In de Disneyfilm uit 1959 Donald in Mathmagisch Land, Donald Duck, geïnspireerd door de beschrijvingen van de verteller van de geometrie van biljart, slaat energiek de speelbal, waardoor het rond de tafel afketst voordat het uiteindelijk de beoogde ballen raakt. Donald vraagt: “Wat vind je ervan voor wiskunde?”

Omdat rechthoekige biljarttafels vier wanden hebben die in een rechte hoek samenkomen, zijn biljartbanen zoals die van Donald voorspelbaar en goed te begrijpen – ook al zijn ze in de praktijk moeilijk uit te voeren. Onderzoekswiskundigen kunnen echter nog steeds geen fundamentele vragen beantwoorden over de mogelijke trajecten van biljartballen op tafels in de vorm van andere polygonen (vormen met platte zijden). Zelfs driehoeken, de eenvoudigste polygonen, herbergen nog steeds mysteries.

Is het altijd mogelijk om een ​​bal zo te raken dat deze in dezelfde richting terugkeert naar het startpunt, waardoor een zogenaamde periodieke baan ontstaat? Niemand weet het. Voor andere, meer gecompliceerde vormen is het onbekend of het mogelijk is om de bal vanaf een willekeurig punt op de tafel naar een ander punt op de tafel te slaan.

Hoewel deze vragen goed lijken te passen binnen de grenzen van de meetkunde zoals die op de middelbare school wordt onderwezen, hebben pogingen om ze op te lossen een aantal van 's werelds meest vooraanstaande wiskundigen nodig gehad om ideeën uit uiteenlopende vakgebieden in te brengen, waaronder dynamische systemen, topologie en differentiële meetkunde. Zoals bij elk groot wiskundig probleem heeft het werk aan deze problemen nieuwe wiskunde gecreëerd en bijgedragen aan de kennis op die andere terreinen. Maar ondanks al deze inspanningen en het inzicht dat moderne computers met zich meebrengen, weerstaan ​​deze ogenschijnlijk eenvoudige problemen koppig een oplossing.

Dit is wat wiskundigen over biljart hebben geleerd sinds het episch verwarde schot van Donald Duck.

Ze gaan er doorgaans van uit dat hun biljartbal een oneindig klein, dimensieloos punt is en dat hij met perfecte symmetrie tegen de muren stuitert en onder dezelfde hoek vertrekt als hij aankomt, zoals hieronder te zien is.

Zonder wrijving reist de bal voor onbepaalde tijd, tenzij hij een hoek bereikt, waardoor de bal als een pocket wordt gestopt. De reden dat biljart zo moeilijk wiskundig te analyseren is, is dat twee vrijwel identieke schoten die aan weerszijden van een hoek landen, enorm uiteenlopende trajecten kunnen hebben.

Een belangrijke methode voor het analyseren van veelhoekig biljart is niet te denken dat de bal van de rand van de tafel stuitert, maar in plaats daarvan je voor te stellen dat elke keer dat de bal een muur raakt, hij naar een nieuwe kopie van de tafel blijft reizen die over de rand wordt omgedraaid. rand, waardoor een spiegelbeeld ontstaat. Dit proces (hieronder te zien), het ontvouwen van het biljartpad genoemd, zorgt ervoor dat de bal in een rechte lijn verder kan gaan. Door de denkbeeldige tafels terug op hun buren te vouwen, kun je het werkelijke traject van de bal achterhalen. Deze wiskundige truc maakt het mogelijk om dingen over het traject te bewijzen die anders moeilijk te zien zouden zijn.

Het kan bijvoorbeeld worden gebruikt om te laten zien waarom eenvoudige rechthoekige tabellen oneindig veel periodieke trajecten door elk punt hebben. Een soortgelijk argument geldt voor elke rechthoek, maar stel je voor de concreetheid een tafel voor die twee keer zo breed als lang is.

Stel dat u een periodieke baan wilt vinden die de tafel doorkruist n keer in de lange richting en m keer in de korte richting. Omdat elk spiegelbeeld van de rechthoek overeenkomt met de bal die tegen een muur stuitert, moet de baan van de bal, om in dezelfde richting terug te keren naar het startpunt, de tafel een even aantal keren in beide richtingen kruisen. Dus m en n moet gelijk zijn. Leg een raster van identieke rechthoeken neer, elk gezien als een spiegelbeeld van zijn buren. Teken een lijnsegment van een punt op de originele tafel naar hetzelfde punt op een kopie n tafels weg in de lange richting en m tafels verderop in de korte richting. Pas het oorspronkelijke punt enigszins aan als het pad door een hoek gaat. Hier is een voorbeeld waarbij n = 2 en m = 6. Wanneer het pad weer omhoog wordt gevouwen, ontstaat er een periodiek traject, zoals weergegeven in de groene rechthoek.

Een driehoeksongelijkheid

Biljart in driehoeken, dat niet de mooie rechthoekige geometrie van rechthoeken heeft, is ingewikkelder. Zoals je je misschien herinnert uit de meetkunde op de middelbare school, zijn er verschillende soorten driehoeken: scherpe driehoeken, waarbij alle drie de interne hoeken minder dan 90 graden zijn; rechthoekige driehoeken, die een hoek van 90 graden hebben; en stompe driehoeken, die één hoek hebben die groter is dan 90 graden.

Biljarttafels in de vorm van scherpe en rechthoekige driehoeken hebben periodieke trajecten. Maar niemand weet of hetzelfde geldt voor stompe driehoeken.

Om een ​​periodiek traject in een scherpe driehoek te vinden, tekent u een loodrechte lijn van elk hoekpunt naar de tegenoverliggende zijde, zoals links hieronder te zien is. Verbind de punten waar de rechte hoeken voorkomen en vorm een ​​driehoek, zoals rechts te zien is.

Deze ingeschreven driehoek is een periodiek biljarttraject genaamd de Fagnano-baan, genoemd naar Giovanni Fagnano, die in 1775 aantoonde dat deze driehoek de kleinste omtrek heeft van alle ingeschreven driehoeken.

Begin jaren negentig begon Fred Holt aan de Universiteit van Washington en Gregorius Galperin en zijn medewerkers aan de Staatsuniversiteit van Moskou onafhankelijk vertoonde dat elke rechthoekige driehoek periodieke banen heeft. Een eenvoudige manier om dit te laten zien is door de driehoek om het ene been en vervolgens om het andere te spiegelen, zoals hieronder weergegeven.

Begin met een traject dat in een rechte hoek staat met de hypotenusa (de lange zijde van de driehoek). De hypotenusa en de tweede reflectie zijn evenwijdig, dus een loodrecht lijnsegment dat hen verbindt komt overeen met een traject dat voor altijd heen en weer zal stuiteren: de bal verlaat de hypotenusa in een rechte hoek, stuitert van beide benen af ​​en keert terug naar de hypotenusa aan de rechterkant. hoek, en volgt vervolgens zijn route.

Maar stompe driehoeken blijven een mysterie. In hun artikel uit 1992 bedachten Galperin en zijn medewerkers een verscheidenheid aan methoden om stompe driehoeken te reflecteren op een manier waarmee je periodieke banen kunt creëren, maar de methoden werkten alleen voor enkele speciale gevallen. Toen, in 2008, Richard Schwartz aan de Brown University toonde aan dat alle stompe driehoeken met hoeken van 100 graden of minder een periodiek traject bevatten. Zijn aanpak bestond erin het probleem op te splitsen in meerdere gevallen en elk geval te verifiëren met behulp van traditionele wiskunde en computerondersteuning. In 2018, Jacob Garber, Boyan Marinov, Kenneth Moore en George Tokarsky aan de Universiteit van Alberta deze drempel verlengd tot 112.3 graden. (Tokarski en Marinov meer dan een decennium had doorgebracht dit doel najagen.)

Een topologische wending

Er is een andere benadering gebruikt om aan te tonen dat als alle hoeken rationeel zijn - dat wil zeggen dat ze kunnen worden uitgedrukt als breuken - stompe driehoeken met nog grotere hoeken periodieke trajecten moeten hebben. In plaats van alleen maar een polygoon op een plat vlak te kopiëren, brengt deze aanpak kopieën van polygonen in kaart op topologische oppervlakken, donuts met een of meer gaten erin.

Als je een rechthoek over de korte zijde reflecteert, en dan beide rechthoeken over hun langste zijde reflecteert, vier versies van de oorspronkelijke rechthoek maakt, en dan de boven- en onderkant aan elkaar en de linker- en rechterzijde aan elkaar lijmt, dan heb je een donut gemaakt. of torus, zoals hieronder weergegeven. Biljartbanen op de tafel komen overeen met banen op de torus, en omgekeerd.

In een historisch artikel uit 1986, Howard Masur gebruikte deze techniek om aan te tonen dat alle veelhoekige tabellen met rationale hoeken periodieke banen hebben. Zijn aanpak werkte niet alleen voor stompe driehoeken, maar ook voor veel ingewikkelder vormen: onregelmatige honderdzijdige tafels, bijvoorbeeld, of polygonen waarvan de muren zigzaggend hoeken en gaten creëren, hebben periodieke banen, zolang de hoeken maar rationeel zijn.

Enigszins opmerkelijk impliceert het bestaan ​​van één periodieke baan in een veelhoek het bestaan ​​van oneindig veel; het verschuiven van het traject met slechts een klein beetje zal een familie van gerelateerde periodieke trajecten opleveren.

Het verlichtingsprobleem

Vormen met hoekjes en gaatjes roepen een verwante vraag op. In plaats van te vragen naar trajecten die terugkeren naar hun startpunt, vraagt ​​dit probleem zich af of trajecten elk punt op een bepaalde tafel kunnen bezoeken. Dit wordt het verlichtingsprobleem genoemd omdat we erover kunnen nadenken door ons een laserstraal voor te stellen die reflecteert op de spiegelwanden rond de biljarttafel. We vragen of je, gegeven twee punten op een bepaalde tafel, altijd een laser (geïdealiseerd als een oneindig dunne lichtstraal) van het ene punt naar het andere kunt laten schijnen. Anders gezegd: als we ergens op tafel een gloeilamp zouden plaatsen die in alle richtingen schijnt, zou die dan de hele kamer verlichten?

Er zijn twee hoofdlijnen van onderzoek naar het probleem geweest: het vinden van vormen die niet verlicht kunnen worden en het bewijzen dat grote klassen van vormen dat wel kunnen. Terwijl het vinden van vreemde vormen die niet kunnen worden verlicht, kan worden gedaan door een slimme toepassing van eenvoudige wiskunde, is het bewijs dat veel vormen wel kunnen worden verlicht alleen mogelijk door het gebruik van zware wiskundige machines.

In 1958, Roger Penrose, een wiskundige die later de 2020 Nobelprijs voor natuurkunde, vond een gebogen tafel waarin geen enkel punt in de ene regio geen enkel punt in een andere regio kon verlichten. Decennia lang kon niemand een polygoon bedenken die dezelfde eigenschap had. Maar in 1995 gebruikte Tokarsky een eenvoudig feit over driehoeken om een ​​blokachtige 26-hoek te creëren met twee punten die onderling ontoegankelijk zijn, zoals hieronder weergegeven. Dat wil zeggen dat een laserstraal die vanuit het ene punt wordt afgeschoten, ongeacht de richting, het andere punt niet kan raken.

Het belangrijkste idee dat Tokarsky gebruikte bij het bouwen van zijn speciale tafel was dat als een laserstraal begint in een van de scherpe hoeken van een driehoek van 45°-45°-90°, deze nooit naar die hoek kan terugkeren.

Zijn gekartelde tafel is gemaakt van 29 van dergelijke driehoeken, gerangschikt om slim gebruik te maken van dit feit. In 2019 Amit Wolecki, destijds een afgestudeerde student aan de Universiteit van Tel Aviv, paste dezelfde techniek toe een vorm produceren met 22 zijden (hieronder weergegeven), waarvan hij bewees dat dit het kleinst mogelijke aantal zijden was voor een vorm met twee binnenpunten die elkaar niet verlichten.

Het bewijzen van resultaten in de andere richting was een stuk moeilijker. In 2014 werd Maryam Mirzakhani, een wiskundige aan de Stanford University, de eerste vrouw die de Fields-medaille winnen, de meest prestigieuze onderscheiding voor wiskunde, voor haar werk aan de moduliruimten van Riemann-oppervlakken – een soort generalisatie van de donuts die Masur gebruikte om aan te tonen dat alle veelhoekige tabellen met rationale hoeken periodieke banen hebben. In 2016, Samuel Lelièvre van de Universiteit Parijs-Saclay, Thierry Monteil van het Franse Nationale Centrum voor Wetenschappelijk Onderzoek en Barak Weiss van de Universiteit van Tel Aviv paste een aantal resultaten van Mirzakhani toe tonen dat elk punt in een rationele veelhoek alle punten verlicht, behalve eindig veel. Er kunnen geïsoleerde donkere vlekken zijn (zoals in de voorbeelden van Tokarsky en Wolecki), maar geen donkere gebieden zoals in het voorbeeld van Penrose, dat gebogen muren heeft in plaats van rechte. In Wolecki's artikel uit 2019, versterkte hij dit resultaat door te bewijzen dat er slechts een eindig aantal paren niet-verlichtbare punten zijn.

helaas, Mirzakhani stierf in 2017 op 40-jarige leeftijd, na een strijd tegen kanker. Haar werk leek ver verwijderd van trickshots in poolhallen. En toch laat het analyseren van biljarttrajecten zien hoe zelfs de meest abstracte wiskunde verbinding kan maken met de wereld waarin we leven.