반복이 항상 단조로울 필요는 없습니다. 수학에서 그것은 어리둥절할 정도로 복잡성을 생성할 수 있는 강력한 힘입니다.

수십 년 동안 연구한 후에도 수학자들은 가장 기본적인 "동적 시스템"인 매우 간단한 규칙의 반복 실행에 대한 질문에 답할 수 없다는 것을 알게 되었습니다. 그러나 그렇게 하려고 노력하면서 그들은 이러한 규칙과 겉보기에 멀리 떨어져 있는 것처럼 보이는 다른 수학 영역 사이의 깊은 연관성을 발견했습니다.

예를 들어 Mandelbrot 집합은 다음과 같습니다. 쓴 지난 달에는 방정식으로 설명된 함수군이 어떻게 나타나는지 보여주는 지도가 있습니다. f(x) = x² + c — 다음의 값으로 동작합니다. c 소위 복합 평면(complex plane)에 걸쳐 있습니다. (직선에 배치할 수 있는 실수와 달리 복소수에는 두 개의 구성요소가 있으며, 이는 x- 과 y-2차원 평면의 축.)

만델브로 집합을 아무리 확대해도 항상 새로운 패턴이 제한 없이 나타납니다. “이렇게 단순한 규칙에서 이렇게 매우 복잡한 구조가 나온다는 사실이 지금도 나에게는 정말 충격적입니다.”라고 말했습니다. 매튜 베이커 조지아 공과 대학의. "이것은 20세기의 정말 놀라운 발견 중 하나입니다."

만델브로 집합의 복잡성은 부분적으로 그 자체가 복잡한 숫자로 정의되기 때문에 나타납니다. 그러나 아마도 놀랍게도 그것이 전부는 아닙니다. 경우에도 c 예를 들어 -3/2와 같은 간단한 실수라면 모든 종류의 이상한 현상이 발생할 수 있습니다. 방정식을 반복적으로 적용하면 어떤 일이 일어날지 아무도 모릅니다. f(x) = x² – 3/2, 반복이라는 프로세스에서 각 출력을 다음 입력으로 사용합니다. 다음부터 반복을 시작하면 x = 0(XNUMX차 방정식의 "임계점")인 경우 결국 반복되는 값의 순환으로 수렴하는 수열을 생성할지, 아니면 계속해서 혼란스러운 패턴으로 끝없이 튀어오르는 수열을 생성할지 확실하지 않습니다.

값의 경우 c –2보다 작거나 1/4보다 크면 반복이 빠르게 무한대로 늘어납니다. 하지만 그 간격 안에는 무한히 많은 값이 존재합니다. c 혼란스러운 행동을 일으키는 것으로 알려져 있으며 –3/2와 같이 "초구체적임에도 불구하고 무슨 일이 일어나는지 알 수 없습니다"와 같은 경우가 무한히 많습니다. 줄리오 티오초 토론토 대학의.

하지만 1990년대 스토니브룩 대학교 수학자 미샤 류비치, Mandelbrot 집합에 대한 내 보고서에서 두드러지게 등장한 사람은 증명 –2와 1/4 사이의 간격에서 대부분의 값은 c 멋진 "쌍곡선" 동작을 생성합니다. (수학자 Jacek Graczyk과 Grzegorz Swiatek 독립적으로 증명됨 같은 시간에 결과가 나옵니다.) 이는 해당 방정식이 반복될 때 단일 값 또는 반복되는 숫자 주기로 수렴된다는 것을 의미합니다.

10년 후, 세 명의 수학자들은 대부분의 가치가 다음과 같다는 것을 보여주었습니다. c 는 이차방정식에 대해서뿐만 아니라 쌍곡선입니다. 실수 다항식의 가족 (다음과 같이 거듭제곱된 변수를 결합하는 보다 일반적인 함수 x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). 그리고 지금 그 중 하나는, 세바스티안 반 스트리엔 임페리얼 칼리지 런던(Imperial College London)의 교수는 사인, 코사인 및 지수 함수를 포함하는 실수 분석 함수라고 불리는 훨씬 더 광범위한 종류의 방정식에 대한 이러한 속성에 대한 증거를 가지고 있다고 믿습니다. Van Strien은 5월에 결과를 발표하기를 희망하고 있습니다. 동료 검토 후에도 유지된다면 실제 1차원 시스템의 작동 방식에 대한 특성화에 큰 진전이 있을 것입니다.

있을 법하지 않은 교차점과 엔트로피 베이글

0부터 반복할 때 숫자의 반복 순환을 생성하는 것으로 알려진 실수 이차 방정식은 무한히 많습니다. 하지만 제한한다면 c 유리수 값(분수로 쓸 수 있는 값)에는 결국 0, -1 및 -2의 세 가지 값만 주기적 시퀀스를 생성합니다. "이러한 동적 시스템은 매우 특별합니다."라고 말했습니다. 클레이튼 페체 오리건 주립대학교 출신.

In 종이 작년에 출판된 Petsche와 챠차이 노이타팀 워털루 대학교의 연구 결과는 언뜻 보이는 것보다 훨씬 더 특별하다는 것을 증명했습니다. 수학자들은 실수보다 더 제한적이지만 유리수보다는 덜 제한적인 "완전한 실수" 숫자를 조사했습니다.

숫자를 다항식에 연결하여 2의 출력을 얻으면 해당 숫자는 다항식의 해 또는 근이 됩니다. 예를 들어, XNUMX는 다음의 루트입니다. f(x) = x² -4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30, 그리고 무한히 많은 다른 방정식. 이러한 다항식은 실수 근 또는 복소 근을 가질 수 있습니다. (예를 들어, x² + 1은 –1의 제곱근이며 다음과 같이 표시됩니다. i, 그리고 -i — 둘 다 복소수입니다.)

실수 근만 갖는 정수 계수를 갖는 다항식을 만족하는 숫자는 완전히 실수입니다. 모든 유리수는 완전히 실수이지만 일부 무리수도 마찬가지입니다. 예를 들어, $latex sqrt{2}$는 다음과 같은 솔루션이기 때문에 완전히 실제입니다. f(x) = x² – 2, 실제 루트($latex sqrt{2}$ 및 "자매" 루트 $latex -sqrt{2}$)만 있습니다. 그러나 2의 세제곱근 $latex sqrt[3]{2}$은 완전히 실제가 아닙니다. 에 대한 해결책입니다 f(x) = x³ – 2는 갈루아 공액이라고도 알려진 두 개의 자매근이 추가로 있는 착물입니다.

Petsche와 Noytaptim은 결국 주기적인 주기를 생성하는 비합리적인 완전 실수가 없다는 것을 증명했습니다. 오히려 0, -1, -2가 이 작업을 수행하는 유일한 실수입니다. 이는 겉보기에 다른 두 세계, 즉 정수론(정수 연구)과 동적 시스템의 속성 간의 가능성 없는 교차점을 나타냅니다. Petsche와 Noytaptim은 정수론의 중요한 결과를 증명에 사용하여 두 분야 간의 연관성을 강조했습니다.

수학자 자비에르 버프 과 사라 코흐 발견 또 다른 예상치 못한 교차로. 그들은 단지 4개의 완전한 실수 값만이 있음을 보여주었습니다. c — 1/4, –3/4, –5/4 및 –7/4 — 포물선 순환이라는 잘 알려진 특정 유형의 시퀀스를 생성합니다.

갈루아 접합체는 또한 복소 평면에서 빛나는 프랙탈 고리인 "엔트로피 베이글"이라고 불리는 신비한 물체를 발견하는 길을 열었습니다. 엔트로피는 무작위성의 척도입니다. 이러한 맥락에서 반복을 통해 생성된 숫자의 순서를 예측하는 것이 얼마나 어려운지 측정합니다. x² + c. 에서 그가 쓴 마지막 논문 유명한 위상학자인 William Thurston은 2012년에 죽기 전에 거의 XNUMX억 개의 서로 다른 실제 값에 해당하는 엔트로피 값 세트를 그래프로 표시했습니다. c — 복소수일 수 있는 엔트로피 값의 갈루아 공액과 함께. 엔트로피의 개념은 "실제 선상에 있지만 어쨌든 복잡한 세계의 그림자를 여전히 볼 수 있습니다"라고 Tiozzo는 말했습니다.

"이것이 놀라운 레이스 모양의 프랙탈 구조로 조직화되고 있는 것을 볼 수 있습니다"라고 Koch는 말했습니다. “정말 멋지네요.” 엔트로피 베이글은 실수 2차 방정식의 반복에서 나타나는 매우 복잡한 패턴 중 하나일 뿐입니다. “우리는 실제 이차 다항식에 관한 모든 마법 같은 진술, 즉 작은 보석을 여전히 배우고 있습니다.”라고 그녀는 덧붙였습니다. "당신은 언제든지 되돌아가서 자신이 아주 잘 알고 있다고 생각했던 이 사실에 놀랄 수 있습니다."