무작위 프로세스는 우리 주변에서 발생합니다. 어느 날은 비가 내리지만 다음 날은 비가 내리지 않습니다. 주식과 채권은 가치를 얻거나 잃습니다. 교통 체증이 합쳐지고 사라집니다. 복잡한 방식으로 서로 상호 작용하는 수많은 요소의 지배를 받기 때문에 이러한 시스템의 정확한 동작을 예측하는 것은 불가능합니다. 대신에 우리는 확률의 관점에서 결과를 가능성이 있거나 드문 것으로 특성화하여 생각합니다.

오늘날 프랑스의 확률 이론가는 미셸 탈라그랑 그러한 과정에 대한 깊고 정교한 이해를 발전시킨 공로로 수학계 최고의 영예 중 하나인 아벨상을 수상했습니다. 노르웨이 국왕이 수여하는 상은 노벨상을 모델로 하여 7.5만 노르웨이 크로네(약 700,000만 달러)가 수여됩니다. 그가 이겼다는 말을 들었을 때, "내 마음은 멍해졌습니다"라고 Talarand는 말했습니다. “제가 하는 수학 유형은 제가 시작했을 때 전혀 유행하지 않았습니다. 그것은 열등한 수학으로 간주되었습니다. 제가 이 상을 받았다는 사실은 이것이 사실이 아니라는 절대적인 증거입니다.”

다른 수학자들도 이에 동의합니다. Talarand의 작품은 "내가 세상을 보는 방식을 바꾸었습니다"라고 말했습니다. 아사프 나오르 프린스턴 대학교 출신. 오늘은 추가됨 헬게 홀덴, Abel 상 위원회 위원장은 “실제 사건을 무작위 프로세스로 설명하고 모델링하는 것이 매우 인기를 얻고 있습니다. Talarand의 도구 상자가 즉시 나타납니다.”

Talarand는 자신의 삶을 일련의 예상치 못한 사건으로 간주합니다. 그는 리옹에서 초등학교를 간신히 통과했습니다. 그는 과학에 관심이 있었지만 공부하는 것을 좋아하지 않았습니다. 그는 5세 때 망막이 박리되어 오른쪽 눈의 시력을 잃었습니다. 15세 때 그는 다른 쪽 눈의 망막 박리 세 군데를 겪었고, 실명할까봐 눈에 붕대를 감은 채 한 달 동안 병원에 입원해야 했습니다. 수학교수인 아버지가 매일 그를 찾아와 수학을 가르치며 마음을 바쁘게 만들었다. “이것이 내가 추상화의 힘을 배운 방법입니다.” Talarand 2019에 쓴 1.2만 달러의 현상금이 수반되는 또 다른 주요 수학상인 Shaw Prize를 수상한 후입니다. (Talarand는 Abel 상금과 함께 이 돈의 일부를 사용하여 "내 인생을 바친 분야에서 젊은 연구자들의 업적을 인정"하는 자신만의 상을 마련했습니다.)

그는 회복하는 동안 반년 동안 학교를 결석했지만 공부에 집중하기 시작하라는 영감을 받았습니다. 그는 수학에 두각을 나타냈고, 1974년 대학을 졸업한 뒤 유럽 최대 연구기관인 프랑스 국립과학연구센터에 입사해 2017년 은퇴할 때까지 그곳에서 일했다. 통계학자인 미래의 아내와 첫눈에 반했습니다. (그는 그녀를 만난 지 XNUMX일 만에 그녀에게 청혼했습니다.) 점차적으로 확률에 대한 관심을 키워 해당 주제에 관한 수백 편의 논문을 출판했습니다.

그건 미리 정해진 게 아니었어요. Talarand는 고차원 기하학적 공간을 연구하면서 경력을 시작했습니다. “10년 동안 나는 내가 잘하는 것이 무엇인지 찾지 못했습니다.”라고 그는 말했습니다. 그러나 그는 이 우회로를 후회하지 않습니다. 그것은 결국 그를 확률 이론으로 이끌었고, "나는 다른 관점을 가지고 있었는데... 그것은 나에게 사물을 다르게 볼 수 있는 방법을 제공했습니다"라고 그는 말했습니다. 이를 통해 그는 고차원 기하학의 렌즈를 통해 무작위 과정을 조사할 수 있었습니다.

Naor는 “그는 기하학적 직관을 활용하여 순전히 확률적인 문제를 해결했습니다.”라고 말했습니다.

무작위 프로세스는 일련의 동전 뒤집기, 가스 내 원자의 궤적, 일일 강우량 등 모델링 가능한 방식으로 우연에 따라 결과가 달라지는 이벤트 모음입니다. 수학자들은 개별 결과와 총체적 행동 사이의 관계를 이해하고 싶어합니다. 공평한지 알아내기 위해 동전을 몇 번 던져야 합니까? 강물이 제방을 넘치게 될까요?

Talagrand는 가우스라고 불리는 종 모양의 곡선에 따라 결과가 분포되는 프로세스에 중점을 두었습니다. 이러한 분포는 본질적으로 일반적이며 바람직한 수학적 특성을 많이 가지고 있습니다. 그는 이러한 상황에서 극단적인 결과에 대해 확실하게 말할 수 있는 것이 무엇인지 알고 싶었습니다. 그래서 그는 가능한 결과에 엄격한 상한선과 하한선을 두는 일련의 불평등을 증명했습니다. 홀든은 “좋은 불평등을 얻는 것은 예술이다”라고 말했습니다. 그 기술은 유용합니다. Talagrand의 방법은 예를 들어 향후 10년 동안 강이 상승할 수 있는 최고 수위 또는 가장 강력한 잠재적 지진의 규모에 대한 최적의 추정치를 제공할 수 있습니다.

복잡하고 고차원적인 데이터를 다룰 때 이러한 최대값을 찾는 것은 어려울 수 있습니다.

강우량, 바람, 온도와 같은 요인에 따라 달라지는 강 범람 위험을 평가한다고 가정해 보겠습니다. 강의 높이를 무작위 과정으로 모델링할 수 있습니다. Talagrand는 이러한 무작위 프로세스와 관련된 고차원 기하학적 공간을 만들 수 있는 일반 연결이라는 기술을 개발하는 데 15년을 보냈습니다. 그의 방법은 "기하학에서 최대값을 읽을 수 있는 방법을 제공합니다"라고 Naor는 말했습니다.

이 기술은 매우 일반적이므로 널리 적용할 수 있습니다. 수천 개의 매개변수에 의존하는 대규모 고차원 데이터 세트를 분석하고 싶다고 가정해 보겠습니다. 의미 있는 결론을 내리려면 데이터 세트의 가장 중요한 특징을 유지하면서 몇 가지 매개변수로 데이터 세트를 특성화하려고 합니다. (예를 들어, 이는 다양한 단백질의 복잡한 구조를 분석하고 비교하는 한 가지 방법입니다.) 많은 최첨단 방법은 고차원 데이터를 저차원 공간에 매핑하는 무작위 연산을 적용하여 이러한 단순화를 달성합니다. . 수학자들은 Talagrand의 일반적인 연결 방법을 사용하여 이 프로세스로 인해 발생하는 최대 오류 양을 결정할 수 있습니다. 이를 통해 일부 중요한 기능이 단순화된 데이터 세트에 보존되지 않을 가능성을 결정할 수 있습니다.

Talagrand의 작업은 무작위 프로세스의 가능한 최고 및 최악의 결과를 분석하는 데만 국한되지 않았습니다. 그는 또한 일반적인 경우에 어떤 일이 일어나는지 연구했습니다.

많은 프로세스에서 무작위 개별 이벤트가 전체적으로 매우 결정적인 결과로 이어질 수 있습니다. 측정값이 독립적이라면 각 개별 이벤트를 예측할 수 없더라도 총계는 매우 예측 가능해집니다. 예를 들어, 공정한 동전을 던지세요. 무슨 일이 일어날 지 미리 말할 수는 없습니다. 10번 뒤집으면 앞면이 66개, 1,000개 또는 450개가 나올 것입니다. 앞면이 550개 나올 때의 예상 값에 가깝습니다. 확률은 약 99.7%입니다. 그러나 동전을 500번 뒤집으면 XNUMX%의 확률로 XNUMX~XNUMX개의 앞면이 나오며, 이는 기대값인 XNUMX에 더욱 집중된 결과입니다. Holden은 "평균 주위에서는 유난히 날카롭습니다."라고 말했습니다.

Naor는 "뭔가 무작위성이 너무 많아도 무작위성이 저절로 상쇄됩니다."라고 말했습니다. "처음에는 끔찍한 혼란처럼 보였던 것이 실제로는 조직화되었습니다."

측정값 집중으로 알려진 이 현상은 훨씬 더 복잡한 무작위 프로세스에서도 발생합니다. Talagrand는 그 농도를 정량화하는 것을 가능하게 하는 일련의 불평등을 생각해냈고, 그것이 다양한 맥락에서 발생한다는 것을 증명했습니다. 그의 기술은 이 분야의 이전 작업에서 벗어났습니다. 그는 2019년 에세이에서 이러한 불평등을 처음으로 증명한 것이 "마법 같은 경험"이었다고 썼습니다. 그는 “지속적으로 기뻐하는 상태”에 있었습니다.

그는 특히 그의 후속 집중력 불평등 중 하나를 자랑스럽게 생각합니다. 그는 “우주에 대해 생각하려는 시도와 동시에 설명하기 쉬운 한 페이지의 증거를 갖춘 결과를 얻는 것은 쉽지 않다”고 말했다. (그는 한때 경영대학원 확률 수업에서 불평등을 배웠고 주인이 자신의 이름을 알아본 택시 서비스를 이용했던 일을 기쁘게 회상합니다. “정말 대단했습니다.”라고 그는 말했습니다.

그의 일반적인 연결 방법과 마찬가지로 Talagrand의 집중 불평등은 수학 전반에 걸쳐 나타납니다. Naor는 “얼마나 멀리까지 가는지 놀랍습니다.”라고 말했습니다. "탈라그랜드 불평등은 사물을 하나로 묶는 나사입니다."

다양한 크기의 항목을 리소스 할당 모델인 저장소로 정렬해야 하는 최적화 문제를 생각해 보세요. 품목이 많으면 필요한 최소 개수의 상자를 파악하는 것이 매우 어렵습니다. 그러나 Talagrand의 부등식은 항목의 크기가 무작위인 경우 필요한 상자 수를 알려줄 수 있습니다.

조합론, 물리학, 컴퓨터 과학, 통계 및 기타 환경에서 집중 현상을 증명하기 위해 유사한 방법이 사용되었습니다.

최근에 Talagrand는 무작위 프로세스에 대한 자신의 이해를 적용하여 무작위적이고 종종 상충되는 상호 작용에 의해 생성된 무질서한 자성 물질인 스핀 유리에 대한 중요한 추측을 증명했습니다. Talagrand는 스핀 글래스가 수학적으로 잘 정의되어 있음에도 불구하고 물리학자가 수학자보다 더 잘 이해하고 있다는 사실에 좌절했습니다. “그것은 우리 발의 가시였습니다.”라고 그는 말했습니다. 그는 좀 더 수학적 이론의 기초를 제공하는 소위 스핀 글래스의 자유 에너지에 관한 결과를 증명했습니다.

그의 경력 전반에 걸쳐 Talagrand의 연구는 "한발 물러서서 어디에서나 재사용할 수 있는 일반 원리를 찾는 능력"으로 특징지어졌습니다.라고 Naor는 말했습니다. “그는 여러 가지 관점에서 무언가를 다시 방문하고 또 다시 생각합니다. 그리고 결국 그는 모든 사람이 사용하는 일꾼이 되는 통찰력을 내놓았습니다.”

Talarand는 "내 뇌는 매우 느리기 때문에 단순한 것을 아주 잘 이해하는 것을 좋아합니다."라고 말했습니다. "그래서 나는 그들에 대해 아주 아주 오랫동안 생각합니다." 그는 “무언가를 순수한 방식으로 깊이 이해하여 이론을 훨씬 쉽게 만들고자 하는 열망에 의해 움직인다”고 말했습니다. 그러면 다음 세대가 거기서부터 시작하여 자신의 방식대로 발전할 수 있습니다.”

지난 10년 동안 그는 무작위 과정과 스핀 글래스뿐만 아니라 그가 전혀 연구하지 않는 분야인 양자장 이론에 관한 교과서를 집필함으로써 이를 달성했습니다. 그는 그것에 대해 배우고 싶었지만 그가 찾을 수 있는 모든 교과서가 수학자들이 아니라 물리학자들에 의해 쓰여졌거나 물리학자들을 위해 쓰여졌다는 것을 깨달았습니다. 그래서 그는 직접 글을 썼습니다. “더 이상 사물을 발명할 수 없게 된 후에는 설명할 수 있습니다.”라고 그는 말했습니다.