지난 2년 동안 수학자들은 어린이 놀이방의 모양 중 가장 좋은 버전을 식별했습니다. 이러한 결과는 수학의 기발한 한 부분을 차지하고 있으며, 적절하게도 아내와 함께 종이접기를 연습하는 수학자, 학부생에게 종이 놀이를 가르치는 교수 등 예상치 못한 협력을 통해 탄생했습니다.

이 작업은 "최적" 모양 연구 내에서 이루어지며, 여기에는 어떤 제약 조건이 주어졌을 때 목표를 가장 잘 달성하는 모양 버전이 무엇인지 이해하는 작업이 포함됩니다. 꿀벌은 이를 암묵적으로 이해합니다. 육각형은 최소한의 자원을 사용하여 최대의 저장 용량을 제공하기 때문에 육각형 셀로 벌집을 만듭니다.

적어도 전설에 따르면, 그러한 형태를 최초로 찾은 사람은 카르타고의 건국 여왕인 디도였습니다. 그녀는 오늘날 튀니지 해안에 상륙한 후 베르베르 왕 이아르바스와 거래를 했습니다. 그는 그녀가 황소 가죽 한 덩이에 넣을 수 있는 땅이라면 무엇이든 주기로 동의했습니다. Iarbas가 예상했던 것처럼 빈약한 가죽을 평평하게 놓는 대신 Dido는 그것을 얇은 조각으로 자르고 언덕 전체를 둘러싸는 데 사용했습니다. 승천 여왕의 통찰력은 고정된 양의 재료가 주어졌을 때 카르타고의 도시 경계를 정의하는 최적의 지역을 둘러싸는 모양이 원이라는 것이었습니다.

“보통 이런 맛이에요. 객체군이 있는데 어느 것이 이를 최대화하거나 최소화하는지 알고 싶습니다.”라고 말했습니다. 리처드 슈워츠 아내와 함께한 결과를 포함해 지난 8월부터 연속해서 최적의 형태에 관한 세 가지 결과를 게시한 브라운 대학교의 브리엔느 엘리자베스 브라운.

최근의 모든 결과는 특정 모양을 만드는 데 사용되는 종이, 밧줄 또는 끈의 양을 최소화하는 것에 관한 것입니다. 슈워츠의 최근 작품은 종이 조각을 비틀어 끝부분을 연결해 만든 뫼비우스의 띠에서 시작되었습니다. 그것은 한 면만 있는 표면이라는 기이한 특징을 가지고 있는데, 이는 손가락을 떼지 않고도 전체 표면을 추적할 수 있다는 것을 의미합니다.

1930년대까지 수학자들은 뫼비우스 띠로 꼬일 수 있는 가장 뭉툭한 직사각형을 찾으려고 노력했습니다. 길고 가느다란 직사각형을 한쪽 스트립으로 비틀기 쉽다는 것은 직관적으로 분명해 보이지만 정사각형에서는 그렇게 하는 것이 불가능합니다. 그런데 경계가 정확히 어디인가요?

최적의 모양은 스트립의 너비와 길이의 비율과 같은 일부 값을 최소화하거나 최대화하려고 할 때 발생합니다. 중요한 수학적 측면에서 이는 모양의 가장 극단적인 버전입니다. 최적의 형태에 대한 연구는 길이가 중요한 기하학과 끝없이 늘어나고 압축될 수 있는 이상적인 물체를 다루는 수학의 한 분야인 토폴로지 사이를 연결하는 다리입니다. 토폴로지에서 다양한 크기의 뫼비우스 띠는 서로 바꿔 사용할 수 있습니다. 작은 띠를 큰 띠로 늘릴 수 있고, 넓은 띠를 얇은 띠로 뭉개버릴 수 있기 때문입니다. 마찬가지로, 모든 크기의 직사각형 스트립은 위상학적으로 모두 동일합니다.

그러나 스트립을 비틀고 끝을 연결하는 작업은 상황을 변화시킵니다. 최적의 모양을 고려하는 것은 토폴로지의 한계를 고려하는 것입니다. 예, 하나의 뫼비우스 띠를 다른 띠로 짜낼 수 있습니다. 하지만 더 이상 나아갈 수 없게 되기 전에 얼마나 짜낼 수 있을까요?

"한 가지 질문은 최소 길이가 무엇인지이고, 다른 하나는 최소 길이를 얻을 수 있는 방법이 있는지, 그리고 그 길이가 어떻게 생겼는지입니다."라고 말했습니다. 엘리자베스 덴 워싱턴과 리대학교 출신이다.

최근 몇 년 동안 뫼비우스의 띠(한 번 꼬인), 세 번 꼬인 뫼비우스의 띠, 단순 매듭을 포함하여 다양한 모양에 대한 새로운 최상의 값을 확인한 결과가 최소 5개 이상 나왔습니다. 이러한 결과 중 일부는 모양에 대해 가장 잘 알려진 값을 식별합니다. 다른 사람들은 한 단계 더 나아가서 더 나은 가치는 불가능하다는 것을 증명합니다.

최적의 뫼비우스 띠

직사각형이 얼마나 정사각형에 가까운지를 공식화하기 위해 수학자들은 종횡비라는 숫자를 사용합니다. 간단히 말해서 길이를 너비로 나눈 값입니다. 정사각형의 종횡비는 1인 반면, 길고 가느다란 리본 모양의 직사각형은 종횡비가 훨씬 더 큽니다. 그 리본에는 느슨함이 많이 있어서 직사각형의 끝을 비틀어서 서로 붙일 수 있습니다. 하지만 스트립이 짧아지고 가로세로 비율이 1(정사각형)에 가까워질수록 더 어려워집니다. 어느 시점에서는 더 이상 불가능합니다.

1977년에 두 명의 수학자들은 뫼비우스의 띠로 꼬이려면 오른쪽 아래의 띠에서와 같이 너비가 1인 직사각형이 $latex sqrt{3}$보다 길어야 한다고 추측했습니다. 2023년 XNUMX월에 Schwartz는 그들이 옳았다는 것을 증명했습니다. 그보다 정사각형에 더 가깝고 직사각형을 뫼비우스 띠로 비틀 수 있는 방법이 없습니다.

영리한 해결 방법을 찾고 싶은 유혹을 느낄 수도 있습니다. 정사각형을 아코디언처럼 접어 얇은 종이 조각을 만든 다음 이를 비틀어서 뫼비우스 띠로 만들 수 있습니다. 하지만 접힌 부분이 매끄럽지 않고 날카롭기 때문에 그것은 중요하지 않습니다. (부드러움은 일반 영어 의미와 일치하는 특별한 수학적 의미를 갖습니다.)

최적의 모양이 어떤 것인지 알아내는 핵심 도구 중 하나를 "제한 모양"이라고 합니다. 제한 모양은 최적화되는 모양과 중요한 측면에서 다르지만 일부 속성을 공유합니다. 대략적인 비유로 직사각형을 늘려서 더 길고 가늘게 만들면 어떻게 선처럼 보이기 시작하는지, 또는 점점 더 많은 변을 가진 다각형이 어떻게 원과 닮아가는지 생각해 보세요.

이 경우 Schwartz는 뫼비우스 띠에 대한 제한적인 모양을 만듭니다. 너비가 3단위이고 길이가 $latex sqrt{XNUMX}$단위인 평평한 종이로 시작하세요. 아래 지침에 따라 접어서 시작하세요. 이렇게 하면 아코디언처럼 날카로운 주름이 생기지만 잠시 후에 종이를 약간 느슨하게 하여 주름을 부드럽게 만들겠습니다.

왼쪽 상단 모서리에서 아래로 접어 오른쪽 하단 모서리에서 위로 접어 다이아몬드 모양을 만듭니다. 그런 다음 다이아몬드의 중앙선을 가로질러 접고 다이아몬드 내부에서 만나는 파란색과 노란색 점선으로 표시된 두 가장자리를 테이프로 붙입니다. 이제 스트립을 조금 더 길게 또는 조금 더 좁게 만들어 삼각형을 잡아당겨서 약간의 여유분을 추가하세요. 이것이 뫼비우스의 띠입니다. 접힌 부분을 따라 삼각형의 표면 위를 여행하는 극히 작은 개미는 한 면만 가지고 끝까지 돌아 다닐 것입니다.

수학자들은 이러한 삼각형이 뫼비우스 띠의 모양을 제한한다는 것을 오랫동안 알고 있었습니다. Schwartz는 더 튼튼한 스트립을 허용하는 다른 제한적인 모양이 존재하지 않음을 보여주었습니다. 이를 위해 그는 위의 가장 오른쪽 삼각형에서 볼 수 있듯이 삼각형의 접힌 부분으로 형성된 "T"를 사용했습니다.

슈 와츠 결합된 인수 토폴로지와 기하학에서. 그는 토폴로지를 사용하여 모든 종이에 뫼비우스의 띠에서 특정한 방식으로 T를 형성하는 교차선을 그리는 것이 가능하다는 것을 보여주었습니다. 그런 다음 그는 피타고라스 정리와 삼각형 부등식과 같은 몇 가지 기본 기하학을 사용하여 그러한 T가 존재한다면(반드시 존재해야 함) 스트립의 종횡비가 $latex sqrt {3}$보다 커야 함을 보여주었습니다.

최적의 꼬인 종이 실린더

Schwartz가 최적의 뫼비우스 띠를 확인한 후 사람들은 그에게 질문했습니다. 더 많이 비틀면 어떻게 될까요? 홀수만큼 비틀면 뫼비우스 띠가 생성됩니다. 결과 모양에는 여전히 한 면만 있기 때문입니다. 반면, 비틀림 횟수가 짝수이면 비틀린 원통이라고 하는 양면 구조가 생성됩니다(왼쪽 아래 표시). 일반 실린더와 달리 내부와 외부가 잘 정의되어 있지 않습니다.

뫼비우스의 띠에 관한 논문을 발표한 후 슈바르츠는 증명 1월 말에는 2개의 직각 이등변 삼각형을 쌓아서 형성된 2xXNUMX 직사각형을 접어 비틀린 원통의 제한적인 모양을 만들 수 있다는 사실이 밝혀졌습니다(오른쪽 위 그림 참조). 시작하려면 삼각형 A 뒤에 삼각형 B를 접고 삼각형 C 위에 삼각형 D를 접습니다. (점선 화살표는 뒤로 접히는 것을 나타내고 실선 화살표는 앞으로 접히는 것을 나타냅니다.) 그런 다음 아래쪽 절반을 넣어 결과 삼각형을 두 개로 접습니다. 위쪽 절반 뒤에. 그런 다음 파란색 점선과 노란색 점선(원래 직사각형의 위쪽과 아래쪽)을 테이프로 붙입니다. 마지막으로 시작 직사각형을 약간 더 길게 만들어 평평한 모양을 찌그러진 뒤틀린 원통으로 끌어올릴 수 있을 만큼 여유를 둡니다. "기본 아이디어는 먼저 제한적인 모양을 만든 다음 모양을 약간 완화하고 접힌 부분을 둥글게 만드는 것입니다."라고 Schwartz는 말했습니다. "나는 이것을 마치 물건을 만든 다음 밤새 물에 담그는 것과 같다고 생각합니다." 그림(오른쪽 위)에서 볼 수 있듯이 쌓인 삼각형 모양은 너비가 너비의 두 배이므로 비틀린 원통의 최적 종횡비는 XNUMX입니다.

최적의 세 가닥 꼬임 뫼비우스 띠

그런 다음 슈워츠는 세 번 꼬인 뫼비우스 띠에 관심을 돌렸습니다. 한 꼬임 띠와 마찬가지로 단면 모양이지만 두 개의 꼬임이 추가되어 경계가 더 복잡해집니다. Schwartz는 제한된 모양이 Martin Gardner가 대중화한 어리둥절한 모양인 헥사플렉사곤이 될 것이라고 생각했습니다. 1956 열 in 과학적인 미국. 육각형은 정삼각형의 스트립을 접고 끝을 서로 접착하여 만들어집니다. 평평한 헥사플렉사곤은 육각형이 여섯 개의 삼각형으로 나뉘어진 것처럼 보입니다. 그러나 다음과 같이 인접한 측면을 함께 꼬집음으로써 "굴곡"될 수 있습니다. 어린이 게임 MASH. 다시 열면 다른 삼각형 세트가 바깥쪽을 향하고 있습니다. 슈워츠는 “이것은 마치 점술가와 뫼비우스 무리가 아기를 낳는 것과 같다”고 말했습니다.

그러나 Schwartz의 아내인 Brienne Elisabeth Brown은 스스로 종이를 가지고 놀기 시작했고 2각형이 "약간의 붉은 청어"라고 밝혔습니다. 브라운은 3회 꼬인 뫼비우스 띠의 제한된 모양이고 길이가 너비의 XNUMX배인 "십자형"(아래 참조)이라고 부르는 구조를 발견했습니다. 먼저 스트립 중앙의 대각선을 따라 접어서 아래쪽 부분을 위쪽 부분 앞으로 가져옵니다. 그런 다음 오른쪽 상단 삼각형을 아래쪽 삼각형 앞과 왼쪽으로 접습니다. 이제 XNUMX단계에 표시된 모양이 만들어졌습니다. 오른쪽으로 튀어나온 정사각형이 있는 기울어진 평행사변형입니다. 평행사변형 뒤에 정사각형을 가져오고, 그 아래에 있는 정사각형 앞에 상단에 있는 삼각형을 가져옵니다. 그러면 XNUMX단계에 표시된 것처럼 새로운 사각형이 만들어집니다.

원래 위쪽 및 아래쪽 가장자리(파란색 및 노란색 점선으로 표시)였던 부분은 이제 둘 다 사각형의 왼쪽 가장자리에 있습니다. 그것들을 테이프로 묶으면 세 번 꼬인 뫼비우스 띠의 제한적인 모양이 만들어집니다. 한 바퀴 꼬인 띠의 경우와 마찬가지로 이 평평한 모양은 그 자체로 뫼비우스 띠는 아니지만, 날카로운 구부러짐 없이 3차원으로 이완될 수 있도록 약간의 길이만 더 주면 세 바퀴로 꼬인 띠를 형성하게 됩니다.

Brown과 Schwartz는 또한 그들이 컵이라고 부르는 3회전 실린더에 대해 완전히 다른 제한 모양을 발견했습니다. 십자형과 달리 컵은 평평하게 놓을 수 없습니다. 그러나 십자형과 마찬가지로 길이가 너비의 3배입니다. 종이에 게시 16월 3일, Brown과 Schwartz는 최적의 XNUMX개 꼬임 스트립의 종횡비가 XNUMX이라고 생각하는 이유를 설명합니다. 그러나 그들은 아직 이를 증명할 수 없었습니다. 부분적으로는 컵의 존재 때문입니다. 평평해진다는 것은 Schwartz가 XNUMX회전 및 XNUMX회전 사례에서 주장한 종류의 주장이 XNUMX회전 사례로 확장될 수 없음을 의미합니다.

최적의 개미집 매듭

모든 최적의 모양이 뫼비우스 띠의 변형은 아닙니다. 수학자들은 또한 다양한 종류의 매듭을 만드는 데 얼마나 많은 재료가 필요한지 고민합니다. 2020년에는 이 그녀의 학부생 중 두 명인 John Carr Haden과 Troy Larsen은 원환체 또는 도넛 표면에 그릴 수 있는 매듭을 연구하고 있었습니다.

가장 단순한 원환체 매듭, 실제로 가장 단순하고 사소하지 않은 매듭인 마침표를 개미집이라고 합니다. 많은 사람들이 신발끈을 묶는 첫 번째 단계에서 밧줄에 고리를 만들고 한쪽 끝을 잡아당겨서 사용하는 것과 같습니다. 그런 다음 활을 묶는 대신 신발끈 끝부분을 서로 붙여서 고리 모양을 만들었습니다. 두 개의 느슨한 끝이 연결된 오버핸드 매듭.

개미집을 묶는 일반적인 방법은 다음과 같이 토러스 주위에 끈 조각을 감싸는 것과 같습니다.