Verspreid drie punten in een vlak en meet vervolgens de afstanden tussen elk paar punten. Naar alle waarschijnlijkheid vind je drie verschillende afstanden. Maar als je de punten in een gelijkzijdige driehoek rangschikt, dan is elke afstand hetzelfde. In een vlak is dit onmogelijk met vier punten. Het kleinste aantal afstanden dat u kunt bedenken is 2: de randen en diagonalen van een vierkant.

Maar als je een van de punten uit het vlak tilt om een ​​piramide te creëren, waarvan elke zijde een gelijkzijdige driehoek is, krijg je een set van vier punten die gescheiden zijn door een enkele unieke afstand: de lengte van één zijde van de driehoek.

Als je veel punten hebt, worden deze patronen nog duidelijker. Honderd willekeurig verspreide punten in een vlak definiëren waarschijnlijk 4,950 verschillende paarsgewijze afstanden. Maar als u 100 punten in een plat, vierkant raster plaatst, wordt elk paar punten gescheiden door een van de slechts 50 mogelijke afstanden. Als u de punten opneemt in een driedimensionaal raster, kunt u dat aantal nog verder terugdringen.

Het beantwoorden van vragen over het aantal afstanden tussen punten klinkt misschien als een esoterische oefening. Maar in de decennialange zoektocht naar het oplossen van dergelijke problemen hebben wiskundigen hulpmiddelen ontwikkeld die een breed scala aan andere toepassingen hebben, van getaltheorie tot natuurkunde.

“Toen mensen probeerden het probleem op te lossen”, zei hij Pablo Schmerkin van de Universiteit van British Columbia, “begon ze verbanden te ontdekken die verrassend en onverwacht waren.”

De nieuwste ontwikkeling kwam eind vorig jaar, toen een samenwerking van vier wiskundigen plaatsvond bleek een nieuwe relatie tussen de geometrie van puntensets en de afstanden daartussen.

De lijst met verschillende afstanden die door een reeks punten worden bepaald, wordt de afstandsset genoemd; tel hoeveel getallen er in die lijst staan, en je krijgt de grootte van de afstandsset. In 1946 vermoedde de productieve wiskundige Paul Erdős dat voor grote aantallen punten de ingestelde afstand niet kleiner kan zijn dan wat je krijgt als je de punten in een raster rangschikt. Hoewel het probleem op het eerste gezicht eenvoudig leek, bleek het buitengewoon diep en moeilijk te zijn. Zelfs in twee dimensies is het nog steeds niet volledig bewezen, hoewel in 2010 twee wiskundigen dat deden zo dichtbij gekomen dat het nu als effectief afgehandeld wordt beschouwd; het blijft open in hogere dimensies.

Ondertussen formuleerden wiskundigen ook nieuwe versies van het vermoeden. Een van de belangrijkste hiervan ontstond in a 1985 papier by Kenneth Valkenier, een wiskundige aan de Universiteit van St. Andrews in Schotland. Falconer vroeg zich af wat er gezegd kon worden over de verschillende afstanden tussen een oneindig aantal punten.

Als je oneindig veel punten hebt, heeft simpelweg tellen niet meer zoveel zin. Maar wiskundigen hebben andere manieren om grootte te definiëren. Het vermoeden van Falconer poneert een verband tussen de geometrie van de reeks punten - gekenmerkt door een getal dat de fractale dimensie wordt genoemd - en de grootte van de afstandsset, gekenmerkt door een getal dat de maat wordt genoemd.

De fractale dimensie komt overeen met de gewone intuïtie over dimensies. Net als bij het meer bekende concept van dimensie heeft een lijnsegment een fractale dimensie van 1, terwijl een vierkant (waarvan de binnenkant is ingevuld) een fractale dimensie van 2 heeft. Maar als een verzameling punten een ingewikkelder fractaal patroon vormt – zoals een curve waarin microscopisch kleine wendingen en bochten blijven verschijnen, hoe ver je ook inzoomt – de fractale dimensie ervan is misschien geen geheel getal. De hieronder weergegeven Koch-sneeuwvlokcurve, die een eindeloze reeks steeds kleinere driehoekige bultjes heeft, heeft bijvoorbeeld een afmeting van ongeveer 1.26.

Over het algemeen heeft een oneindige verzameling punten een fractale dimensie die grofweg afhangt van hoe verspreid deze is. Als het over het vlak is verspreid, zal de fractale dimensie bijna 2 zijn. Als het meer op een lijn lijkt, zal de fractale dimensie dichtbij 1 zijn. Dezelfde soorten structuren kunnen worden gedefinieerd voor reeksen punten in de driedimensionale ruimte , of in nog hogere dimensies.

Aan de andere kant van het vermoeden van Falconer staat de maat voor de ingestelde afstand. Maat is een soort wiskundige generalisatie van het begrip lengte. Een enkel getal, dat kan worden weergegeven als een punt op een getallenlijn, heeft de maat nul. Maar zelfs oneindige verzamelingen kunnen een nulmaat hebben. De gehele getallen zijn bijvoorbeeld zo dun verspreid over de reële getallen dat ze geen collectieve ‘lengte’ hebben en dus een reeks maat nul vormen. Aan de andere kant hebben de reële getallen tussen bijvoorbeeld 3/4 en 1 maat 1/4, omdat dat is hoe lang het interval is.

De maatstaf biedt een manier om de grootte van de reeks verschillende afstanden tussen oneindig veel punten te karakteriseren. Als het aantal afstanden ‘klein’ is, betekent dit dat de ingestelde afstand maat nul heeft: er zijn veel dubbele afstanden. Als de afstandsset daarentegen een maat heeft die groter is dan nul, betekent dit dat er veel verschillende afstanden zijn.

In twee dimensies bewees Falconer dat elke reeks punten met een fractale dimensie groter dan 1.5 een afstand heeft die niet nul is. Maar wiskundigen kwamen al snel tot de conclusie dat dit gold voor alle verzamelingen met een fractale dimensie groter dan 1. “We proberen dit halve gat op te lossen”, zegt Yumeng Ou van de Universiteit van Pennsylvania, een van de co-auteurs van het nieuwe artikel. Bovendien strekt het vermoeden van Falconer zich uit tot drie of meer dimensies: voor punten verspreid in a d-dimensionale ruimte, het stelt dat als de fractale dimensie van de punten groter is dan d/2, dan moet de maat van de ingestelde afstand groter zijn dan 0.

In 2018 heeft Ou samen met collega’s toonde aan dat het vermoeden geldt in twee dimensies voor alle sets met een fractale dimensie groter dan 5/4. Nu Ou - samen met Xiumin Du van de Noordwestelijke Universiteit, Ruixiang Zhang van de Universiteit van Californië, Berkeley, en Kevin Ren van Princeton University – hebben bewezen dat in hogere dimensies de drempel voor het garanderen van een afstand die niet nul is, iets kleiner is dan d/2+1/4. “De grenzen in hogere dimensies zijn in dit artikel voor het eerst beter dan in dimensie 2,” zei Shmerkin. (In twee dimensies is de drempel precies d/2+1/4.)

Dit laatste resultaat is slechts één in een golf van recente ontwikkelingen on Het vermoeden van Falconer. Het bewijs verfijnde technieken in de harmonische analyse – een schijnbaar ver afgelegen gebied van de wiskunde dat zich bezighoudt met het weergeven van willekeurig gecompliceerde functies in termen van eenvoudige golven – om de grens te versterken. Maar sommige van die technieken werden eerst ontwikkeld om precies hetzelfde probleem aan te pakken.

Deze vraag over afstanden tussen punten “heeft gediend als speeltuin voor enkele van de grootste ideeën op het gebied van harmonische analyse”, aldus Alex Iosevitsj van de Universiteit van Rochester.

Hoewel ze slechts de helft van het gat hebben gedicht dat Falconer in zijn artikel uit 1985 had achtergelaten, beschouwen wiskundigen de recente golf van werk als bewijs dat het volledige vermoeden eindelijk binnen handbereik zou kunnen zijn. In de tussentijd zullen ze het probleem blijven gebruiken als proeftuin voor hun meest geavanceerde tools.