독일 수학자 마틴 아이흘러는 “수학에는 다섯 가지 기본 연산이 있다”고 말했습니다. “덧셈, ​​뺄셈, 곱셈, 나눗셈 및 모듈러 형태.”

물론 농담의 일부는 그 중 하나가 다른 것과 다르다는 것입니다. 모듈형 형태는 훨씬 더 복잡하고 수수께끼 같은 기능이며, 학생들은 일반적으로 대학원에 들어갈 때까지 이러한 형태를 접하지 않습니다. 그러나 "응용 프로그램이 없는 수학 영역은 응용 프로그램이 있는 곳보다 아마도 더 적을 것입니다."라고 말했습니다. 돈 자기에르, 독일 본에 있는 막스 플랑크 수학연구소의 수학자. 매주 새로운 논문은 정수론, 기하학, 조합론, 위상수학, 암호학, 심지어 끈 이론까지 범위를 확장합니다.

이는 너무 눈에 띄고 정교하여 불가능할 정도로 대칭을 만족시키는 기능으로 종종 설명됩니다. 이러한 대칭과 함께 제공되는 속성은 모듈형 형태를 엄청나게 강력하게 만듭니다. 이것이 바로 1994년 페르마의 마지막 정리에 대한 획기적인 증거에서 그들을 주요 인물로 만든 이유입니다. 그것이 그들을 중심으로 만든 것입니다. 구형 패킹에 대한 최근 작업. 그리고 이것이 이제 그것들이 '만물에 대한 수학적 이론'의 지속적인 발전에 결정적인 역할을 하게 만드는 것입니다. 랭글랜즈 프로그램.

하지만 그들은 무엇입니까?

무한한 대칭

모듈 형태를 이해하려면 먼저 보다 친숙한 대칭에 대해 생각해 보는 것이 도움이 됩니다.

일반적으로 모양이 동일하게 유지되는 변형이 있을 때 모양이 대칭이라고 합니다.

함수는 대칭성을 나타낼 수도 있습니다. $latex f(x) = x^2$ 등식으로 정의된 포물선을 생각해 보세요. 하나의 대칭성을 만족합니다. y-중심선. 예를 들어 $latex f(3) = f(−3) = 9$입니다. 보다 일반적으로 $latex x$ 입력을 $latex -x$로 이동하면 $latex x^2$는 동일한 값을 출력합니다.

무한히 많은 함수가 이 대칭을 만족합니다. 다음은 몇 가지입니다:

마지막 예는 삼각법의 코사인 함수입니다. 반사 대칭을 나타내지만 다른 대칭도 있습니다. $latex x$를 이동하면 $latex 2pi$의 정수 배수로 함수는 항상 동일한 값을 반환합니다. 즉, 함수를 변경하지 않고 그대로 둘 수 있는 변환이 무한히 많다는 의미입니다.

이러한 추가 대칭은 코사인과 같은 함수를 매우 유용하게 만듭니다. "기본 물리학의 대부분은 삼각 함수의 전체 의미를 이해하는 것에서 시작됩니다."라고 말했습니다. 오노 켄, 버지니아 대학의 수학자.

"모듈형 형태는 삼각 함수와 비슷하지만 스테로이드에 관한 것입니다."라고 그는 덧붙였습니다. 그들은 무한히 많은 "숨겨진" 대칭을 만족시킵니다.

복잡한 우주

함수는 실수(기존 십진수로 표현될 수 있는 값)로 정의된 경우에만 많은 작업을 수행할 수 있습니다. 결과적으로, 수학자들은 실수의 쌍으로 생각할 수 있는 복소수에 의존하는 경우가 많습니다. 모든 복소수는 두 가지 값, 즉 "실수" ​​구성 요소와 "허수" 구성 요소로 설명됩니다. 이 구성 요소는 실수에 제곱근 -1을 곱한 값입니다(수학자들은 이를 $latex i$로 씁니다).

따라서 모든 복소수는 XNUMX차원 평면의 한 점으로 표현될 수 있습니다.

복소수의 함수를 시각화하는 것은 어렵기 때문에 수학자들은 종종 색을 사용합니다. 예를 들어, 무지개 바퀴처럼 보이도록 복잡한 평면에 색상을 지정할 수 있습니다. 각 점의 색상은 극좌표의 각도에 해당합니다. 점의 각도가 0도인 중심 바로 오른쪽에 빨간색이 표시됩니다. 90도 또는 수직 방향에서 점은 밝은 녹색으로 표시됩니다. 등등. 마지막으로 등고선은 지형도에서와 같이 크기나 규모의 변화를 표시합니다.

이제 이를 참조 그래프로 사용하여 복잡한 기능을 설명할 수 있습니다. 평면 위의 점 위치는 입력을 나타내며 참조 그래프를 기반으로 해당 점에 색상을 할당합니다. 예를 들어 $latex f(z) = z^2$ 함수를 생각해 보세요. $latex z = 1 + i$, $latex f(z) = 2i$일 때, $latex (1 + i)^2 = 2i$이기 때문입니다. $latex 2i$는 참조 그래프에서 밝은 녹색으로 표시되므로 새 그래프에서는 $latex 1 + i$ 지점을 밝은 녹색으로 표시합니다.

$latex f(z) = z^2$의 그래프는 색상을 두 번 통과합니다. 복소수를 제곱하면 각도가 두 배가 되기 때문입니다. 또한 출력 크기가 더 빨리 커지기 때문에 더 많은 등고선이 있습니다.

보다 일반적으로, 중심(또는 원점)을 통과하는 대각선 위에 점을 반사하면 그래프가 동일하게 보입니다.

이것은 복소수 함수의 대칭 중 하나입니다. 모듈러 형태는 놀라울 정도로 다양한 대칭성을 보여줍니다. 그러나 색상과 등고선이 나타내는 실제 기능을 이해하는 것은 어려울 수 있습니다.

기본 영역

그렇게 하려면 이러한 복잡한 기능을 보는 방식을 단순화하는 것이 도움이 됩니다.

모듈식 형태의 대칭성으로 인해 기본 영역이라고 불리는 평면 영역에 위치한 좁은 조각의 입력을 기반으로 전체 함수를 계산할 수 있습니다. 이 영역은 바닥에 반원형 구멍이 뚫려 있는 수평 축에서 위로 올라가는 스트립처럼 보입니다.

함수가 그곳에서 어떻게 작동하는지 안다면 다른 곳에서도 그 기능이 무엇인지 알게 될 것입니다.

방법은 다음과 같습니다.

두 가지 종류의 변환은 기본 영역을 오른쪽과 왼쪽뿐만 아니라 수평 축을 따라 점점 줄어드는 일련의 반원에도 복사합니다. 이 복사본은 복합 평면의 위쪽 절반 전체를 채웁니다.

모듈 형식은 매우 특별한 방식으로 사본을 서로 연관시킵니다. 그것이 대칭이 그림에 들어가는 곳입니다.

첫 번째 종류의 변환(한 단위를 왼쪽이나 오른쪽으로 이동하여)을 통해 한 복사본의 한 지점에서 다른 복사본의 지점으로 이동할 수 있는 경우 모듈 형식은 해당 두 지점에 동일한 값을 할당합니다. 코사인 함수의 값이 $latex 2pi$ 간격으로 반복되는 것처럼 모듈러 형식은 XNUMX단위 간격으로 주기적입니다.

한편, 두 번째 유형의 변환을 통해 한 복사본의 한 점에서 다른 복사본의 점으로 이동할 수 있습니다. 즉, 원점을 중심으로 반지름이 1인 원의 경계를 반사함으로써 가능합니다. 이 경우 모듈식 형태는 해당 포인트에 반드시 동일한 값을 할당하지 않습니다. 그러나 두 지점의 값은 대칭을 발생시키는 일반적인 방식으로 서로 관련됩니다.

이러한 변환을 무수히 많은 방식으로 결합할 수 있으며, 이는 모듈 형식이 충족해야 하는 무수히 많은 대칭 조건을 제공합니다.

“그건 별로 흥미롭지 않을 것 같아요.”라고 말했습니다. 존 보이트, 다트머스 대학의 수학자. "내 말은 상반면을 쪼개서 여러 곳에 숫자를 넣는다는 뜻이에요. 누가 신경쓰겠어요?"

“그러나 그것들은 매우 기본적입니다.”라고 그는 덧붙였습니다. 그리고 그렇게 된 데에는 이유가 있습니다.

통제된 공간

1920년대와 30년대에 독일의 수학자 에리히 헤케(Erich Hecke)는 모듈형 형태에 관한 더 깊은 이론을 개발했습니다. 결정적으로 그는 특정 공간, 즉 특정 크기와 기타 속성을 가진 공간에 존재한다는 것을 깨달았습니다. 그는 이러한 공간을 구체적으로 설명하고 이를 사용하여 다양한 모듈 형태를 서로 연결하는 방법을 알아냈습니다.

이러한 깨달음은 20세기와 21세기 수학의 많은 발전을 가져왔습니다.

방법을 이해하려면 먼저 오래된 질문인 주어진 정수를 네 제곱의 합으로 쓸 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 예를 들어, 1을 표현하는 방법은 한 가지뿐인 반면, 24을 표현하는 방법은 2가지, 32를 표현하는 방법은 3가지, 1을 표현하는 방법은 8가지입니다. 이 수열을 연구하려면 — 24, 32, XNUMX, XNUMX 등등 — 수학자들은 이를 생성 함수라고 불리는 무한한 합으로 인코딩했습니다.

$latex 1 + 8q + {{24q}^2} + {{32q}^3} + {{24q}^4} + {{48q}^5} + …$

예를 들어 $latex q^{174}$의 계수가 무엇인지 알 수 있는 방법이 반드시 필요하지는 않았습니다. 이것이 바로 그들이 대답하려는 질문이었습니다. 그러나 수열을 생성 함수로 변환함으로써 수학자들은 미적분학 및 기타 분야의 도구를 적용하여 이에 대한 정보를 추론할 수 있습니다. 예를 들어, 그들은 어떤 계수의 값을 근사화하는 방법을 생각해 낼 수 있습니다.

그러나 생성 함수가 모듈러 형태라면 훨씬 더 나은 결과를 얻을 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 즉, 모든 계수에 대한 정확한 공식을 얻을 수 있습니다.

“모듈형이라는 것을 안다면 모든 것을 아는 것입니다.”라고 말했습니다. 얀 브루니에르 독일 다름슈타트 기술대학교.

그 이유는 모듈 형태의 무한히 많은 대칭이 보기에 아름다울 뿐만 아니라 "너무나 제약적"이기 때문입니다. 래리 롤렌 밴더빌트 대학교(Vanderbilt University)는 "사물 간의 일치와 동일성을 자동으로 증명하는 도구"로 만들 수 있다고 말했습니다.

수학자 및 물리학자는 함수 생성에 대한 관심 있는 질문을 인코딩하는 경우가 많습니다. 특수 곡선의 점 수나 특정 물리적 시스템의 상태 수를 세고 싶을 수도 있습니다. “운이 좋으면 모듈형이 될 것입니다.” 클라우디아 알페스-노이만, 독일 빌레펠트 대학의 수학자. 증명하기는 매우 어려울 수 있지만, 가능하다면 "모듈 형태 이론은 매우 풍부하여 이러한 [계열] 계수를 조사할 수 있는 수많은 가능성을 제공합니다."

빌딩 블록

어떤 모듈 형태라도 매우 복잡해 보일 것입니다. 다른 모듈 형태의 빌딩 블록으로 사용되는 가장 간단한 것 중 일부를 Eisenstein 시리즈라고 합니다.

아이젠슈타인 급수는 함수의 무한한 합으로 생각할 수 있습니다. 이러한 각 기능을 결정하려면 무한 2D 그리드의 점을 사용하십시오.

원점 근처의 그리드에서 단 XNUMX개의 점과 관련된 함수를 추가하면 뚜렷한 대칭이 어떻게 나타나기 시작하는지 확인할 수 있습니다.

그리드의 무한히 많은 기능을 모두 합치면 아마도 가장 쓰기 쉬운 모듈 형식인 Eisenstein 시리즈를 얻게 됩니다. 패턴은 형태의 정의적인 대칭을 반영합니다. 즉, 왼쪽과 오른쪽으로 끝없이 반복되고 수평축에 가까워지면 더 복잡한 방식으로 변형됩니다.

게임은 계속된다

모듈러 형태에 대한 연구는 수많은 수학적 승리를 가져왔습니다. 예를 들어, 우크라이나 수학자 Maryna Viazovska가 구형 패킹에 관한 최근 연구를 진행했습니다. 지난해 필즈상 수상, 모듈러 형태를 사용했습니다. Bruinier는 “그걸 보고 상당히 놀랐습니다.”라고 말했습니다. "하지만 어떻게든 작동하는군요."

모듈러 형태는 다음과 같은 중요한 대수적 객체와 연결되어 있는 것으로 밝혀졌습니다. 몬스터 그룹. 그들은 다음과 같은 특별한 종류의 네트워크를 구축하는 데 사용되었습니다. 확장 그래프, 이는 컴퓨터 과학, 통신 이론 및 기타 응용 분야에 나타납니다. 그들은 끈 이론과 양자 물리학에서 입자 상호 작용의 잠재적인 모델을 연구하는 것을 가능하게 했습니다.

아마도 가장 유명한 것은 1994년 페르마의 마지막 정리 증명이 모듈러 형식에 달려 있다는 것입니다. 정수론에서 가장 중요한 문제 중 하나로 널리 간주되는 이 정리는 XNUMX이 아닌 정수가 XNUMX개 존재하지 않는다고 명시합니다. a, b 와 c 이는 $latex n$이 2보다 큰 정수일 때 $latex {a^n} + {b^n} = {c^n}$ 방정식을 충족합니다. 수학자 Andrew Wiles는 반대 가정을 통해 이것이 사실임을 입증했습니다. 방정식에 대한 해법은 존재합니다. 그런 다음 모듈러 형식을 사용하여 그러한 가정이 모순으로 이어진다는 것을 보여줍니다.

먼저 그는 자신이 가정한 해법을 사용하여 타원 곡선이라는 수학적 대상을 만들었습니다. 그런 다음 그는 항상 독특한 모듈 형태를 그러한 곡선과 연관시킬 수 있음을 보여주었습니다. 그러나 모듈형 이론은 이 경우 모듈형이 존재할 수 없다고 규정했다. Voight는 “사실이 되기에는 너무 좋은 일입니다.”라고 말했습니다. 이는 결국 가정된 해가 존재할 수 없다는 것을 의미하며, 따라서 페르마의 마지막 정리가 확인됩니다.

이는 수백년 된 문제를 해결했을 뿐만 아니라; 또한 직접 연구하기 어려울 수 있는(암호화 및 오류 수정 코드에서 중요한 역할을 하는) 타원 곡선에 대한 더 나은 이해를 제공했습니다.

이 증명은 또한 기하학과 수론 사이의 연결을 조명했습니다. 그 다리는 이후로 확장되었습니다. 랭글랜즈 프로그램, 두 분야 사이의 더 큰 연결 세트 - 그리고 현대 수학의 중심 연구 노력 중 하나의 주제입니다. 모듈형 형태는 잠재적인 적용이 이제 막 인식되기 시작한 다른 영역에서도 일반화되었습니다.

그들은 수학과 물리학의 모든 곳에서 계속해서 나타나며 때로는 아주 신비롭습니다. “나는 블랙홀에 관한 신문을 본다”고 말했다. 스티브 쿠들라 토론토 대학교에서 “저는 제 친구인 모듈형 형태를 찾았습니다. 그런데 그 사람들이 왜 거기 있는지 모르겠어요.”

"어쨌든 모듈형 형태는 세계의 가장 근본적인 대칭성을 포착합니다."라고 그는 덧붙였습니다.