소수에는 세 가지 종류가 있습니다. 첫 번째는 단독 특이치입니다. 2는 유일한 짝수 소수입니다. 그 후 소수의 절반은 1로 나누면 4이 남고, 나머지 절반은 3이 남습니다. (첫 번째 진영에는 5와 13, 두 번째 진영에는 7과 11이 떨어집니다.) 나머지가 남을 뚜렷한 이유는 없습니다. -1 소수와 나머지 -3 소수는 근본적으로 다른 방식으로 동작해야 합니다. 하지만 그들은 그렇습니다.

한 가지 주요 차이점은 19세기 가장 영향력 있는 수학자 칼 가우스(Carl Gauss)가 처음으로 증명한 XNUMX차 상호성이라는 속성에서 비롯됩니다. "이것은 정수론뿐만 아니라 모든 종류의 수학에 적용할 수 있는 매우 간단한 진술입니다."라고 말했습니다. 제임스 리카즈, 콜로라도 대학교 볼더 캠퍼스의 수학자. "하지만 정말 흥미로울 만큼 명확하지도 않습니다."

정수론은 정수(예를 들어 모양이나 연속량이 아닌)를 다루는 수학의 한 분야입니다. DNA가 생물학의 핵심이듯이 소수(1과 자기 자신으로만 나누어지는 소수)가 핵심입니다. XNUMX차 상호성은 자신에 대해 얼마나 많은 것을 증명할 수 있는지에 대한 수학자들의 개념을 변화시켰습니다. 소수를 산맥으로 생각한다면, 상호성은 수학자들이 이전에 도달할 수 없었던 정상에 오르고, 그 정상에서 숨겨져 있던 진실을 볼 수 있게 해주는 좁은 길과 같습니다.

오래된 정리임에도 불구하고 계속해서 새로운 응용이 가능합니다. 이번 여름, Rickards와 그의 동료는 캐서린 스탠지, 두 학생과 함께, 널리 받아들여지는 추측을 반증했다 얼마나 작은 원이 더 큰 원 안에 채워질 수 있는지에 대해요. 그 결과는 수학자들을 충격에 빠뜨렸습니다. 피터 사르 낙고등연구소와 프린스턴 대학교의 정수 이론가인 Stange는 팀이 끝난 직후 컨퍼런스에서 Stange와 이야기를 나눴습니다. 게시 그들의 종이. “그녀는 반례가 있다고 나에게 말했습니다.” Sarnak이 회상했습니다. “나는 즉시 그녀에게 '어디서 호혜주의를 사용하고 있습니까?'라고 물었습니다. 그리고 그것이 실제로 그녀가 사용하고 있던 것이었습니다.'”

소수 쌍의 패턴

상호성을 이해하려면 먼저 모듈러 연산을 이해해야 합니다. 모듈식 연산은 모듈러스라는 숫자로 나눌 때 나머지 계산에 의존합니다. 예를 들어, 9 모듈로 7은 2입니다. 왜냐하면 9를 7로 나누면 나머지 2가 남기 때문입니다. 모듈로 7 숫자 체계에는 {7, 0, 1, 2, 3, 4 등 5개의 숫자가 있습니다. , 6}. 이 숫자를 더하고, 빼고, 곱하고 나눌 수 있습니다.

정수와 마찬가지로 이러한 수 체계도 완전제곱수, 즉 다른 수에 그 자체를 곱한 수를 가질 수 있습니다. 예를 들어, 0, 1, 2, 4는 모듈로 7의 완전제곱수입니다(0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4, 3 × 3 = 2 mod 7). 모든 일반 정사각형은 0, 1, 2 또는 4 모듈로 7과 같습니다. (예: 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) 모듈러 숫자 시스템은 유한하므로 완전 정사각형이 더 일반적입니다.

XNUMX차 상호성은 비교적 간단한 질문에서 비롯됩니다. 두 개의 소수가 주어지면 p 및 q, 당신이 그걸 알고 있다면 p 완전제곱 모듈로입니다 q, 아닌지 말해줄 수 있나요? q 완전제곱 모듈로입니다 p?

둘 중 하나라면 p or q 1로 나누면 나머지 4이 남는다. p 완전제곱 모듈로입니다 q다음, q 또한 완전제곱식 모듈로입니다. p. 두 소수는 보답한다고 한다.

반면에 둘 다 나머지 3(예: 7과 11)을 남기면 보답하지 않습니다. p 정사각형 모듈로입니다 q, 즉 q 정사각형 모듈로가 아닐 것입니다. p. 이 예에서 11은 모듈로 7의 정사각형입니다. 11 = 4 mod 7이고 우리는 4가 모듈로 7의 완전제곱 중 하나라는 것을 이미 알고 있습니다. 따라서 7은 모듈로 11의 정사각형이 아닙니다. 정사각형(4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …)을 계산하고 나머지 모듈로 11을 보면 7은 절대 나타나지 않습니다.

기술적인 용어를 사용하자면 정말 이상합니다!

일반화의 힘

많은 수학적 아이디어와 마찬가지로 상호성도 일반화될 수 있기 때문에 영향력이 있었습니다.

가우스가 1801년에 이차 상반성에 대한 첫 번째 증명을 발표한 직후 수학자들은 이 개념을 제곱 이상으로 확장하려고 노력했습니다. “왜 제XNUMX의 세력이나 제XNUMX의 세력은 안 되는 걸까요? 그들은 아마도 XNUMX차 상호 법칙이나 XNUMX차 상호 법칙이 있을 것이라고 상상했습니다.”라고 말했습니다. 키스 콘래드, 코네티컷 대학교의 정수 이론가.

하지만 "쉬운 패턴이 없기 때문에" 그들은 막혔다고 콘래드는 말했습니다. 가우스가 복소수 영역에 상반성을 도입하자 이러한 상황은 바뀌었습니다. 이 복소수는 마이너스 1의 제곱근을 더해 다음과 같이 표현됩니다. i, 일반 숫자로. 그는 정수 이론가들이 일반 정수뿐만 아니라 실수부와 허수부가 모두 정수인 복소수인 소위 가우스 정수와 같은 다른 정수형 수학 시스템을 분석할 수 있다는 아이디어를 소개했습니다.

가우스 정수를 사용하면 소수로 간주되는 전체 개념이 변경되었습니다. 예를 들어, 5 = (5 + i) × (2 − i). Conrad는 “초등학생 때처럼 다시 시작해야 합니다.”라고 말했습니다. 1832년에 가우스는 그의 이름을 딴 복소 정수에 대한 XNUMX차 상호 법칙을 증명했습니다.

갑자기 수학자들은 이러한 새로운 숫자 시스템에 모듈러 산술 및 인수분해와 같은 도구를 적용하는 방법을 배웠습니다. Conrad에 따르면 이차 상호성은 영감이었습니다.

복소수 없이는 파악하기 어려웠던 패턴이 이제 나타나기 시작했습니다. 1840년대 중반에 Gotthold Eisenstein과 Carl Jacobi는 최초의 XNUMX차 상호 법칙을 증명했습니다.

그러다가 1920년대에 현대 대수학의 창시자 중 한 명인 Emil Artin이 콘래드가 "궁극적 상호 법칙"이라고 부르는 것을 발견했습니다. 다른 모든 상호법칙은 Artin의 상호법칙의 특별한 경우로 볼 수 있습니다.

XNUMX년이 지난 지금도 수학자들은 가우스의 첫 번째 이차 상호 법칙에 대한 새로운 증명을 고안하고 이를 새로운 수학적 맥락으로 일반화하고 있습니다. 뚜렷한 증거를 많이 갖는 것이 유용할 수 있습니다. Conrad는 “결과를 새로운 설정으로 확장하려는 경우 인수 중 하나는 쉽게 전달되지만 다른 인수는 그렇지 않을 수 있습니다.”라고 말했습니다.

상호주의가 왜 그렇게 유용한가

1982차 상호성은 그래프 이론, 대수 위상수학, 암호화 등 다양한 연구 분야에서 사용됩니다. 후자의 경우 XNUMX년에 개발된 영향력 있는 공개 키 암호화 알고리즘입니다. 샤피 골드와서 및 실비오 미 칼리 두 개의 큰 소수의 곱셈에 달려있다 p 및 q 함께 결과를 출력하고, N, 숫자와 함께 x, 이는 정사각형 모듈로가 아닙니다. N. 알고리즘은 N 및 x 디지털 메시지를 더 큰 숫자의 문자열로 암호화합니다. 이 문자열을 해독하는 유일한 방법은 암호화된 문자열의 각 숫자가 정사각형 모듈로인지 여부를 결정하는 것입니다. N — 소수의 값을 모르면 사실상 불가능합니다. p 및 q.

그리고 물론 이차 상반성은 정수론 내에서 반복적으로 발생합니다. 예를 들어, 1 모듈로 4에 해당하는 소수는 두 제곱의 합으로 쓸 수 있음을 증명하는 데 사용할 수 있습니다(예: 13은 1 모듈로 4와 같고 13 = 4 + 9 = 2).² + 3²). 대조적으로, 3 모듈로 4와 같은 소수는 결코 두 제곱의 합으로 쓸 수 없습니다.

Sarnak은 세 입방체의 합으로 어떤 숫자를 쓸 수 있는지 알아내는 것과 같은 개방형 질문을 해결하는 데 상호성이 사용될 수 있다고 지적했습니다. 4 또는 5 모듈로 9와 같은 숫자는 세 입방체의 합과 같지 않지만 다른 숫자는 미스터리로 남아 있습니다. (2019년에는 앤드루 부커 생성된 헤드라인 그는 (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33이라는 사실을 발견했습니다.)

많은 적용과 다양한 증명에도 불구하고 호혜성에 대해서는 미스터리로 남아 있는 뭔가가 있다고 Stange는 말했습니다.

“수학적 증명에서 흔히 일어나는 일은 모든 단계를 따를 수 있다는 것입니다. 그것이 사실이라고 믿을 수 있다”고 그녀는 말했다. "그래도 '그런데 왜?'라는 느낌이 들며 반대쪽 끝으로 나올 수도 있습니다."

본능적인 수준에서 7과 11이 5와 13과 다른 점을 이해하는 것은 영원히 불가능할 수 있습니다. “우리는 너무 많은 추상화 수준을 저글링할 수 있습니다.”라고 그녀는 말했습니다. "그것은 정수론의 모든 곳에서 나타납니다. 하지만 그것은 여러분이 정말로 알 수 있을 것 같은 느낌을 넘어서는 한 단계에 불과합니다."

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