견목 바닥의 칸막이가 어떻게 이렇게 깔끔하게 맞물리는지, 또는 욕실 깔개 아래의 육각형이 어떻게 완벽하게 만나는지 감탄한 적이 있습니까? 이것들은 기하학적 타일링, 공간을 채우면서 서로 꼭 맞는 모양의 배열의 예입니다. XNUMX차원 타일링은 전 세계 대성당과 모스크의 모자이크 예술에서 볼 수 있는 아름다움과 모든 곳의 벽과 바닥에서 그 유용성 때문에 전 세계적으로 존경받고 있습니다.

수학에서 타일링은 종종 규칙적인 패턴으로 높이 평가됩니다. 그러나 수학자들은 불규칙성에서도 아름다움을 찾습니다. 은퇴한 인쇄 기술자가 최근에 발견 된 첫 번째 "비주기적 모노타일" - 반복되지 않는 패턴으로 평면을 채우는 단일 타일. 이 큰 발견을 이해하기 위해 간단한 문제인 줄 바둑판식 배열 방법에 대해 생각해 보겠습니다.

줄 채우기 타일이 서로 달라붙어 시퀀스를 형성하는 문자라고 상상해 봅시다. 타일을 배치하기 위해 채택한 타일과 규칙을 통해 양방향으로 무한히 이어지는 일련의 문자를 생성할 수 있다면 "선을 타일링"할 수 있습니다. 예를 들어 A와 B라는 두 개의 타일이 있고 두 타일을 결합하는 두 가지 규칙이 있다고 가정해 보겠습니다.

1. A 옆의 양쪽에는 B만 놓을 수 있습니다.
2. B 옆에는 A만 놓을 수 있습니다.

이 타일과 규칙으로 라인을 타일링할 수 있습니까? 전적으로. 먼저 A를 내려 놓았다고 가정합니다.

A

규칙에 따르면 우리는 양쪽에 B를 놓아야 합니다.

BAB

이제 이 B의 양쪽에 A를 넣어야 합니다.

…아바바바바바바…

이러한 타일과 규칙을 사용하면 양방향으로 영원히 계속할 수 있으므로 선을 타일링할 수 있습니다. 사실, 우리는 더 강력한 결론을 내릴 수 있습니다. 이것이 본질적으로 이러한 규칙으로 선을 타일링할 수 있는 유일한 방법입니다. 그게 무슨 뜻인지 봅시다.

대신 B에서 시작했다고 가정합니다.

B

규칙에 따라 양쪽에 A를 표시해야 합니다.

ABA

그런 다음 A의 양쪽에 B가 있는 식입니다.

…바바바바바바바…

이것은 라인의 두 번째 유효한 타일링처럼 보입니다. 그러나 첫 번째와 나란히 비교해 봅시다.

…바바바바바바바…

…아바바바바바바…

타일링을 한 타일씩 슬라이드하면 두 타일이 완벽하게 일치합니다. 영원히 말입니다.

  …바바바바바바바…

…아바바바바바바…

즉, 변환 후 타일링은 동일합니다. 이는 두 타일링이 동일한 패턴을 따른다는 것을 보여줍니다.

자세히 들여다보면 더욱 흥미로운 사실이 드러납니다. 원본 타일링의 두 복사본으로 시작합니다.

…아바바바바바바…

…아바바바바바바…

이제 두 개의 타일 위로 맨 위 타일을 슬라이드할 때 어떤 일이 발생하는지 살펴보십시오.

     …아바바바바바바…

…아바바바바바바…

원래 타일링은 자체적으로 일치합니다. 변환 후 타일링이 자신과 같을 때 "변환 대칭"이 있습니다. (이것은 두 개의 거울상 반쪽이 서로 반사될 수 있는 경우 "반사 대칭"을 갖는 물체와 같습니다.)

병진 대칭은 타일링이 실제로 반복해서 반복되는 하나의 패턴임을 보여줍니다. 이 경우, …ABABABABABABA… 라인의 타일링은 XNUMX타일 패턴 AB의 무한히 많은 변환된 사본으로 생각할 수 있습니다.

AB

ABAB

아바브AB

이것은 병진 대칭이 있는 선 타일링의 간단한 예입니다. XNUMX차원에는 이 속성을 가진 평면의 타일링에 대한 친숙한 예가 많이 있습니다.

위의 각 경우에서 원본과 정확히 일치하도록 전체 타일링을 어느 정도 번역할 수 있습니다.

선의 타일링과 마찬가지로 병진 대칭이 있는 이 XNUMX차원 타일링은 반복해서 반복되는 하나의 패턴으로 생각할 수 있습니다. 예를 들어 단일 육각형은 모든 방향으로 확장됩니다.

정삼각형 타일링에서 이것을 보려면 삼각형이 함께 모여 육각형을 형성하고 그 육각형이 평행이동에 의해 계속해서 반복된다고 상상해보세요.

평면의 삼각형, 육각형 및 정사각형 타일링은 모두 단일 타일의 무한히 많은 복사본으로 구성되기 때문에 모두 "단면체"입니다. 아래와 같이 여러 타일을 사용하여 평면을 타일링하는 방법도 많이 있습니다(및 많은 욕실 바닥).

그러나 줄 바둑판 식 배열로 돌아가 봅시다. 우리가 만들어야 할 중요한 차이점이 있습니다.

타일 ​​A와 B에 대해 다음과 같은 새로운 규칙을 고려하십시오.

1. A 옆에 A 또는 B를 둘 수 있습니다.
2. B 옆에는 A만 놓을 수 있습니다.

우리는 여전히 이 규칙으로 선을 타일링할 수 있습니까? 대답이 '예'인지 쉽게 알 수 있는 방법은 이전 타일링도 새 규칙 집합을 충족하는지 확인하는 것입니다.

…아바바바바바바…

그러나 새로운 규칙은 더 많은 유연성을 허용하며 이로 인해 선이 더 많이 타일링됩니다.

예를 들어 다음은 새 규칙에서 유효한 구성입니다.

아아아바바

아바바아바압

그리고 이것들은 무한히 많은 방법으로 어느 방향으로든 무한히 확장될 수 있습니다.

선의 새로운 타일링을 많이 제공하는 것 외에도 새로운 규칙을 사용하면 첫 번째 예와 달리 반복하지 않는 타일링을 생성할 수 있습니다. 예를 들어 다음 타일링을 고려하십시오.

...ABAABAAABAAAAB...

여기서 패턴은 무엇입니까? A로 시작한 다음 B를 오른쪽에 배치하고 A를 오른쪽에 XNUMX개 배치한 다음 B를 배치하고 A를 XNUMX개 배치한 다음 B를 배치하고 A를 XNUMX개 배치하는 식입니다. 왼쪽에서 A를 계속 추가합니다.

...아아아아아아아아아아아아아아아아아아아아아아아아아아아아아아

이렇게 하면 모든 것이 일치하도록 번역할 수 없는 타일링이 생성됩니다.

이것을 보는 간단한 방법은 이 타일링에서 가장 왼쪽에 고유한 B가 있다는 것을 관찰하는 것입니다. 그러면 번역 후 어디로 갈까요? 왼쪽으로 번역하면 일치하는 B가 없습니다. 그러나 오른쪽으로 번역하면 왼쪽에서 오는 B가 일치하지 않습니다.

따라서 새로운 규칙은 병진 대칭이 있는 타일링과 그렇지 않은 타일링을 모두 허용합니다. 이와 같이 작동하는 평면의 타일링도 있습니다.

예를 들어, 우리는 이미 병진 대칭이 있는 정사각형 타일링을 보았지만 정사각형을 사용하여 이 속성이 없는 타일링을 구성할 수도 있습니다.

이것은 정육각형을 사용하는 단면체 타일링과는 매우 다른 상황입니다. 그런 타일링에서 반복적인 구조는 피할 수 없다. 타일 ​​자체의 기하학은 타일링이 병진 대칭을 갖도록 강제합니다. 이러한 타일링을 "주기적"이라고 합니다.

대조적으로 사각형은 반복되는 패턴과 그렇지 않은 패턴을 허용합니다. 이것은 수학자에게 자연스럽고 거부할 수 없는 질문으로 이어집니다. 이러한 반복 구조를 갖도록 강요된 평면의 타일링이 있는 경우 이를 피하도록 강제된 타일링이 있습니까? 1960년대에 공식화된 이 질문으로 "비주기적 타일링"에 대한 사냥이 시작되었습니다.

검색을 위해 라인으로 한 번 더 이동합니다. XNUMX차원 공간의 최종 타일링은 특이한 모양의 타일 세트를 사용합니다.

A 타일: A, AA, AAA, AAAA, …

B 타일: B, BB, BBB, BBBB, …

이 타일 세트는 무한합니다. 이것이 속임수처럼 보인다면 당신은 수학자처럼 생각하고 있는 것입니다. 나중에 다시 다루겠지만 지금은 무한히 많은 타일을 함께 모으는 두 가지 규칙이 있습니다.

1. 길이의 A 타일 옆 n, 길이의 B 타일만 넣을 수 있습니다. n 아무 쪽이나.
2. 길이의 B 타일 옆 n, 길이의 A 타일만 넣을 수 있습니다. n 양쪽에 +1.

언제나 그렇듯이 우리의 질문은 이 타일과 규칙으로 라인을 타일링할 수 있습니까? 음, 길이가 1인 A 타일로 시작한다고 가정해 보겠습니다.

A

규칙에 따르면 양쪽에는 길이가 1인 B 타일만 놓을 수 있습니다.

BAB

이제 각 B 옆에 길이가 2인 A 타일을 놓아야 합니다.

AAABAA

그런 다음 길이가 2인 B 타일을 추가합니다.

빠바바바바

등등. 우리가 어느 방향으로든 영원히 계속할 수 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 즉, 이러한 새로운 타일과 규칙으로 선을 실제로 바둑판식으로 배열할 수 있습니다. 그리고 검색과 관련하여 이 타일링에는 병진 대칭이 없습니다. 처음에 배치한 단일 A는 양쪽에서 B로 즉시 둘러싸이고 결과 패턴인 BAB는 다시는 나타나지 않습니다. 타일링을 나타내는 무한히 긴 문자열에서 나타나는 다른 모든 A는 적어도 하나의 다른 A 옆에 있습니다. 즉, BAB 문자열이 갈 곳이 없으므로 이 타일링을 자체적으로 변환할 방법이 없습니다.

이것은 우리가 시작하는 타일에 관계없이 사실입니다. B인 경우 규칙은 즉시 문자열로 이어집니다.

…빠아바아브…

그리고 이전과 마찬가지로 ABA 패턴은 절대 반복되지 않습니다. AAA 같은 것으로 시작해도 똑같은 일이 벌어집니다.

…AAAABBBAAABBBAAAAA…

무엇으로 시작하든 초기 타일은 항상 해당 특정 길이의 유일한 A 또는 B 타일이 되어 병진 대칭이 나타나지 않도록 합니다. 이것은 정확히 우리가 찾던 것입니다. 라인을 타일링할 수 있지만 병진 대칭을 허용하지 않는 일련의 타일 및 규칙입니다.

무한히 많은 타일이 필요한 비주기적 타일링에 만족하지 못할 수 있으며 혼자가 아닐 것입니다. 수학자들이 평면의 비주기적 타일링을 진지하게 찾기 시작했을 때, 그들은 평면을 타일링할 수 있지만 병진 대칭을 가질 수 없는 유한한 타일 세트를 찾고 싶었습니다. 초기 솔루션은 20,426개의 타일을 사용했지만 몇 년 안에 수학자들은 그 수를 XNUMX개로 줄였습니다.

1970년대에 영국의 수학자이자 물리학자인 로저 펜로즈(Roger Penrose)가 그의 이름을 딴 유명한 타일 XNUMX개 세트를 발견하면서 돌파구가 마련되었습니다. 펜로즈 타일은 한 쌍의 단순한 사변형으로, 신중한 규칙 세트를 사용하여 병진 대칭을 허용하지 않고 평면을 타일링합니다.

XNUMX타일 비주기적 타일링을 개선할 수 있는 유일한 방법이 있으므로 수학자, 애호가 및 예술가들은 그 자체로 모든 작업을 수행할 비주기적 "모노타일"을 찾기 시작했습니다.

지난 XNUMX월 David Smith가 그것을 발견했습니다. 이것은 최초의 비주기적 모노타일로 알려진 "모자"입니다.

레크리에이션 수학자, 예술가 및 타일링 애호가 인 Smith는 많은 수학이 발견되는 방식으로 모자를 발견했습니다. Smith는 나중에 연구원 Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss 및 Joseph Samuel Myers와 연결하여 이것이 실제로 오랫동안 추구된 비주기적 모노타일임을 함께 확인했습니다.

어떤 것이 평면에 타일을 붙일 수 있지만 병진 대칭을 가질 수 없다는 것을 증명하는 것은 쉬운 일이 아니지만 그들이 사용한 기술 중 일부는 우리의 간단한 예에서 암시됩니다. 예를 들어, 정삼각형이 평면을 타일링할 수 있음을 보여주는 한 가지 방법은 이들이 함께 모여 더 큰 구조(이 경우 평면을 타일링하는 것으로 알려진 육각형)를 형성한다는 것을 알아차리는 것입니다. 모자 타일은 또한 함께 모여 더 크고 규칙적인 구조를 형성하며, 이는 평면을 타일링하는 방법을 이해하는 데 사용할 수 있습니다.

선의 비주기적 타일링에는 반복 패턴이 없을 수 있지만 오른쪽으로 이동함에 따라 확장되는 패턴이 있습니다. 먼저 AB, 그 다음에는 AABB, 그 다음에는 AAABBB, 그 다음에는 AAAABBBB 등이 표시됩니다. 이것은 일종의 자기 유사성(변화하는 축척에서 반복되는 패턴)으로, 특정 타일링이 자체적으로 변환될 수 없다는 것을 보여주기 위해 때때로 사용될 수 있습니다. 그렇게 하면 길이가 왜곡되기 때문입니다.

이 그룹은 함께 작업하면서 모자 타일과 거울 이미지만 사용하여 평면을 타일링할 수 있지만 병진 대칭으로는 타일링할 수 없음을 증명했습니다. 그리고 다른 타일 세트를 사용한 다른 시도와 달리 이것은 특별한 규칙이 필요하지 않았습니다. 타일 ​​자체가 비주기성을 강요했습니다. 지오메트리를 더 깊이 파고들면서 더 많은 솔루션을 발견했습니다. 모자는 실제로 비주기 타일의 무한한 제품군 중 하나입니다!

비주기적 모노타일에 대한 검색이 끝난 것으로 보입니다. 아니면 가지고 있습니까? 평면을 비주기적으로 모자로 타일링할 때 반사도 필요합니다(타일을 뒤집으면 얻을 수 있는 것). 거울 이미지가 필요하지 않은 아직 발견되지 않은 비주기적 모노타일이 있을 수 있습니다. 그것을 찾으면 유명해질 것입니다. 영감은 바로 발 아래에 있을 수 있습니다.

수정: 23년 2023월 XNUMX일

이 칼럼은 정삼각형의 단면체 타일링에서 반복 구조를 피할 수 있다는 사실을 반영하여 수정되었습니다.