많은 사람들이 고등학생 때 배운 첫 번째 증명은 소수가 무한히 많다는 고대 그리스 수학자 유클리드의 증명입니다. 몇 줄만 있으면 되며 정수와 곱셈보다 더 복잡한 개념은 사용하지 않습니다.

그의 증명은 소수의 수가 유한한 경우 모두 곱하고 1을 더하면 다른 소수가 존재함을 의미한다는 사실에 의존합니다. 이 모순은 소수가 무한해야 함을 의미합니다.

수학자들은 기이할 정도로 인기 있는 소일거리를 가지고 있습니다. 그것은 반복해서 그것을 증명하는 것입니다.

왜 이런 일을 귀찮게합니까? 우선 재미있습니다. 더 중요한 것은 "재미있는 수학과 진지한 수학 사이의 경계가 매우 얇다고 생각합니다."라고 말했습니다. 윌리엄 가사크, 메릴랜드 대학의 컴퓨터 과학 교수이자 저자 새로운 증거 올해 초 온라인에 게시되었습니다.

Gasarch의 증명은 새로운 증명의 오랜 연속에서 가장 최근의 것입니다. 2018년, 로미오 메슈트로비치 몬테네그로 대학의 유클리드 정리에 대한 거의 200개의 증명을 포괄적 인 역사 조사. 실제로 정수를 연구하기 위해 지속적으로 변하는 양을 사용하는 해석적 정수론의 전체 분야는 틀림없이 유래 1737년, 수학의 거인 레온하르트 오일러가 무한 급수 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … 무한개의 소수가 있음을 다시 증명합니다.

크리스티안 엘숄츠, 오스트리아 Graz 공과 대학의 수학자이자 저자 최근의 또 다른 증거, 많은 작은 결과에서 어려운 결과를 증명하는 대신 - 수학자들이 기본형을 정리로 체계적으로 조립할 때 수행하는 작업 - 그는 그 반대의 작업을 수행했다고 말했습니다. “저는 Fermat의 마지막 정리를 사용하는데, 이는 정말 중요한 결과입니다. 그런 다음 매우 간단한 결과를 도출합니다.” 이와 같이 거꾸로 작업하면 서로 다른 수학 영역 간의 숨겨진 연결을 드러낼 수 있다고 그는 말했습니다.

"사람들이 가장 터무니없을 정도로 어려운 증거를 갖기 위해 약간의 경쟁이 벌어지고 있습니다."라고 말했습니다. 앤드류 그랜빌, 몬트리올 대학의 수학자이자 저자 2 명 중 다른 증거. “재미있어야 합니다. 기술적으로 끔찍한 일을 하는 것은 요점이 아닙니다. 어려운 일을 하고 싶은 유일한 방법은 그것이 재미있다는 것입니다.”

그랜빌은 이 친근한 일벌레에 진지한 점이 있다고 말했다. 연구원은 해결하려는 질문만 제공받는 것이 아닙니다. “수학에서 생성 과정은 기계에 작업을 설정하면 기계가 해결하는 것이 아닙니다. 그것은 누군가가 과거에 했던 것을 가져다가 그것을 사용하여 기술을 만들고 아이디어를 개발하는 방법을 만드는 것에 관한 것입니다.”

Gasarch가 말했듯이, “모든 논문은 소수가 무한하다는 귀엽고 새로운 증명에서 진지한 수학으로 이어집니다. 언젠가는 소수만 보고 다음 날에는 제곱의 밀도를 보게 됩니다.”

Gasarch의 증명은 유한한 수의 색상으로 정수를 색칠하면 항상 같은 색상의 합이 해당 색상인 한 쌍의 숫자가 있다는 사실로 시작합니다. 1916 년에 증명 이사이 슈어. Gasarch는 Schur의 정리를 사용하여 소수의 수가 유한한 경우 125의 합인 완전 세제곱(1770와 같은 정수, 다른 정수와 동일함)이 존재한다는 것을 보여주었습니다. 다른 완벽한 큐브. 그러나 XNUMX년에 오일러는 그러한 큐브가 존재하지 않는다는 것을 증명했습니다. n = 에 대한 정수 솔루션이 없다고 가정하는 Fermat의 마지막 정리의 3가지 경우 aⁿ + bⁿ = cⁿ for n 2보다 크다. 그 모순에 근거하여, 가사크는 소수의 수가 무한해야 한다고 추론했다.

Granville의 2017년 증명 중 하나는 Fermat의 다른 정리를 사용했습니다. Granville은 주로 1927 정리 Bartel Leendert van der Waerden은 유한한 수의 색상으로 정수에 색상을 지정하면 항상 동일한 색상으로 균일한 간격의 정수의 임의의 긴 체인이 존재한다는 것을 보여주었습니다. Gasarch와 마찬가지로 Granville은 소수가 유한하다는 가정으로 시작했습니다. 그런 다음 그는 van der Waerden의 정리를 사용하여 XNUMX개의 균일한 간격과 동일한 색상의 완전 정사각형 시퀀스를 찾았습니다. 그러나 Fermat는 그러한 시퀀스가 ​​존재할 수 없음을 증명했습니다. 모순! 그러한 수열은 소수의 수가 한정되어 있을 때 존재할 수 있지만 존재할 수 없기 때문에 소수의 수가 무한해야 합니다. Granville의 증명은 van der Waerden의 정리를 끌어낸 두 번째 최근 주요 증명이었습니다 — 레벤트 알포게현재 Harvard University의 박사후 연구원인 은 그 결과를 2015 용지, 그가 아직 대학에있을 때 출판되었습니다.

Granville은 Elsholtz의 논문을 특히 좋아하는데, 이 논문은 Fermat의 마지막 정리와 소수는 유한하게만 존재한다는 반사실적 가정도 적용합니다. Gasarch와 마찬가지로 Elsholtz는 다소 다른 방식으로 Schur의 정리를 통합했습니다. Elsholtz는 또한 다음을 사용하여 두 번째 증명을 제공했습니다. 1953년 Klaus Roth의 정리, 특정 크기 이상의 정수 집합에는 균일한 간격의 XNUMX개 숫자 그룹이 포함되어야 합니다.

좀 더 심오하고 실용적인 수학적 질문은 이 작업을 기반으로 하여 답을 얻을 수 있습니다. 예를 들어, 큰 수를 인수분해하는 것의 어려움에 의존하는 공개 키 암호화는 우리가 소수가 유한한 세상에 살고 있다면 깨지기 매우 쉬울 것입니다. Elsholtz는 따라서 무한히 많은 소수의 증명과 그러한 암호화 체계를 해독하는 것이 얼마나 어려운지를 증명하는 것 사이에 어떤 연관성이 있는지 궁금해합니다. Elsholtz는 "유클리드의 정리에 약간의 약한 연결"이 있다고 말했습니다. "더 깊은 연결을 보는 것이 흥미로울 것입니다."

Granville은 최고의 수학은 다양한 영역과 주제의 이상한 조합에서 성장할 수 있으며 종종 수학자들이 낮은 수준이지만 재미있는 문제에 대해 수년을 보낸 후에 나타난다고 말했습니다. 그는 멀리 떨어져 있는 것처럼 보이는 주제가 정수론에 적용될 수 있다는 사실에 매료되었습니다. 최근 설문 조사에서 Granville은 Hillel Furstenberg의 1955년 증명, 포인트 세트 토폴로지를 사용했습니다. Alpöge와 마찬가지로 Furstenberg는 그의 증명이 출판되었을 때 아직 대학에 있었습니다. 그는 계속해서 저명한 경력 에 다양한 수학 분야.

Granville은 유클리드의 이전 결과에 대한 새로운 증거가 "단지 호기심이거나 장기적으로 중요한 것"인지 수사적으로 물었습니다. 그는 자신의 질문에 "말할 수 없습니다."라고 말했습니다.