평면에 세 개의 점을 분산시킨 다음 모든 쌍 사이의 거리를 측정합니다. 아마도 세 가지 다른 거리를 찾을 수 있을 것입니다. 그러나 정삼각형으로 점을 배열하면 모든 거리는 동일합니다. 평면에서는 2개의 점으로는 불가능합니다. 엔지니어링할 수 있는 최소 거리 수는 XNUMX, 즉 정사각형의 모서리와 대각선입니다.

그러나 각 변이 정삼각형인 피라미드를 만들기 위해 점 중 하나를 평면에서 들어 올리면 고유한 단일 거리(한 변의 길이)로 분리된 4개의 점 집합이 생성됩니다. 삼각형.

포인트가 많으면 이러한 패턴이 더욱 뚜렷해집니다. 평면에 무작위로 흩어져 있는 4,950개의 점은 100개의 서로 다른 쌍별 거리를 정의할 가능성이 높습니다. 그러나 평평한 정사각형 그리드에 50개의 점을 배열하면 모든 점 쌍은 단 XNUMX개의 가능한 거리 중 하나로 분리됩니다. 점을 XNUMX차원 그리드로 끌어올리면 그 수를 더욱 줄일 수 있습니다.

점 사이의 거리 수에 대한 질문에 대답하는 것은 난해한 연습처럼 들릴 수 있습니다. 그러나 이러한 문제를 해결하기 위한 수십 년 간의 탐구 과정에서 수학자들은 정수론에서 물리학에 이르기까지 다양한 응용 분야를 갖춘 도구를 개발했습니다.

“사람들이 문제를 해결하려고 노력했을 때”라고 말했습니다. 파블로 슈메르킨 브리티시 컬럼비아 대학교의 "그들은 놀랍고 예상치 못한 연관성을 발견하기 시작했습니다."

최신 개발은 작년 말에 이루어졌습니다. 네 명의 수학자들이 협력하여 새로운 관계를 증명했다 점 집합의 기하학과 점 사이의 거리 사이.

점 집합에 의해 결정된 다양한 거리 목록을 거리 집합이라고 합니다. 해당 목록에 몇 개의 숫자가 있는지 세어 보면 거리 세트의 크기를 알 수 있습니다. 1946년에 많은 수학자 폴 에르되시(Paul Erdös)는 점의 수가 많은 경우 점을 그리드에 배열할 때 얻는 거리 집합보다 작을 수 없다고 추측했습니다. 문제는 겉으로는 간단해 보여도 매우 깊고 어려운 것으로 드러났습니다. 2010차원에 있어서도 아직 완전히 증명되지는 않았지만, XNUMX년에 두 명의 수학자들이 너무 가까워졌어 이제 사실상 해결된 것으로 간주됩니다. 더 높은 차원에서는 열려 있습니다.

한편, 수학자들은 새로운 버전의 추측도 공식화했습니다. 이들 중 가장 중요한 것 중 하나가 1985 용지 by 케네스 팔코너, 스코틀랜드 세인트앤드루스 대학교의 수학자. 팔코너는 무한한 수의 점 사이의 뚜렷한 거리에 대해 무엇을 말할 수 있는지 궁금했습니다.

포인트가 무한히 많으면 단순히 세는 것은 더 이상 그다지 유용하지 않습니다. 그러나 수학자들은 크기를 정의하는 다른 방법을 가지고 있습니다. Falconer의 추측은 프랙탈 차원이라고 불리는 숫자로 특징지어지는 점 집합의 기하학적 구조와 척도라고 불리는 숫자로 특징지어지는 거리 집합의 크기 사이의 관계를 가정합니다.

프랙탈 차원은 차원에 대한 일반적인 직관과 일치합니다. 보다 친숙한 차원 개념과 마찬가지로 선분의 프랙탈 차원은 1인 반면, 정사각형(내부가 채워진)의 프랙탈 차원은 2입니다. 그러나 점 집합이 더 복잡한 프랙탈 패턴을 형성하는 경우 — 아무리 확대해도 미세한 우여곡절이 계속 나타나는 곡선처럼 프랙탈 차원은 정수가 아닐 수도 있습니다. 예를 들어, 아래에 표시된 Koch 눈송이 곡선은 점점 더 작은 삼각형 범프가 끝없이 이어져 있으며 크기가 약 1.26입니다.

일반적으로 점의 무한한 집합은 그것이 얼마나 분산되어 있는지에 따라 대략적으로 달라지는 프랙탈 차원을 갖습니다. 평면 주위에 퍼져 있으면 프랙탈 차원은 2에 가까울 것입니다. 선처럼 보이면 프랙탈 차원은 1에 가까울 것입니다. XNUMX차원 공간의 점 집합에 대해 동일한 종류의 구조를 정의할 수 있습니다. , 또는 더 높은 차원에서.

Falconer의 추측의 반대편에는 설정된 거리의 척도가 있습니다. 측정은 길이 개념의 일종의 수학적 일반화입니다. 수직선 위의 점으로 표시될 수 있는 단일 숫자는 측정값이 3입니다. 그러나 무한 집합이라도 측정값이 4일 수 있습니다. 예를 들어, 정수는 실수 사이에 너무 얇게 분산되어 집합적인 "길이"가 없으므로 측정값 1의 집합을 형성합니다. 반면에, 예를 들어 1/4과 XNUMX 사이의 실수는 간격이 얼마나 길기 때문에 측정값이 XNUMX/XNUMX입니다.

이 척도는 무한히 많은 점 사이의 서로 다른 거리 집합의 크기를 특성화하는 방법을 제공합니다. 거리 수가 "작은" 경우 이는 설정된 거리의 측정값이 0임을 의미합니다. 즉, 중복된 거리가 많이 있습니다. 반면, 거리 집합의 측정값이 0보다 큰 경우 이는 다양한 거리가 있음을 의미합니다.

1.5차원에서 Falconer는 프랙탈 차원이 1보다 큰 점 집합에는 1이 아닌 측정값으로 설정된 거리가 있음을 증명했습니다. 그러나 수학자들은 이것이 2보다 큰 프랙탈 차원을 가진 모든 집합에 해당된다고 믿게 되었습니다. "우리는 이 XNUMX/XNUMX 격차를 해결하려고 노력하고 있습니다."라고 말했습니다. 유멍 오우 새 논문의 공동저자 중 한 명인 펜실베니아 대학교의 교수입니다. 더욱이 Falconer의 추측은 3차원 이상으로 확장됩니다. d-차원 공간, 점의 프랙탈 차원이 다음보다 큰 경우를 나타냅니다. d / 2이면 설정된 거리의 측정값은 0보다 커야 합니다.

2018년에는 오우가 동료들과 함께 추측을 보여주었다. 프랙탈 차원이 5/4보다 큰 모든 집합에 대해 XNUMX차원을 유지합니다. 이제 Ou — 함께 두 시우민 노스웨스턴 대학교, 장 루이샹 캘리포니아 대학교 버클리 캠퍼스 및 케빈 렌 프린스턴 대학의 — 더 높은 차원에서 0이 아닌 측정값으로 설정된 거리를 보장하기 위한 임계값이 다음보다 약간 작다는 것을 증명했습니다. d/2 + 1/4. Shmerkin은 “이 논문에서 처음으로 더 높은 차원의 경계가 2차원의 경계보다 더 좋습니다.”라고 말했습니다. (XNUMX차원에서 임계값은 정확하게 d/2 + 1/4.)

이 최신 결과는 파도 최근 발전의 on 매 사냥꾼의 추측. 증명은 경계를 강화하기 위해 임의의 복잡한 함수를 단순한 파동으로 표현하는 수학의 먼 영역인 조화 분석의 기술을 개선했습니다. 그러나 이러한 기술 중 일부는 이와 동일한 문제를 해결하기 위해 처음 개발되었습니다.

점 사이의 거리에 관한 이 질문은 "고조파 분석의 가장 큰 아이디어를 위한 놀이터 역할을 했습니다"라고 말했습니다. 알렉스 이오세비치 로체스터 대학교의.

비록 그들이 1985년 논문에서 Falconer가 남긴 격차의 절반만 메웠지만, 수학자들은 최근의 급증한 연구를 완전한 추측이 마침내 도달할 수 있다는 증거로 보고 있습니다. 그 동안 그들은 이 문제를 가장 정교한 도구에 대한 테스트 장소로 계속 사용할 것입니다.