Claire Voisin이 수학과 사랑에 빠지는 데는 오랜 시간이 걸렸습니다.

그렇다고 그녀가 그 주제를 싫어했다는 말은 아닙니다. 프랑스에서 10남매 중 12번째로 성장한 그녀는 엔지니어인 아버지와 함께 수학 문제를 해결하며 즐거운 시간을 보냈습니다. 12살이 되었을 때 그녀는 고등학교 대수학 교과서를 혼자 읽기 시작했고, 그 페이지에 설명된 정의와 증명에 매료되었습니다. “이런 구조가 다 있었어요.” 그녀가 말했다. "대수학은 실제로 구조 이론입니다."

하지만 그녀는 수학을 평생의 소명으로 보지 않았습니다. 대학 시절이 되어서야 그녀는 그것이 얼마나 깊고 아름다운지 깨닫고 새로운 발견을 할 수 있게 되었습니다. 그때까지 그녀는 수학 외에 철학, 회화, 시 등 여러 가지 관심사를 진지하게 추구했습니다. (“스무 살 때는 수학과 그림만 했던 것 같아요. 그건 좀 과한 것 아닐까”라고 웃었다.) 20대 초반이 되자 수학은 다른 모든 것을 포괄했다. 그러나 그림과 시는 계속해서 그녀에게 영향을 미쳤습니다. 그녀는 수학을 예술로 보고, 언어의 한계를 뛰어넘어 놀 수 있는 방법으로 여깁니다.

수십 년 후, 대수 기하학 분야의 리더가 된 Voisin은 다시 점토 조각품을 만들고 만드는 데 시간을 쏟았습니다. 그럼에도 불구하고 그녀의 관심은 계속해서 수학에 집중되어 있습니다. 그녀는 "당신이 꿈꾸는 것과 같은" "다른 세계"를 탐험하는 데 시간을 보내는 것을 선호합니다.

Voisin은 파리에 있는 프랑스 국립 과학 연구 센터의 선임 연구원입니다. 그곳에서 그녀는 다항식 방정식 세트로 정의된 모양, 다항식으로 원을 정의하는 방식으로 생각할 수 있는 대수적 다양성을 연구합니다. x² + y² = 1. 그녀는 수학자들이 대수학의 주요 속성을 연구하는 데 사용하는 툴킷인 Hodge 이론의 세계 최고의 전문가 중 한 명입니다.

Voisin은 2008년 Clay Research Award, 2015년 Heinz Hopf Prize, 2017년 Shaw 수학 부문 상 등 수많은 상을 수상했습니다. XNUMX월에 그녀는 Crafoord Prize를 수상한 최초의 여성이 되었습니다. 수학.

콴타 Voisin과 수학의 창의적 본질에 관해 이야기를 나눴습니다. 인터뷰 내용은 명확성을 위해 압축 및 편집되었습니다.

당신은 어렸을 때 수학을 즐겼지만 수학을 추구하는 자신을 보지 못했습니다. 왜 안 돼?

증거에는 마법이 있습니다. 증거를 이해할 때, 그것이 얼마나 강력한지, 그리고 그것이 당신을 얼마나 강하게 만드는지 깨달을 때 느끼는 감정입니다. 어렸을 때 나는 이미 이것을 볼 수 있었습니다. 그리고 나는 수학이 요구하는 집중력을 즐겼습니다. 나이가 들수록 이것이 수학 실천의 핵심이라고 생각하게 됩니다. 나머지 세계는 사라집니다. 당신의 뇌 전체는 문제를 연구하기 위해 존재합니다. 그것은 나에게 매우 중요한 특별한 경험입니다. 실제 사물의 세계를 떠나 다른 세계에 거주하게 되는 것입니다. 아마도 이것이 내 아들이 비디오 게임을 그토록 좋아하는 이유일 것입니다.

그러나 나를 수학에 후발자로 만든 것은 어떤 의미에서 내가 게임에 전혀 관심이 없다는 것입니다. 그것은 나를 위한 것이 아닙니다. 그리고 고등학교에서는 수학이 게임처럼 느껴졌습니다. 진지하게 받아들이기가 힘들었습니다. 나는 처음에는 수학의 깊이를 보지 못했습니다. 고등학교 졸업 후 매우 흥미로운 증명과 정리를 발견하기 시작했을 때에도 나는 어떤 것을 스스로 발명할 수 있고 내 것으로 만들 수 있다는 생각은 단 한 번도 하지 않았습니다.

나는 뭔가 더 깊고, 더 진지하고, 내 것으로 만들 수 있는 뭔가가 필요했습니다.

수학에서 그것을 찾기 전에는 어디서 찾았나요?

나는 철학과 개념 개념에 대한 철학의 주장을 좋아했습니다. 또한 저는 22세쯤까지 그림을 그리는 데 많은 시간을 보냈습니다. 특히 기하학에서 영감을 받은 구상 작품을 그렸습니다. 그리고 저는 시, 즉 말라르메, 보들레르, 르네 샤르의 작품을 아주 좋아했습니다. 나는 이미 뭔가 다른 세상에 살고 있었습니다. 하지만 젊을 때는 그게 정상인 것 같아요.

그러나 수학은 점점 더 중요해졌습니다. 정말 당신의 두뇌가 모두 필요합니다. 특정 문제를 해결하기 위해 책상에 앉아 있지 않을 때에도 마음은 여전히 ​​바쁩니다. 그래서 수학을 하면 할수록 그림을 덜 그렸습니다. 최근에야 다시 그림을 그리기 시작했는데, 이제 아이들이 모두 집을 떠났고 시간이 훨씬 많아졌습니다.

결국 당신의 창의적인 에너지의 대부분을 수학에 쏟기로 결정한 이유는 무엇입니까?

수학은 나에게 점점 더 흥미로워졌습니다. 석사 및 박사로서. 학생 여러분, 저는 20세기 수학이 매우 깊고 특별한 것임을 발견했습니다. 그것은 아이디어와 개념의 세계였습니다. 대수기하학에는 알렉산더 그로텐디크(Alexander Grothendieck)가 주도한 유명한 혁명이 있었습니다. Grothendieck 이전에도 놀라운 결과가 있었습니다. 따라서 그것은 아름답지만 매우 강력한 아이디어를 가진 최근 분야입니다. 내가 연구하고 있는 호지 이론이 그 일부였다.

내 삶이 거기에 있다는 것이 점점 더 분명해졌습니다. 물론, 나는 남편과 다섯 명의 자녀를 둔 가족 생활과 기타 의무와 활동을 가졌습니다. 하지만 저는 수학으로 뭔가를 창조할 수 있다는 것을 깨달았습니다. 나는 그것에 내 인생을 바칠 수 있었습니다. 왜냐하면 그것이 너무나 아름답고, 너무나 장관이고, 너무나 흥미로웠기 때문입니다.

당신은 이전에 수학이 어떻게 창의적인 노력인지에 관해 글을 쓴 적이 있습니다.

나는 전문 수학자이기 때문에 나의 근무일은 공식적으로 수학을 중심으로 구성되어 있습니다. 나는 책상에 앉아 있다. 나는 컴퓨터에서 일합니다. 하지만 내 수학 활동의 대부분은 그 시간 동안 일어나지 않습니다. 새로운 아이디어, 좋은 정의, 활용할 수 있을 것이라고 생각하는 진술이 필요합니다. 그래야만 작업을 시작할 수 있습니다. 그리고 제가 책상에 있을 때는 그런 일이 일어나지 않습니다. 나는 내 마음을 따라야 하고, 계속 생각해야 합니다.

수학은 당신에게 매우 개인적인 것 같습니다. 그 과정에서 자신에 대해 발견한 것이 있나요?

수학을 하다 보면 대부분의 경우 나 자신과 싸워야 합니다. 왜냐하면 나는 매우 무질서하고 규율도 잘 지키지 못하며 우울증에 빠지는 경향이 있기 때문입니다. 나는 그것이 쉽지 않다고 생각합니다. 하지만 내가 발견한 것은 아침 식사를 하면서, 파리 거리를 걷거나 청소와 같은 아무 생각 없이 일을 할 때와 같은 어떤 순간에 내 뇌가 저절로 작동하기 시작한다는 것입니다. 나는 의도하지 않은 채 수학에 대해 생각하고 있다는 것을 깨닫습니다. 마치 꿈을 꾸고 있는 것 같습니다. 나는 62세이고 수학을 잘하는 실질적인 방법이 없습니다. 나는 여전히 영감을 얻을 순간을 어느 정도 기다립니다.

복잡한 방정식을 만족시키는 구조와 고차원 공간을 갖춘 매우 추상적인 개체를 사용하여 작업합니다. 이런 추상적인 세계에 대해 어떻게 생각하시나요?

실제로 그렇게 어렵지는 않습니다. 가장 추상적인 정의도 일단 익숙해지면 더 이상 추상적이 아닙니다. 공기가 매우 맑고 빛이 있어 모든 세부 사항을 볼 수 있기 때문에 마치 잘 보이는 아름다운 산과 같습니다. 우리가 연구하는 수학적 대상은 다른 어떤 것보다 훨씬 더 잘 알고 있기 때문에 구체적으로 보입니다.

물론 증명해야 할 것도 많고, 무언가를 배우기 시작하면 추상화로 인해 어려움을 겪을 수도 있습니다. 그러나 이론을 사용하면 정리를 이해하기 때문에 실제로 문제의 대상이 추상적이라 할지라도 매우 가깝다고 느낍니다. 물체에 대해 배우고, 조작하고, 수학적 논증에 사용함으로써, 그들은 궁극적으로 당신의 친구가 됩니다.

그리고 이를 위해서는 서로 다른 관점에서 볼 필요가 있습니까?

저는 원래 대수기하학을 공부하지 않았습니다. 저는 복잡한 해석 및 미분 기하학 분야에서 일했습니다. 해석기하학에서는 훨씬 더 큰 종류의 함수와 해당 함수에 의해 지역적으로 정의되는 모양을 연구합니다. 대수 기하학과 달리 일반적으로 전역 방정식이 없습니다.

나는 처음에는 대수적 관점에 별로 관심을 두지 않았다. 하지만 나이가 들수록, 이 분야에서 더 많이 일할수록, 이 두 가지 다른 언어를 사용할 필요성을 더 많이 느끼게 됩니다.

GAGA라고 불리는 놀라운 정리가 있는데, 이는 약간 농담입니다. 프랑스어로 '노인'이라는 뜻이지만, 기하학 algébrique 및 기하학 분석. 한 언어에서 다른 언어로 넘어갈 수 있다고 합니다. 더 쉬우면 복잡한 분석 기하학에서 계산을 한 다음 대수 기하학으로 돌아올 수 있습니다.

때로는 대수기하학을 통해 특별한 결과를 얻을 수 있는 문제의 다른 버전을 연구할 수 있는 가능성도 제공됩니다. 나는 대수기하학의 복잡한 기하학 측면에만 초점을 맞추기보다는 대수기하학 전체를 이해하는 방향으로 노력해 왔습니다.

이것을 서로 다른 수학적 언어로 생각하는 것이 흥미롭습니다.

언어는 필수적입니다. 수학 이전에 언어가 있다. 이미 많은 논리가 언어 안에 들어있습니다. 수학에는 올바른 연산 순서를 나타내는 수량자, 부정, 괄호 등 모든 논리적 규칙이 있습니다. 그러나 수학자에게 필수적인 이러한 모든 규칙은 이미 우리의 일상 언어에 있다는 것을 인식하는 것이 중요합니다.

수학 정리를 시에 비유할 수 있습니다. 말로 쓰여 있습니다. 그것은 언어의 산물이다. 우리는 언어를 사용하기 때문에, 일상적인 단어를 사용하고 거기에 특정한 의미를 부여하기 때문에 수학적 대상만을 갖게 됩니다. 따라서 시와 수학을 비교할 수 있습니다. 둘 다 언어에 완전히 의존하지만 여전히 새로운 것을 창조한다는 점입니다.

당신은 그로텐디크의 대수기하학 혁명 때문에 수학에 매력을 느꼈습니다. 그는 본질적으로 이런 종류의 수학을 수행하기 위한 새로운 언어를 만들었습니다.

권리.

현재 사용하고 있는 수학적 언어를 여전히 변경해야 하는 방법이 있습니까?

수학자들은 끊임없이 언어를 재작업합니다. 안타깝습니다. 오래된 논문을 읽기가 상당히 어렵기 때문입니다. 그러나 우리는 과거의 수학을 더 잘 이해하기 때문에 수학을 재작업합니다. 이는 정리를 작성하고 증명하는 더 나은 방법을 제공합니다. 이것은 기하학에 다발의 동질성을 적용한 Grothendieck의 경우였습니다. 정말 장관입니다.

공부하는 대상이 모국어처럼 느껴질 정도로 익숙해지는 것이 중요합니다. 이론이 형성되기 시작하면 올바른 정의를 찾아내고 모든 것을 단순화하는 데 시간이 걸립니다. 아니면 여전히 매우 복잡할 수도 있지만 정의와 대상에 훨씬 더 익숙해집니다. 사용하는 것이 더 자연스러워집니다.

지속적인 진화입니다. 우리는 무엇이 중요한지, 어떤 도구를 사용할 수 있는지 이론화하기 위해 끊임없이 다시 작성하고 단순화해야 합니다.

당신의 작업에 새로운 정의를 도입해야 했던 적이 있나요?

때때로. ~ 안에 내가 한 일 과 야노스 콜라르, 특정 정의를 통해 마침내 문제에 대한 올바른 관점을 찾을 수 있는 전환점이 있었습니다. 이것은 매우 고전적인 문제였고 우리는 고전적인 도구를 사용하여 작업했지만 우리의 증명은 실제로 우리가 설정한 정의를 기반으로 했습니다.

다른 경우, 올리비에 드바레, 다니엘 후이브레히츠, 에마누엘레 마크리 그리고 난 좋은 사람이라는 걸 증명했어 분류 결과 Hyper-Kähler 다양체라고 불리는 물체에 대해. 그리고 그 증명의 출발점은 우리가 원래 ""라고 불렀던 불변의 도입이었습니다.a."웃음.]

수학에서 정의의 중요성을 과소평가할 수도 있지만, 그래서는 안 됩니다.

정의와 언어가 수학을 이끄는 유일한 힘은 아닙니다. 사실일 수도 있고 아닐 수도 있는 추측도 마찬가지입니다. 예를 들어, 당신은 클레이 밀레니엄 문제인 호지 추측(Hodge conjecture)에 대해 많은 연구를 해왔습니다. 백만 달러 보상.

이해하고 싶은 대수적 다양성이 있다고 가정해 보세요. 따라서 복소해석 기하학 측면으로 가서 대신 복소 다양체라고 알려진 것으로 간주하십시오. 복잡한 다양체는 전체적인 모양이나 토폴로지 측면에서 생각할 수 있습니다. 다양체에 대한 많은 위상학적 정보를 제공하는 상동성이라는 개체가 있습니다. 하지만 정의하기는 그리 쉽지 않습니다.

이제 원래 다양성 내의 대수적 하위 변형을 고려하십시오. 각각에는 위상 불변, 이와 관련된 특정 위상 정보가 있습니다. 이러한 위상적 불변량을 조사하여 복소 다양체의 상동성 중 어느 부분을 얻을 수 있습니까?

Hodge 추측은 구체적인 답을 제공합니다. 그리고 대답은 매우 미묘합니다.

그렇다면 수학자들은 호지의 추측이 결국 참일지 거짓일지 확신하지 못하는 걸까요?

당신은 호지의 추측을 믿고 싶어합니다. 왜냐하면 그것은 대수기하학의 주요 이론에 대한 지침이기 때문입니다.

당신은 대수적 다양성의 주요 속성을 정말로 이해하고 싶습니다. 그리고 Hodge의 추측이 사실이라면, 그것은 여러분의 품종의 기하학적 구조를 믿을 수 없을 만큼 통제할 수 있게 해줄 것입니다. 당신은 품종의 구조에 관해 매우 중요한 정보를 얻게 될 것입니다.

그것을 믿어야 할 몇 가지 강력한 이유가 있습니다. 호지 추측의 특별한 사례가 알려져 있습니다. 그리고 Hodge 추측이 사실임을 암시하는 대수적 다양성에 관한 많은 깊은 진술이 있습니다.

그러나 이를 증명하기 위한 진전이 거의 완전히 부족했습니다. 나는 또한 Hodge 추측을 자연스러워 보이는 다른 설정으로 확장할 방법이 없다는 것을 증명했습니다. 그래서 좀 충격이었어요.

수십 년 동안 수학자로 일한 후, 이제 수학을 더욱 깊이 있게 하고 있다고 느끼시나요?

이제 나는 나이가 들었기 때문에 수학에 에너지를 쏟고 수학에 실제로 참여하는 데 훨씬 더 많은 시간을 갖게 되었습니다. 여기저기 돌아다닐 수 있는 능력도 더 좋아졌어요. 예전에는 시간이 부족해서인지 기동성이 떨어지긴 했지만, 너무 이동성이 있어서 문제를 풀지 않고 그냥 건드리는 것도 좋지 않습니다. 이제 나는 경험이 많아졌고 나만의 그림을 만들 수 있게 되었습니다.

당신은 당신이 모르는 것, 열려 있는 문제에 대해 훨씬 더 나은 그림을 가지고 있습니다. 필드와 해당 경계를 자세히 볼 수 있습니다. 나이가 들수록 좋은 점도 있어야 합니다. 그리고 아직 할 일이 너무 많습니다.