De wijziging van de plannen kwam tijdens een roadtrip. Op een mooie dag afgelopen april, de wiskundigen Rachel Greenfeld en Sara Peluse vertrokken vanuit hun thuisinstelling, het Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey, op weg naar Rochester, New York, waar beiden de volgende dag lezingen zouden houden.

Ze worstelden al bijna twee jaar met een belangrijk vermoeden in de harmonische analyse, het vakgebied dat bestudeert hoe complexe signalen kunnen worden opgedeeld in hun samenstellende frequenties. Samen met een derde medewerker, Marina Iliopouloubestudeerden ze een versie van het probleem waarin de samenstellende frequenties worden weergegeven als punten in een vlak waarvan de afstanden tot elkaar gerelateerd zijn aan gehele getallen. De drie onderzoekers probeerden aan te tonen dat er niet te veel van deze punten konden zijn, maar tot nu toe waren al hun technieken tekortgeschoten.

Het leek alsof ze hun wielen lieten draaien. Toen kreeg Peluse een gedachte: wat als ze het probleem van de harmonische analyse achterwege lieten – tijdelijk natuurlijk – en hun aandacht richtten op reeksen punten waarin de afstand tussen twee willekeurige punten precies een geheel getal is? Welke mogelijke structuren kunnen dergelijke sets hebben? Wiskundigen proberen al sinds de oudheid afstandssets met gehele getallen te begrijpen. Pythagoras-drietallen (zoals 3, 4 en 5) vertegenwoordigen bijvoorbeeld rechthoekige driehoeken waarvan de drie hoekpunten allemaal op een gehele afstand van elkaar liggen.

“In de auto, denk ik, omdat Rachel samen met mij vastzat, heb ik erover gesproken”, zegt Peluse, die nu professor is aan de Universiteit van Michigan. Het idee om afstanden met gehele getallen aan te pakken, heeft Greenfeld geëlektrificeerd.

Voordat ze het wisten, hadden ze niet één koerswijziging ondergaan, maar twee.

"We letten eigenlijk niet meer op waar we heen gingen en kwamen niet van de snelweg af", zei Peluse. "We reden ongeveer een uur in de tegenovergestelde richting van Rochester voordat we het merkten, omdat we zo enthousiast waren over de wiskunde."

In 1945, Norman Anning en Paul Erdős bewezen dat een oneindige reeks punten in het vlak die allemaal een gehele afstand van elkaar verwijderd zijn, op een lijn moeten liggen. Voor een eindige reeks punten zijn de mogelijkheden iets gevarieerder. Wiskundigen hebben grote verzamelingen geconstrueerd die op een lijn of een cirkel liggen, soms met drie of vier extra punten die buiten de hoofdweg liggen. (De punten zelf hoeven geen gehele coördinaten te hebben; de vraag gaat over de afstanden daartussen.)

Niemand heeft een groot aantal punten bedacht met een andere configuratie, maar niemand heeft bewezen dat andere configuraties onmogelijk zijn. In de bijna 80 jaar sinds het resultaat van Anning en Erdős heeft het onderwerp vrijwel geen vooruitgang gekend – tot nu toe.

Greenfeld, Iliopoulou en Peluse wel bewezen dat alle punten in een grote afstandsset met gehele getallen – behalve misschien een klein handjevol uitschieters – op één lijn of cirkel moeten liggen. “Als je een grote set wilt hebben waarin alle paarsgewijze afstanden gehele getallen zijn, dan zijn cirkels en lijnen de enige spelers”, zei József Solymosi van de Universiteit van British Columbia. Hij noemde hun resultaat een ‘fantastische oplossing’.

De nieuwe aanpak maakt gebruik van ideeën en technieken uit drie verschillende gebieden van de wiskunde: combinatoriek, getaltheorie en algebraïsche meetkunde. Deze samenvoeging van verschillende velden “zou een echte psychologische doorbraak kunnen zijn”, zei hij Terence tao, een wiskundige aan de Universiteit van Californië, Los Angeles.

Alex Iosevitsj, van de Universiteit van Rochester, is het daarmee eens. “Ze hebben een zeer solide basis gelegd voor een zeer brede reeks problemen”, zei hij. “Ik twijfel er absoluut niet aan dat dit nog diepere toepassingen zal vinden.”

De grenzen van eenvoud

Binnen een vlak is het gemakkelijk om een ​​oneindige reeks punten te kiezen die allemaal op gehele afstanden van elkaar liggen. Neem gewoon je favoriete lijn, stel je een getallenlijn voor die er overheen ligt en gebruik enkele of alle punten die overeenkomen met hele getallen. Maar dit is de enige manier om een ​​oneindige afstand van gehele getallen in het vlak te construeren, zoals Anning en Erdős zich in 1945 realiseerden. Zodra je slechts drie punten hebt die niet allemaal op dezelfde lijn liggen, wordt je configuratie zo beperkt dat het onmogelijk is om oneindig veel meer punten toe te voegen.

De reden komt neer op eenvoudige geometrie. Stel je voor dat je begint met twee punten, A en B, die een gehele afstand van elkaar verwijderd zijn. Als je een derde punt, C, wilt toevoegen, dat een gehele afstand is van zowel A als B, maar niet op de lijn erdoorheen ligt, zullen de meeste punten in het vlak niet werken. De enige levensvatbare punten bevinden zich op speciale curven, hyperbolen genaamd, die tussen A en B snijden. Als A en B bijvoorbeeld vier eenheden uit elkaar liggen, dan zijn er precies vier van deze hyperbolen. (Een hyperbool bestaat meestal uit twee afzonderlijke delen, dus de twee rode curven in de onderstaande afbeelding vormen bijvoorbeeld één hyperbool.)

Als je eenmaal C hebt gekozen (in dit voorbeeld 3 eenheden van A en 5 eenheden van B), heb je nauwelijks meer mogelijkheden om meer punten toe te voegen. Elk punt dat u kunt toevoegen, moet op een van de hyperbolen tussen A en B liggen, of op de lijn die er doorheen loopt. Maar het moet ook op een van de hyperbolen tussen A en C liggen, en op een van de hyperbolen tussen B en C (of de overeenkomstige lijnen) – met andere woorden, een nieuw punt kan alleen worden geplaatst waar drie hyperbolen of lijnen elkaar snijden (hoewel niet elk snijpunt zal werken). Er zijn om te beginnen slechts een eindig aantal van deze hyperbolen en lijnen, en twee hyperbolen (of lijnen) kunnen elkaar in maximaal vier punten snijden. Je hebt dus slechts een eindig aantal snijpunten waaruit je kunt kiezen; je kunt geen oneindige verzameling bouwen.

Als het erom gaat te begrijpen hoe een eindige reeks gehele afstandspunten er eigenlijk uitziet, wordt de hyperboolbenadering al snel onpraktisch. Terwijl je punten toevoegt, moet je worstelen met een groeiend aantal hyperbolen. Tegen de tijd dat uw set bijvoorbeeld nog maar 10 punten heeft, zal het toevoegen van een 11e 10 nieuwe families van hyperbolen creëren - allemaal tussen uw nieuwe punt en elk van de punten die al in de set zitten. “Je kunt niet veel punten toevoegen, want dan verdwaal je in al die hyperbolen en kruispunten”, zei Greenfeld.

Daarom hebben wiskundigen gezocht naar beter beheersbare principes voor het construeren van grote sets gehele afstandspunten die niet op een lijn liggen. Maar ze hebben maar één aanpak kunnen bedenken: zet je punten op een cirkel. Als je een gehele afstand wilt instellen met bijvoorbeeld een biljoen punten, zijn er manieren om een ​​biljoen punten te bedenken op een cirkel met straal 1 waarvan de afstanden allemaal breuken zijn. Vervolgens kun je de cirkel opblazen totdat alle fractionele afstanden in hele getallen veranderen. Hoe meer punten je in je set wilt hebben, hoe meer je nodig hebt om de cirkel op te blazen.

Door de jaren heen hebben wiskundigen slechts iets exotischere voorbeelden bedacht. Ze kunnen afstandssets met grote gehele getallen construeren waarin alle punten op vier na op een lijn liggen of op drie na allemaal op een cirkel. Veel wiskundigen vermoeden dat dit de enige afstandssets met grote gehele getallen zijn waarin niet alle punten op een lijn of cirkel liggen. Ze zullen dit zeker weten als ze ooit iets kunnen bewijzen dat het vermoeden van Bombieri-Lang wordt genoemd. Maar wiskundigen zijn verdeeld over de vraag of dit vermoeden waar zal zijn.

Sinds het werk van Anning en Erdős in 1945 hebben wiskundigen weinig vooruitgang geboekt bij het begrijpen van afstandssets met gehele getallen. In de loop van de tijd leek het gehele afstandsprobleem zich aan te sluiten bij een reeks andere problemen in de combinatoriek, de getaltheorie en de meetkunde die eenvoudig te formuleren zijn maar schijnbaar onmogelijk op te lossen. "Het is een maatstaf voor hoe zielig onze wiskunde is", zei Tao.

In zekere zin was het probleem van de gehele afstand het slachtoffer van zijn eigen vroege successen. Het hyperboolbewijs, met zijn ingenieuze eenvoud, is emblematisch voor de filosofie van Erdős, een zeer invloedrijke wiskundige die vaak sprak over ‘Het Boek’ – een ingebeeld boek met de meest elegante bewijzen in de wiskunde. De cultuur van eenvoud die Erdős propageerde, heeft geleid tot ‘geweldige resultaten’ in de combinatorische meetkunde, zei Iosevich. Maar het kan ook tot blinde vlekken leiden – in dit geval over de waarde van het inbrengen van benaderingen uit de algebraïsche meetkunde.

"Ik denk niet dat je een resultaat [in de algebraïsche meetkunde] zult vinden dat in de afgelopen vijftig jaar is bewezen en dat niet erg technisch ingewikkeld en rommelig is", zei Iosevich. “Soms moeten de dingen echter zo zijn.”

Achteraf gezien lag het probleem van de gehele afstand te wachten op wiskundigen die bereid waren meer weerbarstige krommen te overwegen dan hyperbolen en vervolgens gebruik te maken van diepzinnige hulpmiddelen uit de algebraïsche meetkunde en de getaltheorie om ze te temmen. “Er waren mensen nodig met voldoende kennis en interesse”, zei Iosevich.

De meeste wiskundigen, zei hij, zijn tevreden met het gebruik van een paar instrumenten in één hoek van de wiskunde gedurende hun hele carrière. Maar Greenfeld, Iliopoulou en Peluse zijn onbevreesde ontdekkingsreizigers, zei Iosevich. “Ze zien wiskunde als een samenhangend geheel.”

Het probleem complexer maken

In de zomer van 2021 besloot Greenfeld dat het tijd was om een ​​probleem uit de harmonische analyse aan te pakken waar ze sinds haar afstuderen over had nagedacht. Klassieke harmonische analyse, die de basis vormt voor signaalverwerking in de echte wereld, heeft alles te maken met het ontbinden van signalen in sinusgolven met verschillende frequenties en fasen. Dit proces werkt omdat het mogelijk is een oneindige lijst van sinusgolven te maken die, wanneer ze worden gecombineerd, alle kenmerken van elk signaal opvangen, zonder enige redundantie.

Vaak willen onderzoekers echter iets ingewikkelders bestuderen dan een eendimensionaal signaal. Ze willen bijvoorbeeld een signaal op een schijf in het vlak ontleden. Maar de schijf kan slechts een eindige verzameling compatibele sinusgolven huisvesten – te weinig om het gedrag van alle mogelijke signalen op de schijf vast te leggen. De vraag wordt dan: hoe groot kan deze eindige verzameling zijn?

In zo'n verzameling kunnen de frequenties van de sinussen worden weergegeven als punten in het vlak die wars lijken van clustering in lijnen en cirkels: je zult nooit drie punten vinden die allemaal dicht bij dezelfde lijn liggen, of vier die allemaal dichtbij elkaar liggen. naar dezelfde cirkel. Greenfeld hoopte deze afkeer te gebruiken om te bewijzen dat deze reeksen frequenties slechts een paar punten kunnen bevatten.

Tijdens een bijeenkomst in 2021 aan de Universiteit van Bonn woonde Greenfeld een lezing bij over de ‘determinantenmethode’, een techniek uit de getaltheorie die kan worden gebruikt om te schatten hoeveel gehele punten van bepaalde typen op curven kunnen liggen. Ze realiseerde zich dat dit hulpmiddel misschien precies was wat ze nodig had. Greenfeld rekruteerde Iliopoulou en Peluse, die ook bij de bijeenkomst waren. "We begonnen deze methode samen te leren", zei Greenfeld.

Maar ondanks vele inspanningen leken ze er niet in te slagen de determinantenmethode naar hun doel om te buigen, en tegen het voorjaar van 2023 voelden ze zich ontmoedigd. Iosevich had Greenfeld en Peluse uitgenodigd om voor een bezoek naar Rochester te rijden. "Dus we dachten: 'Oké, we gaan naar Rochester, en praten met Alex zal ons nieuw leven inblazen'", zei Peluse. Maar het bleek dat ze al met een nieuwe impuls in Rochester waren geland, dankzij een verkwikkende discussie over gehele afstandssets tijdens hun ongeplande omweg langs de Susquehanna-rivier in Pennsylvania.

Ze kwamen te laat voor een gepland diner met Iosevich, maar ze troffen hem aan in de lobby van het hotel met zakken afhaalmaaltijden. Hij vergaf hun laattijdigheid – en was de volgende ochtend meer dan vergevingsgezind, toen ze hem vertelden over hun plan om gehele afstandssets aan te pakken. ‘Hij was zo opgewonden,’ herinnerde Peluse zich. “Emotioneel gezien was dit een enorme opsteker.”

Net als bij de hyperboolbenadering probeerden Greenfeld, Iliopoulou en Peluse de structuur van afstandssets met gehele getallen te beheersen door families van krommen te identificeren waarop de punten moeten liggen. De hyperboolmethode begint te ingewikkeld te worden zodra je meer dan een paar punten hebt, maar Greenfeld, Iliopoulou en Peluse hebben ontdekt hoe ze met veel punten tegelijk rekening kunnen houden door de hele configuratie naar een hoger-dimensionale ruimte te verplaatsen.

Om te zien hoe dit werkt, veronderstellen we dat u begint met een “referentiepunt” A in uw afstandsset met gehele getallen. Elk ander punt in de verzameling heeft een gehele afstand tot A. De punten bevinden zich in een vlak, maar je kunt het vlak in een driedimensionale ruimte stoten door een derde coördinaat op elk punt te plakken, waarvan de waarde de afstand tot A is. Bijvoorbeeld Stel dat A het punt (1, 3) is. Dan verandert het punt (4, 7), dat 5 eenheden verwijderd is van A, in het punt (4, 7, 5) in de driedimensionale ruimte. Dit proces zet het vlak om in een kegel in een driedimensionale ruimte waarvan de punt zich op A bevindt, nu gelabeld (1, 3, 0). De gehele afstandspunten worden punten in de driedimensionale ruimte die op de kegel en ook op een bepaald rooster liggen.

Op dezelfde manier kunt u, als u twee referentiepunten kiest, A en B, punten in het vlak omzetten naar punten in een vierdimensionale ruimte. Geef elk punt gewoon twee nieuwe coördinaten waarvan de waarden de afstanden tot A en B zijn. Dit proces converteert het vlak in een gebogen oppervlak in een vierdimensionale ruimte. Op deze manier kunt u steeds meer referentiepunten toevoegen. Met elk nieuw referentiepunt wordt de dimensie met één vergroot en wordt het vlak in kaart gebracht op een nog kronkeliger oppervlak (of, zoals wiskundigen zeggen, een oppervlak van hogere graad).

Met dit raamwerk gebruikten de onderzoekers de determinantenmethode uit de getaltheorie. Determinanten zijn getallen, meestal geassocieerd met matrices, die een groot aantal geometrische eigenschappen van een verzameling punten vastleggen. Een bepaalde determinant kan bijvoorbeeld de oppervlakte van de driehoek meten die door drie van de punten wordt gevormd. De determinantenmethode biedt een manier om dergelijke determinanten te gebruiken om het aantal punten te schatten dat tegelijkertijd op een kronkelig oppervlak en op een rooster ligt – precies het soort situatie waarmee Greenfeld, Iliopoulou en Peluse te maken hadden.

De onderzoekers gebruikten een werklijn gebaseerd op de determinantenmethode om aan te tonen dat wanneer ze hun geheeltallige afstand op een voldoende hoge dimensie zetten, de punten allemaal op een klein aantal speciale curven moeten liggen. Deze curven kunnen, als hun schaduwen in het vlak geen lijn of cirkel zijn, niet veel roosterpunten bevatten, wat de enige kandidaten zijn voor punten in de gehele afstandsset. Dat betekent dat het aantal punten in de set dat buiten de hoofdlijn of cirkel kan liggen, begrensd is; de onderzoekers hebben aangetoond dat dit kleiner moet zijn dan een zeer langzaam groeiende functie van de diameter van de set.

Hun grens bereikt niet de standaard van het vermoeden van 'vier punten buiten de lijn of drie punten buiten de cirkel', waarvan veel wiskundigen geloven dat dit geldt voor afstandssets met grote gehele getallen. Toch laat het resultaat zien dat “de essentie van het vermoeden waar is”, zegt Jacob Fox van Stanford University. Een volledig bewijs van het vermoeden zal waarschijnlijk een nieuwe infusie van nieuwe ideeën vereisen, zeiden wiskundigen.

Het hoogdimensionale coderingsschema van het team is "extreem robuust", zei Iosevich. “Er zijn niet alleen toepassingen in principe; er zijn ook toepassingen waar ik al over nadenk.”

Eén toepassing, zo hopen Greenfeld, Iliopoulou en Peluse, zal betrekking hebben op hun oorspronkelijke harmonische analyseprobleem, waar de drie nu op terugkomen. Hun resultaat op het gebied van afstandssets met gehele getallen “zou een opstapje daartoe kunnen zijn”, aldus Greenfeld.

De synthese van combinatoriek met algebraïsche meetkunde die de onderzoekers hebben geïnitieerd, zal niet stoppen bij gehele afstandssets of verwante problemen in de harmonische analyse, voorspelde Iosevich. “Ik geloof dat wat we zien een conceptuele doorbraak is”, zei hij. “Dit geeft de boodschap aan mensen in beide vakgebieden dat dit een zeer productieve interactie is.”

Het zendt ook een boodschap uit over de waarde van het soms ingewikkelder maken van een probleem, zei Tao. Wiskundigen streven doorgaans naar het omgekeerde, merkte hij op. “Maar dit is een voorbeeld waarbij het complexer maken van het probleem eigenlijk de juiste zet is.”

De vooruitgang heeft de manier veranderd waarop hij over curves met hoge graden denkt, zei hij. "Soms kunnen ze je vrienden zijn en niet je vijanden."