무한대라는 개념은 아마도 숫자만큼이나 오래되었을 것입니다. 사람들이 영원히 셀 수 있다는 것을 처음 깨달은 때로 거슬러 올라갑니다. 그러나 무한대에 대한 기호가 있고 일상적인 대화에서 그 개념을 언급할 수 있음에도 불구하고 무한대는 수학자에게도 심오한 신비로 남아 있습니다. 이 에피소드에서 Steven Strogatz는 동료 수학자와 대화를 나눕니다. 저스틴 무어 어떻게 한 무한대가 다른 무한대보다 더 클 수 있는지(그리고 그들 사이에 중간 무한대가 없다고 확신할 수 있는지 여부)에 대한 Cornell University의 강의. 그들은 또한 물리학자와 수학자들이 무한대를 다르게 사용하는 방법과 수학의 기초에서 무한대의 중요성에 대해 논의합니다.

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성적 증명서 

스티븐 스트로 가츠 (00:03): 저는 Steve Strogatz입니다. 이유의 기쁨, 팟캐스트 Quanta Magazine 그것은 오늘날 수학과 과학의 가장 큰 답이 없는 몇 가지 질문으로 당신을 데려갑니다.

(00:13) 이 에피소드에서는 무한대에 대해 논의할 것입니다. 무한대라는 개념이 어디서 왔는지는 아무도 모르지만, 영원히 계속될 수 있는 일에 대한 사람들의 희망과 두려움만큼이나 오래된 것임에 틀림없습니다. 그들 중 일부는 바닥이없는 구덩이처럼 무섭고 일부는 끝없는 사랑처럼 고양됩니다. 수학에서 무한대라는 개념은 아마도 숫자만큼이나 오래되었을 것입니다. 일단 사람들이 1, 2, 3 등으로 영원히 계속 셀 수 있다는 것을 깨달았습니다. 그러나 무한은 아주 오래된 생각이지만 여전히 심오한 신비로 남아 있습니다. 사람들은 적어도 고대 그리스의 Zeno와 Aristotle 이후 수천 년 동안 무한대에 대해 머리를 긁적였습니다.

(00:57) 하지만 오늘날 수학자들은 무한대를 어떻게 이해합니까? 무한대 크기가 다른가요? 무한대는 수학자에게 유용합니까? 그렇다면 정확히 어떻게? 그리고 이 모든 것이 수학 자체의 기초와 무슨 관련이 있습니까?

(01:14) 오늘 저와 함께 무한대에 대해 논의하는 사람은 Cornell의 수학 교수인 Justin Moore입니다. 그의 연구 관심 분야는 집합론, 수학적 논리, 무한 조합론 및 토폴로지, 함수 분석 및 대수와 같은 수학의 다른 분야에 대한 응용을 포함합니다. 환영합니다, 저스틴.

저스틴 무어 (01:33): 안녕, 스티브. 초대해주셔서 감사합니다.

스트로가츠 (01:35): 네, 당신과 이야기하게 되어 매우 기쁩니다. 전체 공개를 위해 저스틴은 코넬 수학과의 제 친구이자 동료입니다. 좋아요, 그럼 우리는 수학자들이 그것에 대해 생각하는 것처럼 무한대에 대해 생각하기 시작합니다. 사실, 아마도 우리가 수학 부분으로 뛰어들기 전에 현실 세계에 대해 잠시 이야기합시다. 자, 당신이 한때 물리학의 세계에서 훈련을 받았다는 것이 맞습니까?

무어 (02:02): 네, 제가 학부생일 때 수학과 물리학을 복수전공했습니다. 나는 물리학에 지쳤습니다. 나는 물리학을 선호하기 시작했고 또한 수학에 좀 더 취미로 관심을 갖기 시작했습니다. 그리고 어떻게든 그 과정을 통해 수학과 물리학에 더 관심을 갖게 되었습니다.

스트로가츠 (02:18): 알겠습니다. 음, 무한의 물리학은 어떻습니까? 말이 되나요? 우리가 알고 있는 현실 세계에 무한한 것이 있습니까?

무어 (02:26): 알다시피 이 동영상을, 10의 힘, Charles와 Ray Eames가 만든 것입니까? 기본적으로 매 10초마다 여러분은 10의 거듭제곱이 작아집니다. 음, 처음에는 10의 거듭제곱이 더 크다고 생각합니다. 축소합니다. 그런 다음 10초마다 10의 거듭제곱이 작아지고 우주의 가장 큰 규모에서 가장 작은 규모의 아원자 입자까지 내려갑니다. 아시다시피 이것은 70년대 말이나 80년대 초에 만들어졌습니다. 그 이후로 어떤 것에 대한 우리의 이해가 조금씩 발전했다고 생각합니다. 하지만 엄청나게 발전한 것은 아닙니다. 하지만 요점은 가장 작은 길이 척도에서 가장 큰 길이 척도를 분리하는 약 40의 10의 거듭제곱이 있다는 것입니다. 하지만 물리학에서 측정할 수 있는 것 중 10보다 큰 것은 없다고 말하는 것이 타당합니다.¹⁰⁰ 또는 10²⁰⁰ 또는 그런 것.

(03:22) 그리고 사물이 연속적이라는 개념(연속적인 움직임이든 뭐든지)은 모두 환상일 수도 있습니다. 아마도 모든 것이 정말 세분화되고 유한할 것입니다. 그러나 사실은 물리학자들이 사물이 매끄럽고 연속적이며 그 무한성이 의미가 있다고 상상함으로써 우리가 살고 있는 세상에 대해 많은 것을 발견했다는 것입니다. 아직 공식화되지 않은 물리학 부분에 들어갈 때 수학자들이 이것에 대해 가지고 있는 많은 문제는 물리학자들에게 귀결되는 것은 다양한 종류의 무심한 방식으로 무한대를 다루고 무한대에서 무한대를 빼는 것입니다. , 그리고 아마도 수학자들이 원하는 만큼 그것에 대한 책임이 없을 수도 있습니다. 정말 논란의 여지가 있는 발언이 아닌가 싶습니다. 제 생각에 물리학자는 – 대부분의 물리학자들은 아마도 – 제 말은, 좋아요, 아마도 당신이 더 잘 알 것입니다. 그러나 나는 대부분의 물리학자들이 그것이 상당히 정확한 진술이라고 말할 것이라고 믿습니다.

스트로가츠 (04:20): 그래서, 당신 자신의 개인적인 이야기에 관해서는 – 나는 이것에 대해 당신을 당황하게 할 만큼 깊이 들어가지 않을 것이라고 약속합니다 – 하지만 당신을 무한대로 이끈 것은 무엇이었습니까? 물리학이 당신에게 너무 작게 느껴졌나요? 아니면 수학의 엄격함을 좋아하거나...?

무어 (04:33): 내 말은, 집합론에 구체적으로 관심을 갖기 전에 수학 전체에 관심을 갖고 물리학에서 멀어진 것 같아요. 아이러니하게도, 그것은 제가 — 음, 여러분이 물리학 수업을 듣는다면, 어느 시점에서 여러분은 결국 수학에 상당히 빠르고 느슨해지게 되기 때문입니다. 그리고 당신은 그것에 대해 괜찮거나 그렇지 않습니다. 나는 그것에 동의하지 않는 사람들 중 하나였습니다.

스트로가츠 (04:56): 허. 그리고 나는 괜찮은 사람이었고 여전히하고 있습니다. 알다시피, 내 말은, 그런 것들이 저를 크게 걱정시키지는 않았지만, 저는 순수 수학자들이 가지고 있는 지적 성실성을 존중하지만, 이런 것들에 대해 걱정합니다.

(05:11): 좋아요, 그럼 제가 그저 호기심 많은 XNUMX대처럼 잘 모르고 무한이 무엇인지도 모른다고 가정해 보겠습니다. 그것이 무엇이라고 말하겠습니까? 아주 큰 숫자라고 생각해야 할까요? 뭔가 상징인가요? 재산입니까? 무한대가 무엇인지 생각하는 좋은 방법은 무엇입니까?

무어 (05:26): 예, 내 말은, 제 생각에는 — 선의 끝에서 이상화된 지점이 될 수 있습니다, 알았죠? 공식적인 상징이 될 수 있습니다. 알다시피, 일종의 방식으로 생각할 수 있습니다. -1을 도입한다고 말하는 것과 같은 의미의 공식적인 기호입니다. 맞습니까? 그리고 제가 어렸을 때 교사들은 음수에 대해 이야기하는 것이 안전한지 명확하게 밝히려고 하지 않았던 것을 기억합니다. 그리고, 맞다, 돌이켜 보면 어리석게 들리겠지만, 어느 정도 현실 세계에 -1이 존재하는가? 하지만 공식적으로 조작할 수 있고 일정 수준에서 공식적으로 무한대를 조작할 수 있지만 조금 더 주의를 기울여야 합니다. 당신은 또한 무언가가 얼마나 많은지를 정량화하는 수단으로 무한대를 사용할 수 있습니다. 그리고 그것은 거기에 더 많은 문을 열어줍니다. 왜냐하면 당신은 무한한 집합이 있고 그 중 일부는 다른 것보다 더 크다고 말할 수 있기 때문입니다.

스트로가츠 (06:15): 알겠습니다. 괜찮은. 그래서 당신은 "집합"이라는 단어를 언급했고, 우리는 확실히 오늘 집합에 대해 많이 이야기할 것입니다. 나는 당신의 관심사가 집합론을 포함한다고 말했습니다. 집합이 의미하는 바에 대해 더 말하고 싶습니까?

무어 (06:26): 제 생각에는... 답은 예이기도 하고 아니오이기도 합니다. 그래서 제 생각에는 바지 옆으로 날아가서 그것을 정의되지 않은 개념으로 보고 일종의 직관적으로 사용하는 것이 괜찮다고 생각합니다. 그러나 그것은 또한 수학의 기초를 제공하는 메커니즘으로 사용되기도 했습니다. 사람들이 우리가 수학이 무엇인지에 대한 신중한 기초가 필요하다는 것을 깨달았을 때 말입니다.

스트로가츠 (06:49): 어 허. 그 흥미 롭군요. 왜냐하면 저는 어린아이처럼 손가락으로 세는 법을 배우거나 부모님이 단어를 말하기 시작한 다음 물건을 가리키며 "1, 2, 3..."이라고 말할 수 있기 때문입니다. 그들이 아주 작을 때 그렇게, 알아, 그렇지? 내 말은, 어린 자녀나 친척이 있는 경우입니다. 그래서 그런 측면이 있습니다. 그리고 대부분의 사람들은 숫자가 수학의 기초라고 상상할 것입니다. 하지만 대부분의 수학자들이 동의할 것이라고 생각합니다. 숫자보다 더 깊은 무언가가 있다는 것입니다. 바로 이 집합의 개념입니다. 맞습니까?

무어 (07:22): "집합"이라는 개념은 매우 기본적이고 원시적이기 때문에 기본 개념으로 나온 것 같습니다. 만약 그렇다면, 수학의 구조로 사용할 무언가를 갖고 싶다면 기본 속성이 매우 원시적으로 보이는 것으로 시작한 다음 거기에서 시작하고 싶을 것입니다. 그런 다음 집합을 사용하여 세는 숫자, 유리수, 실수 등과 같은 것을 인코딩한다는 아이디어입니다. 그리고 거기에서 다양체와 같은 더 복잡한 수학적 구성의 모든 종류가 있습니다.

스트로가츠 (07:57): 기억할 수 있습니다. 세서미 스트리트 아이들과 함께 보던 에피소드. 그것은 영화에 있었다; 그랬던 것 같아요. 배고픈 펭귄들로 가득한 방에 생선을 주문하는 캐릭터가 있다는 것. 그리고 그는 펭귄들에게 소리를 지르라고 요청했고 그들은 "물고기, 물고기, 물고기, 물고기, 물고기, 물고기"라고 말했습니다. 그래서 웨이터가 부엌을 향해 “생선, 생선, 생선, 생선, 생선”이라고 외칩니다. 그리고 나서 다른 누군가가 "아니요, 당신이 틀렸어요."라고 말합니다. 그리고 또 다른 누군가가 "글쎄요, 왜 방금 그들이 여섯 마리의 물고기를 주문했다고 말하지 않았나요?"라고 말합니다. 그러나 그것은 이 물고기의 수집물 다음에 나오는 여러 종류의 아이디어라는 점을 지적합니다. 그러자 또 다른 캐릭터가 놀라며 “점화 플러그에도 통하는 건가요? 그리고 시나몬 롤?”

무어 (08:42): 내 말은, 제 생각에도 이해하려는데 관심이 있다면 이것을 증명할 수 있습니까? 아니면 그것을 증명할 수 있습니까? 그리고 당신은 당신이 어떤 것을 증명할 것인지에 대한 규칙을 설정하려고 노력하고 있습니다. 당신은 기본 원칙이 가능한 한 단순하기를 원합니다. 따라서 산술이 작동하는 방식에 대한 규칙을 작성하려고 하기보다는 더 단순한 규칙을 작성하는 것으로 시작하여 이러한 더 기본적인 빌딩 블록으로 산술을 구축합니다.

스트로가츠 (09:08): 알겠습니다. 그렇다면 이것은 60년대에 어린 시절 우리가 교차점과 벤 다이어그램 및 합집합에 대해 배우던 "새로운 수학"을 생각나게 합니다. 맞습니까? 그것이 집합론의 시작이었다. 그들은 그것을 우리에게 가르쳤습니다 – 기억이 나지 않습니다 – 그것은 XNUMX학년이나 XNUMX학년이었습니다. 부모님은 이유를 몰랐습니다. 하지만 아이들이 산술을 배우기 전이나 동시에 집합을 배워야 한다고 생각한 사람들은 당신과 같은 유형의 수학자들이었을 것입니다.

무어 (09:33): 예, 사람들이 집합론에서 연구하는 대부분은 요즘 무한 집합이 작동하는 방식입니다. 무한 집합에 대한 우리의 직감은 유한 집합에 대한 우리의 직감만큼 좋지 않기 때문입니다. 그리고 그것이 재단에 대한 원동력이 있었던 이유라고 생각합니다. 그것은 부분적으로 우리가 적어두고 싶기 때문입니다. 좋습니다. 우리는 무한 집합과 일반적으로 집합의 속성이 무엇인지 상당히 확신하고 거기에서 무한 집합에 대해 참인 것을 개발하려고 시도합니다.

스트로가츠 (10:03): 알겠습니다. 그럼 몇 가지 예를 살펴보겠습니다. 무한 집합인 것의 몇 가지 예를 말씀해 주시겠습니까?

무어 (10:08): 음, 자연수처럼요. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 등과 같이 말씀하신 것처럼 유리수 같은 것도 있습니다. 알다시피, 서로에 대한 두 개의 자연수와 같은 분수 또는 아마도 음수 분수입니다. 그러나 실수와 같은 것들도 있습니다. 파이와 같은 것을 포함하여 소수로 표현할 수 있는 모든 것입니다. e.

스트로가츠 (10:28): 음-흠. 그래서 그들은 소수점 뒤에 무한히 많은 숫자를 가질 수 있습니다.

무어 (10:32): 예, 예, 무한히 많은 숫자입니다. 반복할 필요가 없습니다.

스트로가츠 (10:35): 어 허. 숫자뿐만 아니라 도형이나 점, 기하학적인 것들은 어떻습니까?

무어 (10:41): 예, 기하학적 모양 모음에 대해서도 이야기할 수 있습니다.

스트로가츠 (10:45): 좋습니다. 이것은 집합의 좋은 기능입니다. 집합을 사용하여 산술, 기하학 등에 대해 이야기하기 위한 공통 언어를 통합하거나 적어도 가질 수 있다는 것입니다.

무어 (10:54): 맞습니다.

스트로가츠 (10:55): 미적분학 전 과정을 듣는다면 일련의 함수에 대해 이야기할 수 있을 것 같습니다. 우리가 미적분 과정에 있다면 연속 함수 집합처럼요.

무어 (11:04): 물론이죠. 응.

스트로가츠 (11:05): 아니면 뭐든지. 예, 이것은 우리에게 수학의 모든 다른 부분에 대한 공통 언어를 제공합니다.

무어 (11:09): 맞습니다.

스트로가츠 (11:10): 그리고 — 하지만 전반적인 수학 역사 측면에서 볼 때 수학의 기초로서 비교적 새로운 아이디어입니다. 그렇지 않나요?

무어 (11:16): 예, 내 말은, 저는… 음, 우리가 알고 있는 현대 수학은 약 100년에서 150년 사이입니다. 그러나 저는 보통 그것을 관련시킵니다. 지난 세기의 첫 번째 부분은 오늘날 우리가 알고 있는 수학의 모든 주요 부분이 발전하기 시작하고 실제로 고유한 주제가 되는 것을 보기 시작했을 때였습니다. 그리고 그것은 [Bertrand]Russell이 그의 역설을 발견한 것과 거의 같은 시기였습니다. 그것은 수학에 대한 일종의 엄격한 기초에 대한 필요성에 박차를 가했습니다.

스트로가츠 (11:49): 어, 허. 우리는 언급해야합니다 — 예. 그래서 우리가 지금 이야기하고 있는 버트런드 러셀은 종종 철학자나 평화주의자로 더 잘 알려져 있습니다. 하지만 그는 꽤 강력한 수학자이자 논리학자였으며 수학의 일부로서 논리에 관심이 있는 사람이었습니다.

무어: 네, 네.

스트로가츠 (12:04): 그래서 당신이 말했듯이, 그는 집합론이 실제로 굴러가도록 도운 사람 중 한 명이었습니다. 그리고 그 이전에도 이 신사가 있었습니다. 게오르그 칸토어, 1800년대 후반 독일에서 꽤 많이 이야기하게 될 사람입니다.

(12:17): 알겠습니다. 그렇다면 수학에서 수학자들은 어떻게 무한대를 사용합니까? 얼마나 도움이 될 수 있는지 언급하셨습니다. 어디에서 사용됩니까?

무어 (12:27): 예, 미적분 수업에서 특정 계산을 수행하는 데 유용한 기호입니다. 입력이 매우 커질 때 함수가 어떻게 작동하는지에 대해 이야기합니다. 무한대의 극한이나 숫자가 XNUMX이나 무한대로 가는 양의 비율 등에 대해 이야기할 수 있습니다. 그것은 제가 언급한 첫 번째 의미의 일종의 무한대 개념입니다. 여기서 무한대는 선의 끝에서 이상화된 점으로 간주됩니다.

(12:53) 그러나 이에 대해 다음과 같이 말할 수도 있습니다. 알다시피, 일부 컬렉션 또는 일부 집합의 요소 수를 세고 해당 요소가 얼마나 유한한지 추적하는 것에 대해 이야기할 수 있습니다. 요소가 무한히 많은 경우 서로 다른 크기의 무한대를 구별하려고 합니다. 내 말은, 모든 사람이 유한함과 무한함의 차이를 이해하거나 이해하는 척합니다. 그리고 나는 생각한다 칸토어의 놀라운 발견 무한한 집합에 대해 더 많은 구별을 할 수 있다는 것입니다. 셀 수 있는 것과 셀 수 없는 것 사이를 구분할 수 있습니다. 또는 일반적으로 다른 셀 수 없는 추기경 사이의 구별보다 셀 수 없는 추기경이 더 높습니다.

스트로가츠 (13:34): 자, 그럼 거기로 갑시다. 이것이 바로 우리를 주제의 핵심으로 데려가는 것이기 때문입니다. "가산"이라는 단어를 처음 듣는 보통 사람은 10이 있는 것과 같이 문자 그대로 셀 수 있다는 의미라고 생각할 수 있습니다. 테이블에 점화 플러그가 10개 있으면 셀 수 있습니다. 1, 2, 3 , 최대 10. 하지만 당신과 다른 수학자들은 그것과는 조금 다른 것을 의미하기 위해 셀 수 있는 것을 사용합니다.

무어 (13:56): 자연수가 두 번 사용되지 않도록 집합의 각 요소에 자연수를 할당할 수 있음을 의미합니다.

스트로가츠 (13:56): 따라서 무언가는 셀 수 있고 무한할 수 있습니다.

무어 (13:57): 그리고 무한합니다. 따라서 자연수는 스스로 셀 수 있기 때문에 분명히 셀 수 있습니다. 하지만 조금 덜 분명한 것은 자연수의 음수를 포함하는 정수는 셀 수 있다는 것입니다.

스트로가츠 (14:18): 잠시 그것에 대해 이야기해 봅시다. 따라서 사람이 전에 그것에 대해 생각해 본 적이 없다면 그것은 흥미 롭습니다. 왜냐하면 당신이 말했듯이, 당신은 모든 숫자, 모든 양의 정수, 모든 음의 정수 및 XNUMX을 고려할 것입니다.

무어 (14:29): 네.

스트로가츠 (14:30): 그리고 잘못할 수도 있습니다. 예를 들어 0에서 시작하여 오른쪽으로 세기 시작하여 1, 2, 3, XNUMX이 되면 절대 음수로 돌아가지 않습니다. 그래서 당신은 모든 정수를 세는 데 실패했을 것입니다.

무어 (14:41): 네.

스트로가츠: 하지만 대신에 무엇을 해야 합니까?

무어: 당신이 할 수 있는 것은 셀 수 있습니다, 알다시피, 0, 1, -1, 그리고 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5. 그리고 이런 식으로 나열하면 결국 모든 것을 나열하게 됩니다.

스트로가츠 (14:55): 아름다워. 긍정적인 면과 부정적인 면 사이를 오가는 이 지그재그형 논쟁은 어떤 정수를 생각하면 결국 목록에 올 것이라는 것을 보여주는 훌륭하고 조직적이며 체계적인 방법입니다.

무어: 응. 응.

스트로가츠(15:07): 좋습니다. 좋습니다. 그래서 정수는 셀 수 있습니다. Cantor는 또한 셀 수 있는 몇 가지 다른 것들을 발견했습니다. 그가 놀랐는지 모르겠지만 우리가 처음 그것에 대해 배울 때 많은 사람들이 놀랐습니다. 어때요?

무어 (15:21): 예, 놀라운 두 가지 좋은 예가 있다고 생각합니다. 첫 번째는 합리적입니다. 따라서 두 정수의 모든 분수 모음은 셀 수 있습니다. 분모가 1이거나 분자와 분모의 절대값이 최대 1인 모든 분수를 나열할 수 있기 때문입니다. 그런 다음 최대 2, 최대 3, 최대 4입니다. 그리고 각 단계에서 분자와 분모의 크기가 적어도 n인 분수는 유한하게 많습니다. 그런 다음 그런 식으로 모든 합리성을 소진할 수 있습니다.

스트로가츠 (15:55): 예를 들어, 제가 숫자 n을 3으로 선택했다면 분자와 분모가 더해지기 때문에 1/2, 2/1 또는 0/3과 같은 숫자를 가질 수 있다고 말하는 것입니다. 3시?

무어 (16:06): 네. 다시 말하지만, 또 다른 놀라운 점은 라틴 알파벳이나 원하는 알파벳으로 적을 수 있는 단어의 수를 취하는 것입니다. 이 알파벳에서 나오는 유한한 단어 또는 유한한 기호 문자열은 기껏해야 셀 수 있을 정도로 많습니다. 모든 단어 또는 모든 문장, 모든 문학 작품에 대해 생각한다면, 원한다면 —

스트로가츠: 오오.

무어 (16:30): — 현재 존재할 뿐만 아니라 미래의 어느 시점에 잠재적으로 존재할 수 있는 모든 것. 알다시피, 당신은 그 무한히 많은 원숭이들을 타자기에 놓고 그들이 제한된 시간 안에 생성할 수 있는 출력이 무엇인지 살펴봅니다. 그것은 모두 셀 수 있는 집합일 뿐입니다.

스트로가츠 (16:44): 와우. 그래서 우리가 알고 있는 가능한 모든 언어로 라틴어로 된 모든 가능한 책이 있습니까?

무어 (16:50): 가능한 모든 언어로. 응. 내 말은, 당신이 원한다면 셀 수 있는 알파벳을 가질 수 있다는 것입니다. 그것은 더 큰 것을 만들지 않습니다.

스트로가츠 (16:56): 그래서 셀 수 있는 것은 매우 큰 무한대처럼 보일 것입니다. 그리고 아직 —

무어 (16:59): 네. 첫 번째 놀라운 점은 자연수보다 크게 보이는 집합이 실제로는 자연수와 크기가 같다는 것입니다. 그들은 셀 수 있습니다. 하지만 또 다른 놀라운 사실이 있습니다. 실수는 십진수의 집합으로 셀 수 없다는 것입니다.

스트로가츠 (17:13): 셀 수 없는 집합이 있을 수 있다고 언급한 놀라운 점이 있습니다. 아마도 가장 간단한 예는 다음과 같을 것입니다. 양방향으로 무한대로 가는 선을 생각해 보세요. 무한히 긴 직선과 같습니다. 우리가 부르는 실제 라인. 그것은 셀 수 없습니다.

무어 (17:32): 맞습니다. 만약 당신이 그 줄에 있는 모든 요소들의 목록인 리스트를 나에게 건네준다면, 대각선 인수라는 절차가 있는데, 이것은 당신이 그 줄에 있지만 당신의 목록에는 없는 새로운 점을 생성할 수 있게 해줍니다. 그것은 Cantor의 유명한 발견이었습니다.

스트로가츠 (17:49): 정말 놀라운 발견이었습니다. 당시에는 맞습니까? 이제 갑자기 두 개의 무한 집합에 대해 이야기하고 비교할 수 있습니다.

무어 (17:58): 네, 네. 셀 수 있는 것과 셀 수 없는 것의 구분은 수학에서 정말 유용합니다. 기본적으로 셀 수 있는 집합, 셀 수 있는 무한 길이의 합계에 대해 여전히 말할 수 있습니다. 그것은 XNUMX학기 미적분 과정의 끝인 표준의 끝에서 배우는 것입니다. 셀 수 없는 집합에 대한 합계는 덜 의미가 있거나 최소한 더 섬세한 방식으로 정의해야 합니다. 즉, 적분 또는 그와 유사한 라인을 따라 더 많은 것입니다.

스트로가츠 (18:30): 좋습니다. 이제 우리는 정수(1, 2, 3, 4, 5)처럼 셀 수 있는 것과 선 위의 점처럼 셀 수 없는 것의 구별을 갖게 되었습니다. 우리가 그것에 대해 시간을 할애할 수 있다면 좋을 것 같은 또 다른 질문이 있습니다. 연속체 가설이라고 합니다. 그것이 무엇인지 말씀해 주시겠습니까?

무어 (18:50): 네. 그래서 Cantor는 궁금해했습니다. 사이에 무언가가 있습니까? 알다시피, 자연수는 실수 안에 있고 자연수는 셀 수 있습니다. 실수는 셀 수 없고 자연수보다 큽니다. 자연수보다 크지만 —보다 작은 실수 집합이 있습니까?

스트로가츠 (19:10): 세는 의미에서 더 작습니다.

무어 (19:12): — 선보다 작습니까? 자연수보다 크고 유리수보다 크지만 전체 직선 자체보다 작은 수직선에 점 집합이 있습니까? 그러한 중간 집합이 없다는 주장을 연속체 가설이라고 합니다. 그리고 그것은 연속체 가설이 참인지 거짓인지에 대한 힐베르트의 첫 번째 문제였습니다.

스트로가츠 (19:35): 어허, 힐베르트가 이것의 위대한 수학자였군요. 아마 조금 후세대일 수도 있지만 그리 많지는 않았습니다. 그리고 1900년쯤에 그는 20세기 수학자들이 연구해야 할 미래의 가장 큰 문제 중 일부라고 생각하는 목록을 발표하거나 제공했습니다. 그리고 이것이 그의 목록에서 첫 번째 질문이라고 생각합니까?

무어 (19:58): 네, 이것이 첫 번째 질문이었습니다.

스트로가츠 (20:00): 와. 그래서 이것에 대해 생각하는 것이 컸습니다. Cantor는 그것을 가설이라고 불렀습니다. 그는 사실이 될 것이라고 생각했습니다.

무어네

스트로가츠 (20:07): 그가 이미 알고 있는 그 둘 사이에 끼일 수 있는 무한은 없다는 것

무어 (20:11): 네. 그리고 문제는 반례를 찾는 테스트에서 살아남는다는 것입니다. 제 말은, 여러분이 실수의 모든 세트를 보기 시작한다면, 설명을 적을 수 있거나 어떤 방법으로 구성할 수 있는 라인의 부분 집합입니다. 그는 이것을 시도했습니다. 그리고 그는 반례가 없다는 것을 증명했습니다. 이것 또는 저 유형의 집합이 반례가 될 수 없다고 말하는 초기 정리도 있습니다.

스트로가츠 (20:40): 놀랍군요. 내가 이것을 얻을 수 있는지 확인하겠습니다. 저는 이런 말을 들어본 적이 없습니다. 그들 중 일부가 설명 가능하다는 단순한 사실만으로도 어떤 의미에서는 충분하지 않습니다.

무어 (20:49): 예를 들어 닫힌 집합에는 모든 한계점이 있습니다. Cantor는 이것이 반례가 될 수 없음을 증명했습니다. 그것은 셀 수 있거나 실제와 같은 크기를 가집니다.

스트로가츠 (21:00): 반례가 있다면 형언할 수 없을 것입니다.

무어 (21:04): 네, 복잡해야 합니다.

스트로가츠 (21:06): 와우. 그러나 물론 하나가 있을 가능성도 있습니다. 정말 기괴한 일이 될 수 있습니다.

무어 (21:12): 네. 그래서 그런 종류의 것은 이 근본적인 질문으로 돌아가는 무언가로 우리를 인도합니다. 알다시피, 그 무렵 그들은 수학의 공리가 무엇인지 공식화하려고 시도하기 시작했습니다. 그리고 얼마 후인 1930년대에 [Kurt] Gödel은 실제로 자연수에 대한 산술을 형식화하는 겸손한 목표를 달성하기 위해 가질 수 있는 모든 종류의 이해 가능한 공리 시스템이 반드시 불완전하다는 것을 증명했습니다. 이 공리 체계에서 증명할 수 없고 표준 유한 증명을 사용하여 공리에서 반박할 수 없는 진술이 있습니다.

(21:52) 그리고 이것은 상당히 충격적이었습니다. 그것은 수학의 모든 문제를 알고리즘적으로 해결하고 일종의 알고리즘 기반을 생성하려는 목표, 어떤 의미에서 수학의 완전한 기반이 파멸되었음을 알려주기 때문입니다. 또는 적어도 그 당시에 가능했던 것을 넘어서는 더 높은 직관에 의해 지배되어야 합니다.

(22:16) 그리고 괴델이 증명한 것은 나중에 그가 증명한 것 중 하나는 당신이 증명하거나 반박할 수 없는 진술 중 하나는 당신의 공리 체계가 처음부터 일관성이 있다는 진술이라는 것입니다. 어떤 모순도 일으키지 않는다는 것입니다. 그 진술은 수론, 자연수에 대한 산술에 관한 일종의 진술로 코딩될 수 있지만 특별히 자연스러운 방식은 아닙니다. 만약 당신이 학과의 정수론자들 중 한 명과 이야기를 나눈다면 그들은 그것을 문제나 정수론의 진술로 간주하지 않을 것입니다. 그래서 괴델 시대부터 남겨진 질문은 연속체 가설인지 아니면 우리가 작업하고 있던 공리 체계에 기초하여 결정할 수 없는 다른 자연적인 수학적 진술이 있는지 여부였습니다.

스트로가츠 (23:02): 공리라는 개념이 있습니다. 우리는 그것들이 어떻게 생겼는지 기억하려고 노력해야 할 것입니다. 우리가 매우 신중한 계산을 하고 있다면 몇 가지 정의를 내려야 하지만 우리가 취하는 몇 가지 사항도 있습니다. 왜 "우리는 당연한 것으로 여깁니다."라고 말하고 싶지 않지만 받아들입니다. 기반암으로.

무어 (23:19): 네, 네. 그래서 이것은, 내 말은, 이것은 그리스인들이 한 일입니다. 즉, 기하학을 형식화하는 데 있어 성취한 것 중 하나는 기하학이 무엇인지 정의하려고 시도하기보다는 다음과 같이 보는 것이었습니다. 정의되지 않은 몇 가지 용어를 적고 이러한 정의되지 않은 용어가 작동하는 방식을 지배하는 규칙이나 공리를 적습니다. 그들에게 그것은 점과 선 같은 것이었습니다. 그리고 점이 선 위에 있을 때 정의되지 않은 개념입니다. 그리고 한 점이 선의 다른 두 점 사이에 있으면 정의되지 않은 개념입니다. 그런 다음 이러한 개념이 작동하는 방식을 제어하는 ​​일련의 공리를 작성합니다. 그리고 만약 당신이 그것을 제대로 했다면, 모든 사람들은 이러한 속성들이 이것들, 이런 것들에 대해 분명히 사실이라는 데 동의합니다. 따라서 이러한 공리는 일종의 자명한 사실입니다.

(23:19) 그래서 기하학의 경우, 아시다시피, 이 유명한 병렬 공준이 있는데, 그것은 — 여러분은 그것을 다른 공리로부터 도출할 수 없습니다. 그리고 모든 공리를 충족하지만 병렬 공준을 만족하지 않는 기하학 모델을 실제로 구성할 수 있다는 것이 발견되었을 때 그것은 다소 혁명적이었습니다. 그리고 따라서 평행 공준은 다른 공리들로부터 증명할 수 없습니다. 그래서 어떤 의미에서 괴델이 한 것은 그것을 하기 위한 방법을 개발한 것이지만, 수학 모델의 수준에서, 또는 적어도 우리가 수학에 대해 가지고 있는 이 공리 체계의 모델입니다.

스트로가츠 (24:45): 아하, 재미있는 표현이네요. 예를 들어, 우리는 유클리드 기하학을 가지고 있고, 아인슈타인이 일반 상대성 이론에서 사용했던 유명한 비유클리드 기하학이 있지만 다른 곳에서도 사용됩니다. 그리고 그것들은 논리적으로 유클리드 기하학만큼 훌륭합니다. 그러나 이제 기하학에 대해 이야기하는 대신에, 당신은 그것이 우리가 전통적인 것을 가질 수 있는 것과 같다고 말하고 있습니다. 음, 단어가 무엇인지 잘 모르겠습니다. 유클리드 기하학의 아날로그는 무엇입니까? 전통적인 수학이 있습니까?

무어 (25:16): 미해결 질문입니다. 제 말은, 저는 그것이 부분적으로 철학적인 질문이라고 생각합니다. 수학이 무엇인가에 대한 문제이기 때문에 아마도 사회학적 질문일 것입니다. 그렇죠? 다시 기본적인 질문으로 돌아갑니다. 그리고 저는 100년 전에 개발된 ZFC 공리를 가지고 있다는 공리는 우리가 일반적으로 이것이 사실이라는 데 동의하는 공리라고 생각합니다. 또는 이것들은 "세트"가 가져야 하는 속성입니다. 완료되지 않았습니다.

스트로가츠 (25:44): 음, 잠깐만, 모든 것을 풀자. 그 좋은 소리. 그럼 ZFC부터 시작해볼까요? 그것들은 어떤 사람과 사물의 이름입니다.

무어 (25:51): 예, 예. “체르멜로-프랭켈 집합론” “선택의 공리”라고 불리는 것과 함께. 응.

스트로가츠 (25:55): 알겠습니다. 이것이 널리 받아들여지는 게임의 규칙입니다.

무어 (25:59): 예, 공리의 목록입니다. 다소 길지만 그렇게 길지는 않습니다. 예를 들어 두 개의 집합이 있는 경우 두 집합을 모두 요소로 포함하는 집합이 있습니다. 짝짓기 공리, 집합 모음의 합집합을 취할 수 있고 그것이 집합입니다. 등등.

스트로가츠 (26:15): 알겠습니다. 집합 이론을 수행하는 ZFC 방식이 있습니다. 그것은 특정 시간에 제안되고 사람들이 좋아하지만 완료되지 않았다고 말했습니까?

무어 (26:26): 네. 그래서 쓸 수 있는 것입니다. 공리를 나열하는 컴퓨터 알고리즘. 그것은 공리의 무한한 집합입니다. 그러나 두 종류의 공리 집단을 제외하고는 유한합니다. 여러분이 주의를 기울이지 않는다면, 여러분은 실제로 이러한 공리들의 다른 클러스터 각각이 단일 공리라고 생각할 것입니다. 그러나 그것들은 실제로 공리의 무한한 가족입니다. 모든 공리를 뱉어내는 컴퓨터 프로그램을 생성할 수 있습니다. 우리는 모순을 발견하지 못했기 때문에 ZFC가 일관성이 있다고 믿는 경향이 있습니다. 당신이 그것을 믿는다면 괴델의 불완전성 정리에 의해 ZFC는 그것이 일관성이 있다는 것을 증명할 수 없을 것입니다.

(27:03) 따라서 ZFC가 증명할 수 없는 ZFC의 일관성과 같은 진술이 있습니다. 흥미로운 점입니다. 다시 말하지만 우리는 ZFC가 일관성이 있다고 믿기 때문입니다. 그리고 그것이, 제 말은, 제 말은... 대부분의 수학자들이 일을 하려고 하는 이유 중 하나는 CFC가 일관성이 있다는 믿음에 기반을 두고 있다는 것입니다. 오른쪽? 그러나 그것은 우리가 진실한 진술로 간주하는 것입니다. 그러나 ZFC 자체만으로는 증명하기에 충분하지 않습니다.

스트로가츠 (27:27): 그냥 생각 중이야. 그 과정에서 우리는 괴델에 대해 언급했습니다. 나는 우리가 그가 누군지 말했는지 모른다. 간단히 말씀해 주시겠습니까?

무어 (27:34) 네, 그랬어요. 제 말은, 그는 일종의 혁명적 논리학자였습니다. 이것은 불완전성 정리(Incompleteness Theorem)가 그의 주요 업적 중 하나였습니다. 그리고 그의 다른 주요 업적은 ZFC 공리를 사용하여 연속체 가설이 반증될 수 없음을 보여준 것입니다.

스트로가츠 (27:49): 어떤 사람들은 그를 아리스토텔레스 이후로 가장 위대한 논리학자라고 생각합니다. 그리고 고등연구소의 친구이자 동료였던 아인슈타인은 함께 일하러 걸어가는 특권을 좋아한다고 말했습니다. 커트 고델. 내 말은, 그는 아인슈타인과 같은 지적 리그에 있었다는 것입니다. 그에 대해 들어본 적이 없다면 그에 관한 책인 이성의 가장자리로의 여행. 괴델의 삶에 관한 훌륭한 책. 하지만 좋아요, 그래서 그는 20세기 중반, 20세기 초반의 논리학자입니다. 그리고 당신은 그가 그것을 증명했다고 말했습니다. 음, 연속체 가설에 대해 다시 말씀해 주시겠습니까?

무어 (28:23): 모든 집합 이론 모델 내에서 그는 연속체 가설을 충족하는 더 작은 집합 이론 모델을 구성했습니다. 그리고 이것이 보여주는 것은 집합 이론의 공리 내에서 연속체 가설이 틀렸다는 것을 증명할 수 없다는 것입니다. 집합 이론의 한 모델에서 하나가 있으면 연속체 가설을 충족하는 새로운 모델을 생성할 수 있습니다.

스트로가츠 (28:43): 알겠습니다. 따라서 산술을 수행하기에 여전히 적합한 집합 이론의 버전, 일종의 더 작은 버전이 있을 수 있습니다.

무어네

스트로가츠 (28:51): 하지만 Cantor가 추측한 것처럼 연속체 가설이 참입니다.

무어네

스트로가츠 (28:56): 그리고. 하지만 이 이야기에는 큰 "그러나"가 있습니다.

무어 (28:59): 네. 그렇게 많은 세월이 흐른 후, [폴] 코헨 집합 이론의 모델을 확대할 수 있는 강제라는 기술을 개발했습니다. 그리고 이것을 사용하여 그는 연속체 가설을 증명할 수 없다는 것을 증명했습니다. 그의 기술을 제외하고는 반박할 수 없음을 증명하는 데 사용할 수도 있습니다. 이것은, 예, 강요라고 불리는 이 기술은 정말, 매우 강력합니다. 집합 이론 모델 내에서 더 작은 모델을 구축하는 강제 및 기술. 이것들은 집합론의 오래된 모델로부터 집합론의 새로운 모델을 구축하기 위해 우리가 가지고 있는 일종의 두 가지 도구입니다.

무어 (29:32): 기하학 비유로 돌아가겠습니다. 비유클리드 기하학 모델인 쌍곡면 모델조차도 유클리드 평면 또는 그 하위 집합을 취하고 거기에 있는 점 및 선과 같은 기하학 모델을 구축하는 것으로 시작합니다. 포인트는 이 디스크의 일반적인 포인트입니다. 그리고 원이 있는 선은 원래 기하학의 특정 원입니다. 제가 말하려는 요점은 이것이 수학에서 여러분이 하는 일종의 유익한 일이라는 것입니다. 당신은 종종 기하학의 공리를 만족시키는 기하학과 같이 공리 시스템을 만족시키는 어떤 구조로 시작하고, 어떻게든 그것을 조작하고 아마도 다른 공리 세트를 만족시키는 새로운 것을 생산합니다. 그것이 Cohen과 Gödel이 한 일입니다. 그들은 집합 이론의 공리 모델을 취하여 어떤 의미에서는 수학 모델을 사용하여 새로운 모델을 생성하기 위해 다양한 기술을 사용하여 조작했습니다. 연속체 가설이 참이거나 연속체 가설이 거짓입니다.

스트로가츠 (30:36): 그래서 이것은 저에게 정말 놀랍고 많은 사람들에게 확신합니다. 아시다시피... 예를 들어 플라톤은 이 철학을 가지고 있습니다. 여기 지구에서는 그들을 볼 수 없지만 일부 플라톤 영역에는 그들의 진실이 존재합니다.

무어: 네, 네.

스트로가츠 (30:57): 그리고 인간이 그것에 대해 생각하든 말든 실수가 존재하고 연속체 가설이 실수에 대해 참이거나 그렇지 않다고 느낄 것입니다. 하지만 당신은 나에게 말하고 있습니까?

무어 (31:09): 음, 제 말은, 예, 이것에 대해 다른 학파가 있다는 것입니다. 내 말은, 당신은 그것을 볼 수 있습니다. 제 생각에 이름 아래에 있는 것이 있다고 생각합니다. 그 일반적인 다중 우주 보기는 당신이 말할 수 있는 것이 더 이상 없다는 것입니다. 집합 이론의 이러한 모든 모델이 있습니다. 그리고 우리가 할 수 있는 최선은 그들 각각의 진실을 이해하고 그들 사이를 이동하는 것입니다. 그리고 그것은 사물에 대한 매우 비플라톤적인 관점, 사물에 대한 일종의 형식주의적인 관점입니다. 당신은 또한 집합 이론의 선호 모델이 있다는 관점을 취할 수도 있습니다. 즉, 우리가 살고 있는 현실과 다른 모든 모델은 공리의 모델이지만 실제로는 공리로 설명하려는 것이 아닙니다. 기하학과의 비유가 거기에 다소 예시적이라고 생각합니다. 그렇죠? 내 말은, 여러분은 다양한 기하학 모델을 만들 수 있다는 것입니다. 그러나 우리는 여전히 기하학이 있는 물리적 세계에 살고 있으며 아마도 그것은 우리가 가장 관심을 갖는 기하학일 것입니다.

스트로가츠 (32:03): 알겠습니다. 그래서 같은 방식으로 유클리드 기하학이 우리에게 익숙한 것이기 때문에 선호하는 상태를 부여할 수 있습니다. 그것은 가장 쉽고 가장 명백하기 때문에 오랫동안 사용되어 온 것입니다. 그러나 우리는 여전히 이러한 다른 것들이 훌륭하고 유용하고 흥미로운 영역을 가지고 있다고 생각합니다.

무어 (32:20): 하지만 여기서도 지적할 가치가 있는 것은 우리의 이해조차도 — 음, 첫째, 우리가 유클리드 기하학에 살고 있는지 확신이 서지 않습니다. 하지만 거기에 대해 질문이 있습니다. 그러나 물리적 세계에 대한 우리의 이해는 이러한 모든 다른 기하학, 즉 다른 기하학 모델을 자유롭게 탐색함으로써 훨씬 풍부해집니다. 집합론도 마찬가지입니다. 미래에 우리가 집합론에 대한 새로운 공리가 무엇인지에 대해 어느 정도 합의에 도달했다고 해도, 그 목적지에 도달하는 것은 사전에 일어나는 이 모든 탐구 없이는 분명히 가능하지 않았을 것입니다.

스트로가츠 (33:00): 연속체 가설을 증명하거나 반증한다는 것은 무엇을 의미합니까? 이 캠프 각각에 대해? 무엇이 위험합니까?

무어 (33:08): 예, 그건 — 좋습니다. 그래서 제 생각에는 이런 종류의 "모든 세계" 관점을 취하는 진영은 이것이 무의미한 질문이라고 말할 것입니다. Cohen과 Gödel과 많은 집합 이론 모델을 구축하는 그들의 기술은 토론의 끝입니다. 아시다시피, 우리는 아마도 집합 이론의 많은 새로운 모델을 생산할 것입니다. 하지만 연속체 가설이 참인지 거짓인지에 대한 최종 답을 얻지 못할 것입니다. 그 진술에 어떤 종류의 진실 또는 거짓이 있다는 관점을 취하는 사람들은 아마도 새로운 공리와 아마도 이 공리가 참이어야 하는 이유에 대한 발견적 정당화를 제시하려고 시도할 것입니다. 왜 그것이 사실인지. 그리고 일단 이 공리가 받아들여야 한다고 주장하면, 그것이 어떻게든 우리가 수학이나 집합에 대해 가지고 있는 어떤 직관을 캡슐화한다고 주장하면, 이 공리가 단어의 일종의 형식적 의미에서 연속체 가설을 증명하거나 반증한다면, 당신은 다음과 같이 볼 것입니다. CH는 참 또는 거짓입니다.

스트로가츠 (34:12): 지금 우리가 있는 곳이 바로 그 정도입니다. 현재이 두 캠프가 실제로 존재한다는 것.

무어 (34:16): 예, 어느 정도. 연속체 가설이 공리에 근거하여 결정 불가능한 것으로 밝혀진 지 너무 오래되어서 대부분의 수학자들이 아마도 그것이 당신이 말할 수 있는 최대라는 사실에 어느 정도 익숙해졌다고 생각합니다. 그리고 이 시점에서 수학자 전체가 모든 사람이 참이어야 한다는 데 동의할 수 있는 새로운 휴리스틱을 중심으로 집결할 수 있다면 정말 멋질 것입니다. 그리고 아마도 그것은 결코 일어나지 않을 것입니다. 아마도 커뮤니티에는 너무 많은 다른 관점이 있을 수 있습니다. 공평하게 말하자면 ZFC가 수학에 대한 진정한 공리의 집합이라는 보편적인 관점은 아니지만 어느 정도 합의된 관점이라고 생각합니다. 무한한 것은 존재하지 않는다고 보는 사람들이 분명 있습니다. 그리고 그것에 대해 이야기하는 것은 말이 되지 않으며 우리는 그것에 대해 이야기해서는 안됩니다.

스트로가츠 (35:05): 글쎄요, 그것은 오랜 전통입니다. 즉, 아리스토텔레스는 우리에게 무한대를 조심하라고 말했습니다. 그리고 수학의 역사를 통틀어 [칼 프리드리히] 가우스 우리는 완성된 무한의 개념에 대해 매우 주의를 기울였습니다. 이것이 Cantor가 우리를 위해 이 벌레 통조림을 열어준 것입니다. 그러나 나는 그것이 벌레라는 것을 모릅니다. 그것은 마치 – 알다시피, 무엇이 해를 끼치는가? 우리가 상상력을 발휘하고 많은 흥미로운 것들을 발견하고 있다는 것입니다.

(35:30) 하지만 질문이 있습니다. 집합론자가 아닌 사람으로서 무례하게 묻고 싶지 않습니다. 하지만 약간 무례하게 들릴 수도 있습니다. 제가 어디로 가는지 아시죠? 예를 들어, 이것이 나에게 어떤 영향을 미칩니 까? 나머지 수학은 집합 이론 내에서 발생하는 진동을 느낍니까? 아니면 당신들이 하고 있는 일로부터 우리가 고립되어 있습니까?

무어(35:49): 좋은 질문입니다. 나는 대부분의 수학자들이 ZFC 내의 수학에 대한 일반적인 공리 시스템 내에서 증명할 수도 반박할 수도 없는 진술을 결코 접하지 않는다고 생각합니다. 그리고 집합 이론가들은 그것에 대한 설명을 어느 정도 발견했습니다. 괴델의 원래 모델보다 크지만 모든 집합의 우주보다 작은 집합 이론의 모델이 있는데 이를 솔리드 베이스 모델이라고 합니다. [로버트] 솔로베이 Cohen이 작업할 즈음에 발견되었습니다. 그리고 놀라운 발견은 이 모델이 강제력에 의해 영향을 받을 수 없다는 것입니다. 따라서 본질적으로 해당 모델에서 무엇이 참인지 거짓인지에 대해 무언가를 표현할 수 있다면 그것은 독립 현상에 크게 영향을 받지 않는 것입니다.

(36:35) 문제는 이 집합 이론 모델이 선택 공리를 충족하지 않는다는 것입니다. 따라서 선택의 공리는 – 이것은 여기에 또 다른 벌레 캔입니다. 그러나 선택의 공리가 다른 공리와 다른 이유 중 하나는 그것이 건설적이지 않다는 것입니다. 다른 모든 공리들은 여러분이 설명하고 있는 일부 집합이 사실은 집합이라고 말합니다. 그것이 공리가 작동하는 방식입니다. 그러나 선택의 공리는 비어 있지 않은 집합의 모음이 주어지면 각 집합에서 무엇인가를 선택할 수 있다는 것을 말해줍니다. 따라서 선택입니다. 그러나 선택 방법을 알려주지는 않습니다. 이것은 한편으로 우리가 모든 종류의 이상하고 역설적인 것을 구성할 수 있게 해주는 공리였습니다. 100년 전의 구장에서는 측정할 수 없는 집합과 같은 것이 무엇이든 간에 말입니다. 구의 유명한 분해가 있습니다. Banach-Tarski 역설, 저것 -

스트로가츠 (37:29): 오, 재미있네요.

무어 (37:32): — 구를 유한한 많은 조각으로 자른 다음 원래 구와 동일한 치수인 두 개의 구로 재조립할 수 있습니다. 이것이 터무니없는 이유는 각각에 질량을 할당할 수 있어야 한다는 것입니다. 아시다시피 원래 구에 질량을 할당한 다음 잘라낼 수 있는 이 모든 조각에 질량을 할당할 수 있어야 합니다. 원래 질량에 합산해야 합니다. 그런 다음 그것들을 재배열할 때 그 과정이 질량을 바꾸지 않아야 합니다. 하지만 어째서인지 그것들을 재조립하면 처음 시작할 때의 질량이 두 배가 됩니다. 이제, 그 논쟁의 요점은 - 일이 잘못되는 곳은 선택의 공리가 허용하는 구의 절단이 너무 나빠서 당신이 가지고 있는 이 조각들에 질량을 할당할 수 없다는 것입니다.

(38:11) 이제 그 역설적인 행동으로 인해 사람들은 선택의 공리가 다소 문제가 있을 수 있다고 생각하게 되었습니다. 어쩌면 그것은 수학 자체 내에서 일종의 역설로 이어질 것입니다. 따라서 선택의 공리는 받아들여져서는 안 됩니다. 괴델이 연속체 가설이 반증할 수 없음을 증명함과 동시에 증명한 것 중 하나는 선택의 공리를 가정하는 것도 안전하다는 것입니다. 즉, 선택 공리 없이 ZFC의 공리들이 일치한다면, 선택 공리가 있는 ZFC의 공리 집합도 일치합니다. 그것은 당신에게 많은 이상하고 이국적인 것들을 제공하지만 근본적인 관점에서 볼 때 물을 오염시키지 않습니다.

(38:51) 얼마 후 Zorn의 보조 정리라는 것이 발견되었는데, 이는 선택의 공리와 동등한 것으로 판명되었습니다. 그리고 수학의 다양한 분야를 개발하는 데 매우 유익합니다. 그것은 여러분이 고급 학부생이거나 수학 대학원생이라면 그것에 대해 배우는 것입니다. 수학 대학원 학위에 필요한 학습의 일부입니다. 그리고 이 극단적인 유용성 때문에 요즘 우리가 받아들이는 것입니다. 나는 대부분의 수학자들이 선택의 공리 없이 작업하는 것을 불편해한다고 생각합니다.

(39:31) 그래서 저는 이것이 연속체 가설을 어떻게 해결할 수 있는지에 대한 예라고 생각합니다. 그것은 우리가 미래에 수학을 더 발전시키는 데 매우 유용한 어떤 공리를 발견하고 이 공리가 어느 정도 사실이라고 간주한다는 것입니다. 그것이 Zorn의 보조 정리에서 일어난 일입니다. 그리고 선택의 공리로, 그것은 처음에 사실로 간주된 것이 아닙니다. 사실, 그것은 처음에는 약간의 회의론으로 보였습니다.

스트로가츠 (39:56): 하지만 제가 할 수 있는지 봅시다. 왜냐하면 그렇습니다... 우리는 지금 선택의 공리(연속체 가설과의 관계)에 대해 많이 이야기했습니다. 그것이 무엇인지 말할 수 있는 간결한 방법이 있습니까?

무어 (40:06): 알다시피, 선택의 공리와 연속체 가설은 이상한 관계가 있습니다. . 그것은 당신이 매우 통제된 방식, 알고리즘 방식으로 모든 것을 하는 무한히 긴, 심지어 셀 수 없을 정도로 긴 구성을 할 수 있게 합니다. 그리고 그 과정에서 많은 제어를 유지해 온 이상한 물체를 만듭니다. 선택의 공리가 없는 경우 연속체 가설은 내가 원래 말했듯이 중간적인 일련의 규칙이 없다는 것입니다. 그것은 마치 선택의 공리가 참인 것처럼 똑같은 문제를 갖지 않는 것입니다. 그 이유는 예를 들어 선택의 공리가 없다면 연속체 가설의 더 강력한 버전에 대해 이야기할 수 있기 때문입니다. 마찬가지로, 이 수직선의 모든 부분 집합인 실수 직선은 셀 수 있거나 그 안에 있는 Cantor 집합의 복사본이 있습니다. 예를 들어, 세트 내부에 있는 일종의 포인트 트리, 포인트의 이진 트리가 있습니다. 그리고 이것은 실수와 같은 크기를 가진다고 말하는 매우 구체적인 방법입니다.

스트로가츠 (41:14): 집합론 밖의 수학 분야에 종사하는 나머지 우리는 연속체 가설의 순간에 일종의 불확실한 상태로 인해 잠을 설쳐야 합니까? 집합 이론의 표준 모델에서는 결정 불가능하다고 들었습니다. 그게 중요한가요? 나머지 수학에 영향을 미칩니까?

무어 (41:35): 대답은 대부분 '아니오'입니다. 그러나 완전히 알려진 것은 아닙니다. 연속체 가설. 에서는 사실입니다 솔로베이 모델, 예를 들어: 모든 실수 집합은 셀 수 있거나 그 내부에 셀 수 없고 격리된 점이 없는 닫힌 실수 집합이 있습니다. 그러나 수학에서 나타나는 진술, 다른 분야에서 자연스럽고 일종의 유기적으로 나타나는 질문이 있습니다. 여기서 그것들은 ZFC의 공리와 독립적인 연속체 가설 또는 다른 것에 의존한다는 것이 밝혀졌습니다. 이것의 한 예는 내측 한계라고 불리는 것인데, 이것은 사물의 한계를 취하고 여전히 사물이 측정 가능하다는 것을 유지하기 위한 확률 및 확률의 일부 부분에 유용한 장치입니다. 내측 한계는 연속체 가설을 사용하여 구성할 수 있지만 ZFC에서 구축할 수 있는 것은 아닙니다.

스트로가츠 (42:27): 이것은 저를 행복하게 합니다. 제 말은, 저는 수학이 하나의 큰 웹이라고 믿고 싶습니다. 그리고 그것은 "누구도 섬이 아니다"라는 옛말처럼 누구에게서 온 것인지 모르겠습니다. 하지만 어쨌든 저는 수학의 어떤 부분도 섬이 되는 것을 원하지 않습니다. 그래서 저는 집합론이 어떻게든 일부라고 생각하는 것을 싫어합니다. 제 말은, 아무도 그렇다고 말하지 않겠지만, 연속체 가설을 포함하는 부분일지라도, 저는 그것이 대대륙과 분리되는 것을 원하지 않습니다. 그리고 그렇지 않은 것 같습니다.

무어 (42:52): 맞습니다. 힐베르트 공간을 취하고 유계 연산자와 압축 연산자를 보면 이들은 수학에서 연구되는 객체의 대수학입니다. 당신은 그것들의 몫을 취할 수 있습니다. 그것의 automorphism 그룹이라고 불리는 것을 연구하는 것은 수학자가 물어볼 수 있는 것입니다. 그리고 실제로, 브라운, 더글러스, 필모어 1970년대에 그것에 대해 물었다. 그리고 연속체 가설이 참인지 거짓인지는 그 대수학의 매우 복잡한 자기동형이 존재하는지 여부와 관련이 있다고 알려져 있습니다. 그것은 대학원 수준에서 가르칠 기능 분석 과정의 표준 객체입니다. 그리고 이것들은 이 객체의 아주 아주 기본적인 속성입니다.

(43:34) 하지만 요점은, 이것은 표면적으로는 집합론에서 문제가 되지 않는다는 것입니다. 서로 다른 집합 이론가들은 주제가 중요한 이유에 대해 서로 다른 견해를 가지고 있습니다. 그러나 나에게 이것이 주제가 중요한 이유입니다. 그것은 공리를 기반으로 결정할 수 없는 질문을 할 때 알려줄 수 있는 독특한 역할을 한다는 것입니다. 몇 년 동안 어떤 성공도 없이 결정할 수 없는 이 문제를 연구하고 싶지 않기 때문입니다. 그리고 만약 누군가가 당신에게 "글쎄요, 당신은 그것을 증명하거나 반박할 수 없기 때문에 당신은 그 문제에 대한 해결책을 실제로 제시하지 못할 것입니다"라고 말할 수 있다면 맞습니까? 알아두면 좋은 점입니다.

스트로가츠 (44:13): 좋습니다. 글쎄요, 이것은 당신이 저스틴에게 전하고 있는 매우 고양된 메시지입니다. 그것은 — 존 던! 내가 찾던 이름이 바로 John Donne입니다. 그리고 이것을 현대적인 방식으로 말해봅시다. 어떤 사람도 섬이 아닙니다. 그리고 수학의 일부가 없는 경우에도 마찬가지입니다. 집합론의 바깥쪽에 있는 가장 난해해 보이는 것조차도 양자 이론의 기초가 되는 기능 분석에서 확률적으로 수학의 매우 현실적인 부분에 여전히 연결되어 있습니다. 그래서 이것은 저에게 새로운 소식이며 우리를 일깨워 주신 것에 감사드립니다. 이것은 재미있었다. 감사해요.

무어 (44:46): 만나줘서 고마워.

아나운서 (44:46): 더 많은 수학 미스터리를 탐구하세요. 콴타 책 소수 음모, The MIT Press 발행, 현재 다음에서 이용 가능 Amazon.com, Barnesandnoble.com, 또는 지역 서점. 또한 친구들에게 이 팟캐스트에 대해 알리고 긍정적인 리뷰를 제공하거나 듣고 있는 곳을 팔로우하세요. 사람들이 찾는 데 도움이 됩니다. 이유의 기쁨.

스트로가츠 (45 : 12) : 이유의 기쁨 의 팟캐스트입니다. Quanta Magazine, Simons Foundation에서 지원하는 편집 독립 간행물. Simons Foundation의 자금 지원 결정은 주제 선택, 게스트 또는 이 팟캐스트 또는 Quanta Magazine. 이유의 기쁨 Susan Valot와 Polly Stryker가 제작합니다. 편집자는 John Rennie와 Thomas Lin이며 Matt Carlstrom, Annie Melcher 및 Zach Savitsky가 지원합니다. 우리의 테마 음악은 Richie Johnson이 작곡했고 Julian Lin이 팟캐스트 이름을 생각해 냈습니다. 에피소드 아트는 Peter Greenwood가 담당했고 로고는 Jaki King이 담당했습니다. Cornell Broadcast Studios의 Burt Odom-Reed에게 특별히 감사드립니다. 저는 호스트 Steve Strogatz입니다. 질문이나 의견이 있으시면 다음 주소로 이메일을 보내주십시오. [이메일 보호] 듣기 주셔서 감사합니다.