maar met zoveel abstractieniveaus jongleren’, zei ze. "Het komt overal voor in de getaltheorie... en toch is het maar een stap verder dan wat je voelt alsof je het gewoon zou kunnen weten."

Quanta voert een reeks onderzoeken uit om ons publiek beter van dienst te zijn. Neem onze lezersonderzoek wiskunde en je doet mee om gratis te winnen Quanta koopwaar.