수학 문제는 종종 단순한“예 또는 아니오”구조를 갖습니다.이 진술이 참인지 거짓입니까? 그러나 가장 오래 지속되고 흥미로운 문제는 수세기에 걸쳐 세워진 중세 대성당과 같이 수십 년에 걸친 작업의 산물 인 세대를 통해 전파됩니다. 이러한 질문에 대한 답은 새로운 문을 열고 계속해서 건축 할 수있는 새로운 구조를 제공합니다.

1900 년에 수학자 David Hilbert는 그가 견디고 영감을주기를 바랬던 23 개의 중대한 미해결 문제 목록을 발표했습니다. 한 세기가 넘게 그의 질문 중 상당수는 의도적으로 모호하기 때문에 수학 연구의 최첨단을 계속해서 밀어 붙입니다.

"Hilbert는 문제를 공식화 할 때 일종의 천재성을 가졌습니다. 질문이 약간 개방적이라는 것입니다." 앙리 다르 몬 McGill University의. “이런 정말 어려운 열린 질문은 수학에 아주 좋습니다. 왜냐하면 그것들은 우리를 안내하기 때문입니다.”

Hilbert가 문제 목록을 발표하기 직전에 수학자들은 유리수와 관련된 특정 숫자 모음의 구성 요소를 발견했습니다. 이는 정수의 비율로 표현 될 수 있습니다. 이 발견은 합리적 숫자를 넘어서는 숫자 체계와 관련된 빌딩 블록을 요구하는 목록의 12 번째 문제의 기초가되었습니다.

50 년 이상의 협력 노력 끝에 최근 사전 인쇄 마지막으로 Hilbert가 광범위한 숫자 체계를 위해 원했던 빌딩 블록을 설명합니다. 그러나 대답은 매우 현대적인 아이디어에 달려 있습니다.

"이것은 우리가 오랫동안 찾고 있었던 것입니다. 그리고 그들은 정말로 큰 돌파구를 만들었습니다."라고 말했습니다. 베네딕트 그로스, 캘리포니아 대학교, 샌디에이고 및 하버드 대학교의 명예 교수 (및 전 회원 콴타의 자문위원회). “힐버트가 생각했던 것과는 완전히 다릅니다. 그러나 그것이 수학 방식입니다. 문제가 어떻게 해결 될지 결코 말할 수 없습니다.”

뿌리 파기

힐베르트의 12 번째 문제는 다음과 같은 기초 위에 세워졌습니다. 수 이론, 다항식에 대한 해를 포함하여 숫자의 기본 산술 속성을 연구하는 수학의 한 분야입니다. 이들은 다른 거듭 제곱으로 올린 변수에 계수가 첨부 된 용어 문자열입니다. x³ + 2x − 3. 특히 수학자들은 종종 이러한 표현의 뿌리, x 다항식을 XNUMX으로 만듭니다.

숫자 이론가들은 종종 그들이 가지고있는 계수의 유형에 따라 다항식을 분류합니다. 유리수를 계수로 사용하는 것은 상대적으로 간단하기 때문에 일반적인 연구 대상입니다.

"우리는 합리적인 숫자로 시작합니다." 사밋 다굽타, Duke University의 수학자이자 최근 연구 저자 중 한 명 마헤 쉬 카크 데 인도 과학 연구소의. "이것은 수 이론의 기본 시스템입니다."

때때로 유리 계수를 가진 다항식의 근은 그 자체가 유리수이지만 항상 그런 것은 아닙니다. 즉, 합리적 계수를 가진 모든 다항식의 근을 찾고자하는 수학자는 확장 된 수 체계를 살펴 봐야합니다. 모든 유리수와 실수를 포함하는 복소수와 허수 i, −1의 제곱근.

복소면에 다항식의 근을 플로팅 할 때 실수는 x-축과 순전히 가상의 축을 따라 y축, 특정 대칭이 나타날 수 있습니다. 이러한 대칭을 적용하여 점을 재 배열하고 위치를 변경할 수 있습니다. 임의의 순서로 대칭을 적용하고 동일한 결과를 얻을 수 있다면 다항식이 아벨이라고 말합니다. 그러나 대칭을 적용하는 순서가 결과를 변경하면 다항식은 비 벨리 안입니다. 숫자 이론가들은 단순함 때문에 아벨 다항식에 가장 관심이 있지만 구별하기 어려울 수 있습니다. 예를 들면 x² − 2는 아벨이지만 x³ − 2는 아닙니다.

"아벨 리안이 아닌 것에 도달하기 위해 멀리 이동할 필요가 없습니다." 엘렌 아이 셴 오레곤 대학교의.

이러한 대칭 외에도 아벨 다항식에는 다항식의 근을 간단하고 정확한 용어로 설명하려는 또 다른 특징이 있습니다. 예를 들어, 다항식의 근을 설명하는 것은 쉽습니다. x² − 3 정확히 : 3의 양의 제곱근과 음의 제곱근 일뿐입니다. 그러나 더 큰 지수로 더 복잡한 다항식의 근을 명시하는 것은 어려울 수 있습니다.

물론 해결 방법이 있습니다. Eischen은“[다항식의 근]을 근사하기 위해 수치 적으로 풀 수 있습니다. "하지만 명시적인 방식으로 기록하고 싶다면-많은 사람들이 더 만족스러워한다고 말하는 것-우리는 제한된 방식으로 만 할 수 있습니다."

그러나 합리적 계수를 가진 아벨 다항식은 특별합니다. 고정 된 빌딩 블록 모음에서 정확한 근을 계산하는 것은 항상 가능합니다. 이 발견은 매우 강력하다는 것이 입증되었고, Hilbert는 그의 12 번째 문제를 제기하도록 영감을주었습니다. 그것은 모두 통합의 뿌리로 알려진 숫자 모음 덕분입니다.

통일의 뿌리

통일의 뿌리는 비범 한 힘을 지닌 단순 해 보이는 개념입니다. 수치 적으로, 그들은 다음과 같이 거듭 제곱 된 변수가 1로 설정된 다항식에 대한 솔루션입니다. x⁵ = 1 또는 x⁸ = 1.이 해는 복소수이며 지수의 숫자로 참조됩니다. 예를 들어, "통합의 다섯 번째 뿌리"는 x⁵ = 1.

그러나 단일성의 뿌리는 방정식을 사용하지 않고도 기하학적으로 설명 할 수 있습니다. 복잡한 평면에 플로팅하면 점은 모두 반지름 1의 원에 놓입니다. 원을 시계라고 생각하면 항상 3시 방향에 단일성의 근을 갖게됩니다. x = 1, 1의 모든 거듭 제곱은 여전히 ​​1이기 때문에 나머지 단일 뿌리는 원 주위에 균등하게 간격을 둡니다.

1800 년대에 Hilbert의 문제 목록 이전에 수학자들은 합리적 계수를 가진 아벨 다항식의 뿌리와 같이 연구하고자하는 특정 수의 집합에 대한 "구성 요소"역할을 할 수 있다는 것을 수학자들은 발견했습니다. 합리적 수로 더하고 빼고 곱하기와 같이 통합의 근본을 단순하게 조합하면 원하는 근을 모두 설명 할 수 있습니다. 예를 들어, 5의 제곱근은 아벨 다항식의 근입니다. x² − 5이며, 다양한 XNUMX 분의 XNUMX 근의 합으로 표현할 수 있습니다. 마찬가지로 루트 x² − 2의 제곱근 인 2는 XNUMX 번째 단일 근을 사용하여 형성됩니다. 이것은 소수가 정수를 구성하는 블록과 유사합니다.

따라서 단일성의 근은 합리적 계수로 아벨 다항식의 근을 완벽하게 설명하는 데 필요한 정확한 구성 요소입니다. 반대로, 일체의 근의 조합은 합리적 계수를 갖는 일부 아벨 다항식의 근인 숫자를 생성합니다. 이 둘은 뗄 수없이 연결되어 있습니다.

Hilbert가 12 번째 문제를 제기했을 때 원하는 것은 수학자들이 유리수를 넘어서는 수 체계의 계수를 가진 아벨 다항식의 근본 구성 요소를 찾는 것이 었습니다. 다시 말해, 다른 수 체계에 대한 통합의 뿌리의 유사점은 무엇입니까?

넘다

야심 찬 질문이지만, 이것이 처음에 Hilbert의 목록에 오른 이유입니다. 그는 그것을 쓸 때 가상 XNUMX 차 장으로 알려진 다른 유형의 숫자 ​​체계에 대한 빌딩 블록을 설명하는 방법에 대한 아이디어를 가지고 있었기 때문에 대답 할 수 있다고 생각했습니다. (거의이 시스템은 유리수와 음수의 제곱근 만 포함합니다.) 그의 추측은 수십 년 후에 정확하다는 것이 증명되었습니다.

“[이성]의 경우와 가상의 XNUMX 차장의 경우의 두 가지 경우가 있는데, 이는 Hilbert가 질문을 공식화하는 데 도움이되었습니다.”라고 말했습니다. 앨리스 포지 임페리얼 칼리지 런던의.

Hilbert는 다른 숫자 체계의 구성 요소가 이미 알고있는 두 사례와 유사한 용어로 설명 될 것으로 예상했습니다. 이것은 복소수를 사용하여 함수를 연구하는 수학의 한 분야 인 복잡한 분석을 사용하는 것을 의미했습니다.

그러나 힐버트가 1970 번째 문제의 토대를 마련한 지 수십 년이 지난 12 년대에 수학자 해롤드 스타크는 다음과 같이 추측했습니다. L-기능이 대신 크랙을 도울 수 있습니다. 이것들은 무한히 많은 수를 더하는 함수 유형입니다. 주제 인 Riemann zeta 함수 힐버트의 목록에있는 또 다른 문제는 유명한 예입니다.

ζ(s) = 1 + $ latex frac {1} {2 ^ s} $ + $ latex frac {1} {3 ^ s} $ + $ latex frac {1} {4 ^ s} $ + $ latex frac {1} { 5 ^ s} $ + $ latex frac {1} {6 ^ s} $ + $ latex frac {1} {7 ^ s} $ +….

수세기 동안 수학자들은 L-기능은 신비하고 흥미로운 결과를 생성합니다. 간단한 분수의 무한 시퀀스를 사용하여 파이 및 기타 중요한 상수와 관련된 숫자를 만드는 방법을 보여줍니다.

이 직관을 바탕으로 Stark는 다음을 사용하여 다른 숫자 체계에 대한 통합의 뿌리를 비유 할 수있었습니다. L-기능. 그러나 수학자들은 Stark의 추측이 사실이라고 믿고 컴퓨터 분석을 사용하여 광범위하게 테스트했지만 그것을 증명하는 데 성공하지 못했습니다.

"스타크 추측은 우리가 아는 한 정말 어렵습니다."Darmon이 말했습니다. "거의 진전이 전혀 없었고 50 년이 지났습니다."

궁극적으로 Stark가 한 일은 L-함수, 다른 수 체계의 계수를 가진 아벨 다항식의 근을 구성하는 블록. 레시피가 효과가 있음을 보여주는 방법을 아는 사람은 아무도 없습니다.

설상가상으로 Stark의 레시피는 빌딩 블록을 실제로 설명하는 데 필요한 정보의 절반 만 제공합니다. 이것은 위치의 경도 만있는 것과 같습니다. 특정 지점을 찾으려면 위도도 필요합니다.

1980 년대에 Gross는 새로운 재료를 사용하여 Stark 레시피의 수정 된 버전을 게시하여 작업을 계속했습니다. Hilbert처럼 Stark는 복소수로 생각했지만 Gross 대신 전에, p-adic 숫자. 두 숫자가 서로 가까운 때를 결정하기 위해 다른 방법을 사용하는 표준 숫자의 대안입니다.

Dasgupta는“모든 미적분 이론을 처음부터 다시 구축 할 수 있습니다. 여기에서 사물이 가깝다는 것이 의미하는 바에 대한 새로운 개념을 사용할 수 있습니다.”라고 Dasgupta가 말했습니다.

수학의 많은 개념은 다음을 사용하여 다시 작성할 수 있습니다. p-adic 숫자 및 포함 L-기능. 사실 현대의 수 이론에서는 p-아딕 L-기능은 복합물의 자연스러운 동반자로 간주됩니다. L-기능.

"그들은 매우 일관된 가족을 구성합니다." 배리 마주 르 하버드. "그들은 함께 일합니다."

그럼에도 불구하고 처음에는 Gross의 복소수에서 p-adic 숫자는 수학자들이 Stark의 추측을 증명하는 데 더 가까워지는 것처럼 보이지 않았습니다.

Gross는 " '원래 추측만큼 어렵지만 다른 형태 일뿐'이라고 생각했기 때문에 완전히 겁이났습니다. 하지만 이후 수십 년 동안 Gross ' p-숫자 이론가가 이론을 개발함에 따라 adic 추측은 복잡한 대응 물보다 해결하기가 더 쉬워 보이기 시작했습니다. p-adic 숫자.

“이제 전 세계가 p-매우 풍부하고 흥미로운 결과를 많이 이끌어 낸 adic 분석”이라고 Darmon이 말했습니다. 수학의 많은 중요한 문제는 p-복소수가 아닌 adic 숫자-Hilbert의 12 번째 문제 포함.

치핑 어웨이

올해 XNUMX 월 Dasgupta와 Kakde는 p-아딕 L-별도의 대규모 숫자 체계 모음에 대한 Hilbert의 질문에 처음으로 대답하는 기능. 완전히 실제 필드로 알려진이 시스템은 주어진 다항식의 한 근을 포함하는 유리수의 확장입니다. (예를 들어 2의 제곱근을 통합하면 유리수를 확장하여 $ latex frac {sqrt {2}} {3} $, 1 + $ latex sqrt {2} $ 및 2 – 3 $ latex sqrt {와 같은 숫자를 포함합니다. 2} $.)

Dasgupta는 2004 년 박사 논문에서 Gross의 추측을 개선 한 최종 공식을 처음으로 내놓았습니다.

Dasgupta는“내 인생의 반 동안이 작업을 해왔습니다. “그래서 마침내 증명을 완성하게되어 매우 만족 스럽습니다.”

지난 XNUMX 년 동안 진행된 프로세스의 첫 번째 단계는 마침내 Gross의 추측을 시리즈 2 명 중 서류, 최신 개발을 사용하여 p-adic 숫자 이론. 그러나 이것은 정보의 절반에 불과했습니다. Stark와 같은 Gross의 추측은 빌딩 블록을 정확하게 설명하는 데 필요한 두 숫자 중 하나만 제공하기 때문입니다.

지난 XNUMX 년 동안 Dasgupta와 Kakde는 비록 불가능 해 보였지만 두 수치를 모두 제공하는 Gross의 추측을 증명하기 위해 노력했습니다.

"아마 우리 둘 다 매우 낙관적 일 수 있습니다."라고 Kakde는 말했습니다. "때로는 이러한 장애물이 매우 심각한 것처럼 보였고 때로는 매우 심각한 것처럼 보였지만 다행스럽게도 진전이 계속 발생했습니다."

작년에 그들은 돌파구를 가졌습니다. 그들은 완전히 실제 분야와 관련된 정확한 빌딩 블록이 존재한다는 것을 증명할 수있었습니다. 즉, 원하는 물체가 어딘가에 있다는 것을 알았고 이러한 통찰력이 그들을 올바른 방향으로 인도했습니다. 빌딩 블록을 완전히 설명하는 정확한 공식을 증명하기위한 핵심 방정식을 제공했습니다.

그것이 맞는지 확인하기 위해 Dasgupta와 함께 일하는 두 학생은 컴퓨터 프로그램 실제로 주어진 숫자 체계를위한 빌딩 블록을 생성 할 수 있습니다. 마침내 이제 완성 된 레시피를 굽고 작동하는 것을 보여줍니다. 이론적 증명과 함께 컴퓨터 프로그램은 Dasgupta와 Kakde의 공식의 정확성을 입증하는 데 도움이됩니다. 이러한 추상적 인 문제에 대한 해법의 특히 중요한 요소이며 미묘하게 오답되기 쉽습니다. (Hilbert 자신은 12 번째 문제에 대한 부분적인 해결책을 잘못 언급했습니다.)

Dasgupta는“저는 그것을 공동의 노력으로 봅니다. 사실, 최근 연구는 XNUMX 대에 걸친 수학자들의 결과입니다. 그는 Darmon 's의 학생이었고 Gross '의 학생이었습니다. "[그것은] 오랜 시간이 걸렸고 마침내이 최근 논문들에 의해 결실을 맺었습니다."

Hilbert의 12 번째 문제는 단결의 근과 유사한 아벨 다항식의 근본 구성 요소에 대한 정확한 설명을 요구하며 Dasgupta와 Kakde의 연구는 비록 결정적으로 현대적인 해석이기는하지만 형태 p-아딕 L-기능.

그러나 마지막 주름이 하나 있습니다. Hilbert는 빌딩 블록이 복소수로 구성되어야한다고 명시 적으로 썼기 때문에 솔루션이 Hilbert의 원래 지침에서 벗어나는 방식은 수학의 다양성을 보여줍니다. Hilbert의 질문에 대한 답변을 제공합니다. p-복잡한 분석을 사용하여 원래의 질문을 남겨 두면서도 다음 세대의 수학자들이 탐구 할 수있는 개방형 분석. 빌딩 블록을 설명하는 방법은 여러 가지가있을 수 있으며 언젠가는 누군가가 Hilbert의 초기 요청을 충족하면서 복소수를 사용하여이를 설명 할 수있을 것입니다.

“모두 릴레이 경주입니다.”Gross가 말했습니다. "당신은 다음 세대의 러너들에게 지쳐서 배턴을 넘기고 있습니다."