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수학의 유명한 프랙탈인 만델브로 집합을 해독하기 위한 탐구 | 콴타 매거진

시간

개요

1980년대 중반에는 워크맨 카세트 플레이어나 홀치기 염색 셔츠처럼 만델브로 세트의 벌레 같은 실루엣이 어디에나 있었습니다.

학생들은 전 세계 기숙사 벽에 그것을 칠했습니다. 수학자들은 수백 통의 편지와 세트의 인쇄물에 대한 열렬한 요청을 받았습니다. (대응으로 그들 중 일부는 가격표가 포함된 카탈로그를 제작했고 다른 일부는 가장 눈에 띄는 기능을 책으로 정리했습니다.) 기술에 정통한 팬들은 1985년 XNUMX월호를 참조할 수 있습니다. 과학적인 미국. 표지에는 만델브로트 세트가 불타오르는 덩굴손으로 펼쳐져 있고, 가장자리에는 불이 붙었습니다. 그 안에는 독자들이 스스로 상징적인 이미지를 생성할 수 있는 방법을 자세히 설명하는 세심한 프로그래밍 지침이 들어 있었습니다.

그때까지 그 덩굴손은 수학을 훨씬 넘어 일상 생활의 겉보기에 관련이 없어 보이는 구석까지 그 범위를 확장했습니다. 향후 몇 년 내에 만델브로 세트는 데이비드 호크니(David Hockney)의 최신 그림과 여러 음악가의 최신 작곡(바흐 스타일의 푸가 같은 작품)에 영감을 주게 됩니다. 이는 존 업다이크의 소설 페이지에 등장하며 문학 평론가 휴 케너(Hugh Kenner)가 에즈라 파운드(Ezra Pound)의 시를 분석하는 방법을 안내합니다. 그것은 환각적인 환각의 주제가 되었고, SF의 거장 아서 C. 클라크(Arthur C. Clarke)가 해설한 인기 다큐멘터리의 주제가 되었습니다.

만델브로 집합은 프랙탈 윤곽선이 있는 특별한 모양입니다. 컴퓨터를 사용하여 세트의 들쭉날쭉한 경계를 확대하면 해마 계곡과 코끼리 행렬, 나선 은하 및 뉴런과 같은 필라멘트를 만날 수 있습니다. 아무리 깊이 탐색하더라도 항상 원본 세트의 거의 복사본을 볼 수 있습니다. 즉 무한하고 현기증나는 자기 유사성의 폭포입니다.

그 자기 유사성은 James Gleick의 베스트셀러 책의 핵심 요소였습니다. 혼돈, 이는 대중문화에서 만델브로 세트의 위치를 ​​확고히 했습니다. Gleick은 “그것은 아이디어의 세계를 담고 있었습니다.”라고 썼습니다. "현대 예술 철학, 수학 실험의 새로운 역할에 대한 정당화, 복잡한 시스템을 대중에게 알리는 방법."

만델브로 집합은 하나의 상징이 되었습니다. 이는 우리 주변 세계의 프랙탈 특성을 설명하는 더 나은 방법인 새로운 수학적 언어의 필요성을 나타냅니다. 이는 삶 자체와 마찬가지로 가장 단순한 규칙에서 얼마나 심오한 복잡성이 나타날 수 있는지를 보여주었습니다. (“그러므로 이것은 진정한 희망의 메시지입니다.” 존 허바드세트를 연구한 최초의 수학자 중 한 명인 는 1989년 비디오에서 "생물학도 이 그림을 이해할 수 있는 것과 같은 방식으로 실제로 이해될 수 있을 것입니다."라고 말했습니다.) 만델브로트 세트에서는 질서와 혼돈이 조화롭게 살았습니다. 결정론과 자유의지는 조화될 수 있다. 한 수학자는 XNUMX대 때 세트장을 우연히 발견했고 이를 진실과 거짓 사이의 복잡한 경계에 대한 은유로 여겼던 것을 회상했습니다.

개요

만델브로 집합은 그렇지 않을 때까지 어디에나 있었습니다.

40년 안에 그것은 사라질 것 같았습니다. 수학자들은 다른 주제로 옮겨갔고 대중은 다른 기호로 옮겨갔습니다. 발견된 지 불과 XNUMX년이 지난 오늘날, 프랙탈은 진부하고 경계선적인 키치가 되었습니다.

그러나 소수의 수학자들은 이를 거부했습니다. 그들은 만델브로 집합의 비밀을 밝히는 데 일생을 바쳤습니다. 이제 그들은 마침내 그것을 진정으로 이해하기 직전이라고 생각합니다.

그들의 이야기는 탐험과 실험, 기술이 어떻게 우리의 사고 방식을 형성하는지, 그리고 우리가 세상에 대해 묻는 질문에 관한 이야기입니다.

현상금 사냥꾼

2023년 20월, 전 세계에서 온 수학자 1800명이 한때 덴마크 군사 연구 기지였던 땅 없는 벽돌 건물에 모였습니다. XNUMX년대 후반에 숲 한가운데에 지어진 이 기지는 덴마크에서 가장 인구가 많은 섬의 북서쪽 해안에 있는 피요르드에 자리잡고 있었습니다. 오래된 어뢰가 입구를 지키고 있었습니다. 제복을 입은 해군 장교들, 부두에 줄지어 선 배들, 잠수함 시험 중인 잠수함의 모습을 담은 흑백 사진들이 벽을 장식했다. XNUMX일 동안 맹렬한 바람이 창밖의 물을 휘저어 하얀 거품을 내는 동안 그룹은 일련의 대화에 참여했는데, 그 대부분은 뉴욕 스토니 브룩 대학교의 두 수학자에 의해 진행되었습니다. 미샤 류비치디마 두드코.

워크숍의 청중 중에는 만델브로 세트의 가장 용감한 탐험가들이 있었습니다. 앞좌석 근처 시시쿠라 미츠히로 1990년대에 세트의 경계가 가능한 한 복잡하다는 것을 증명한 교토 대학의 교수입니다. 몇 자리 남지 않았어 이노우 히로유키, 그는 Shishikura와 함께 Mandelbrot 집합의 특히 주목받는 영역을 연구하기 위한 중요한 기술을 개발했습니다. 마지막 행에는 울프 정, Mandelbrot 집합을 대화식으로 조사하기 위해 수학자들이 사용하는 소프트웨어인 Mandel의 창시자입니다. 또한 참석했다 아르노 셰리타 툴루즈 대학교, 카르스텐 피터슨 워크숍을 조직한 Roskilde 대학의 교수와 만델브로 집합에 대한 수학자들의 이해에 큰 공헌을 한 여러 사람들이 있습니다.

개요

그리고 화이트보드에는 이 주제에 대한 세계 최고의 전문가인 Lyubich와 그의 가장 가까운 협력자 중 한 명인 Dudko가 서 있었습니다. 수학자들과 함께 제레미 칸알렉스 카피암바, 그들은 만델브로 집합의 기하학적 구조에 대한 오랜 추측을 증명하기 위해 노력해 왔습니다. MLC로 알려진 이 추측은 프랙탈을 특성화하고 뒤엉킨 황무지를 길들이기 위한 수십 년 간의 탐구의 마지막 장애물입니다.

수학자들은 강력한 도구 세트를 구축하고 연마함으로써 "만델브로 세트에 있는 거의 모든 것"의 기하학을 제어하기 위해 씨름해 왔습니다. 캐롤라인 데이비스 인디애나 대학의 — 몇 가지 남은 사례를 제외하고. "미샤와 디마, 제레미와 알렉스는 마치 현상금 사냥꾼처럼 마지막 이들을 추적하려고 합니다."

Lyubich와 Dudko는 MLC 증명을 향한 최근 진행 상황과 이를 위해 개발한 기술에 대해 다른 수학자들을 업데이트하기 위해 덴마크에 있었습니다. 지난 20년 동안 연구원들은 만델브로 집합을 생성하는 데 사용되는 숫자와 함수의 종류에 대한 수학적 연구인 복잡한 분석 분야의 결과와 방법을 풀기 위한 워크숍을 위해 이곳에 모였습니다.

그것은 특이한 설정이었습니다. 수학자들은 모든 식사를 함께 먹고, 맥주를 마시며 밤새도록 이야기하고 웃었습니다. 마침내 잠자리에 들기로 결정했을 때 그들은 시설 2층에 있는 작은 방에서 이층 침대나 간이 침대를 사용했습니다. (도착하자마자 우리는 더미에서 시트와 베갯잇을 꺼내서 침대를 정리하기 위해 위층으로 가져가라는 지시를 받았습니다.) 어떤 해에는 컨퍼런스 참석자들이 차가운 물에서 용감하게 수영을 했습니다. 더 자주 그들은 숲 속을 배회합니다. 하지만 대부분 수학 외에는 할 일이 없습니다.

일반적으로 참석자 중 한 명이 워크숍에 젊은 수학자들이 많이 모인다고 말했습니다. 하지만 이번에는 그렇지 않았다. 아마도 학기 중반이었기 때문일 수도 있고, 아니면 주제가 너무 어려웠기 때문일 수도 있다. 그는 그 순간 그 분야의 수많은 명사들 앞에서 강연을 한다는 생각에 약간 겁이 났다고 고백했습니다.

개요

그러나 복잡한 분석이라는 더 넓은 영역의 대부분의 수학자들이 더 이상 만델브로 집합을 직접 다루지 않는다는 점을 감안할 때 전체 워크숍을 MLC에 전념할 이유가 무엇입니까?

만델브로 집합은 단순한 은유적 의미가 아닌 프랙탈 그 이상입니다. 이는 간단한 규칙에 따라 점이 공간을 통해 이동할 수 있는 모든 다양한 방식의 동적 시스템에 대한 일종의 마스터 카탈로그 역할을 합니다. 이 마스터 카탈로그를 이해하려면 다양한 수학적 환경을 거쳐야 합니다. 만델브로 집합은 동역학뿐만 아니라 정수론, 위상수학, 대수기하학, 군론, 심지어 물리학과도 깊은 관련이 있습니다. "그것은 아름다운 방식으로 나머지 수학과 상호 작용합니다."라고 말했습니다. 사비아사치 무케르지 인도 타타 기초연구소 소장.

MLC의 발전을 위해 수학자들은 Chéritat가 "강력한 철학"이라고 부르는 정교한 기술 세트를 개발해야 했습니다. 이러한 도구는 많은 주목을 받았습니다. 오늘날 그들은 보다 광범위하게 동적 시스템 연구의 중심 기둥을 구성하고 있습니다. 이는 Mandelbrot 집합과 관련이 없는 문제인 다른 여러 문제를 해결하는 데 중요한 것으로 밝혀졌습니다. 그리고 그들은 MLC를 틈새 질문에서 해당 분야의 가장 심오하고 가장 중요한 공개 추측 중 하나로 변형시켰습니다.

이 '철학'을 현재의 형태로 만드는 데 가장 큰 책임이 있는 수학자 류비치(Lubich)는 키가 크고 똑바로 서서 조용히 말합니다. 워크숍의 다른 수학자들이 개념을 논의하거나 질문을 하기 위해 그에게 접근하면 그는 눈을 감고 주의 깊게 듣고 있으며 두꺼운 눈썹을 찌푸린다. 그는 러시아 억양으로 조심스럽게 대답했다.

개요

그러나 그는 또한 크고 따뜻한 웃음을 터뜨리고 씁쓸한 농담을 하는 데에도 능숙합니다. 그는 시간과 조언에 관대합니다. Lyubich의 전 박사후 연구원 중 한 명이자 빈번한 협력자인 Mukherjee는 "그는 실제로 꽤 많은 세대의 수학자들을 양성했습니다"라고 말했습니다. 그가 말했듯이, 복잡한 역학 연구에 관심이 있는 사람은 누구나 Stony Brook에서 Lyubich로부터 배우는 데 시간을 보냅니다. Mukherjee는 "Misha는 특정 프로젝트를 어떻게 진행해야 하는지, 다음에 무엇을 살펴봐야 하는지에 대한 비전을 가지고 있습니다."라고 말했습니다. “그는 마음속에 이런 장대한 그림을 갖고 있어요. 그리고 그는 그것을 사람들과 공유하게 되어 기쁩니다.”

처음으로 Lyubich는 그 장엄한 그림을 전체적으로 볼 수 있다고 느꼈습니다.

프라이즈 파이터즈

만델브로 집합은 상금으로 시작되었습니다.

1915년에 함수 연구의 최근 발전에 힘입어 프랑스 과학 아카데미는 경쟁을 발표했습니다. 3,000년 안에 반복 과정에 대한 연구에 대상 XNUMX프랑을 수여할 것입니다. 나중에 Mandelbrot 집합을 생성합니다.

반복은 규칙을 반복적으로 적용하는 것입니다. 숫자를 함수에 연결한 후 출력을 다음 입력으로 사용하세요. 계속 그렇게 하면서 시간이 지남에 따라 어떤 일이 일어나는지 관찰하세요. 함수를 계속 반복하면 얻는 숫자가 무한대로 빠르게 증가할 수 있습니다. 또는 철가루가 자석을 향해 이동하는 것처럼 특정 숫자 쪽으로 끌릴 수도 있습니다. 아니면 결코 탈출할 수 없는 안정된 궤도에서 동일한 두 숫자, 세 개, 천 개의 숫자 사이를 오가게 됩니다. 또는 운율이나 이유 없이 혼란스럽고 예측할 수 없는 경로를 따라 한 숫자에서 다른 숫자로 이동합니다.

개요

프랑스 아카데미와 더 폭넓게 수학자들이 반복에 관심을 갖는 또 다른 이유가 있었습니다. 이 과정은 역학 시스템, 즉 태양 주위의 행성의 회전이나 난류의 흐름과 같은 시스템, 특정 규칙 세트에 따라 시간이 지남에 따라 변하는 시스템 등의 연구에서 중요한 역할을 했습니다.

이 상은 두 명의 수학자에게 완전히 새로운 연구 분야를 개발하도록 영감을 주었습니다.

첫 번째는 피에르 파투(Pierre Fatou)였습니다. 그는 건강이 좋지 않았다면 다른 삶에서는 해군 장교(가족 ​​전통)였을 것입니다. 대신 그는 수학과 천문학 분야에서 경력을 쌓았으며 1915년에 이미 분석 분야에서 몇 가지 주요 결과를 입증했습니다. 그 다음에는 프랑스가 점령한 알제리에서 태어난 유망한 젊은 수학자 가스통 줄리아(Gaston Julia)가 있었는데, 그는 제22차 세계 대전과 프랑스군 징집으로 인해 학업이 중단되었습니다. XNUMX세에 복무를 시작한 직후 심각한 부상을 입은 후(의사가 손상을 복구할 수 없게 된 후 평생 동안 얼굴에 가죽 끈을 착용해야 함) 그는 수학으로 돌아와서 몇 가지 일을 했습니다. 그가 병원 침대에서 아카데미 상을 위해 제출할 작품.

이 상은 Fatou와 Julia 모두 함수를 반복할 때 어떤 일이 일어나는지 연구하도록 동기를 부여했습니다. 그들은 독립적으로 연구했지만 결국 매우 유사한 발견을 하게 되었습니다. 결과에 너무 많은 중복이 있어서 지금도 크레딧을 할당하는 방법이 항상 명확하지는 않습니다. (Julia는 좀 더 외향적이어서 더 많은 주목을 받았습니다. 그는 결국 상을 받았지만 Fatou는 신청조차하지 않았습니다.) 이 작업으로 인해 두 사람은 이제 복잡 역학 분야의 창시자로 간주됩니다.

"복소수"는 Fatou와 Julia가 복소수 함수(익숙한 실수와 소위 허수(의 배수)를 결합하는 숫자)의 함수를 반복했기 때문입니다. i, 수학자들이 −1의 제곱근을 나타내는 데 사용하는 기호입니다. 실수는 선 위의 점으로 배치될 수 있지만 복소수는 다음과 같이 평면 위의 점으로 시각화됩니다.

개요

Fatou와 Julia는 단순하고 복잡한 함수(수학 영역에서는 역설이 아닙니다!)를 반복하면 시작점에 따라 풍부하고 복잡한 동작이 발생할 수 있음을 발견했습니다. 그들은 이러한 행동을 문서화하고 기하학적으로 표현하기 시작했습니다.

그러나 그들의 작업은 반세기 동안 무명으로 사라졌습니다. “사람들은 무엇을 찾아야 할지조차 몰랐습니다. 질문할 내용이 제한되어 있었습니다.”라고 말했습니다. 아르투르 아빌라취리히대학교 교수.

1970년대 컴퓨터 그래픽이 대중화되면서 상황은 달라졌습니다.

그때쯤 수학자 브누아 만델브로(Benoît Mandelbrot)는 학문적 딜레탕트로 명성을 얻었습니다. 그는 뉴욕 시 북쪽에 있는 IBM 연구 센터에서 일하면서 경제학부터 천문학까지 다양한 분야에 손을 댔습니다. 1974년 IBM 연구원으로 임명되었을 때 그는 독립적인 프로젝트를 추구할 수 있는 자유가 훨씬 더 많아졌습니다. 그는 최대 절전 모드에서 복잡한 역학을 가져오는 데 센터의 상당한 컴퓨팅 성능을 적용하기로 결정했습니다.

처음에 Mandelbrot는 컴퓨터를 사용하여 Fatou와 Julia가 연구한 종류의 모양을 생성했습니다. 이미지는 반복 시 시작점이 무한대로 탈출하는 시점과 다른 패턴에 갇히게 되는 시점에 대한 정보를 인코딩했습니다. 60년 전 파투와 줄리아의 그림은 원과 삼각형이 모여 있는 것처럼 보였지만 만델브로가 만든 컴퓨터 생성 이미지는 용과 나비, 토끼와 성당, 콜리플라워 머리, 때로는 분리된 먼지 구름처럼 보였습니다. 그때까지 만델브로는 이미 서로 다른 규모에서 유사해 보이는 모양을 가리키는 "프랙탈"이라는 단어를 만들어냈습니다. 이 단어는 새로운 종류의 기하학, 즉 조각난 것, 부분적인 것, 부서진 것의 개념을 불러일으켰습니다.

오늘날 Julia 세트로 알려진 그의 컴퓨터 화면에 나타나는 이미지는 Mandelbrot가 본 것 중 가장 아름답고 복잡한 프랙탈의 예 중 일부였습니다.

개요

Fatou와 Julia의 작업은 이러한 각 세트(및 해당 기능)의 기하학적 구조와 역학에 개별적으로 중점을 두었습니다. 그러나 컴퓨터는 Mandelbrot에게 전체 기능 계열을 동시에 생각할 수 있는 방법을 제공했습니다. 그는 자신의 이름을 갖게 될 이미지에 모든 것을 인코딩할 수 있었지만 실제로 그것을 처음 발견한 사람이었는지 여부는 여전히 논쟁의 여지가 있습니다.

만델브로 집합은 반복해도 여전히 흥미로운 작업을 수행하는 가장 간단한 방정식을 다룹니다. 이는 다음 형식의 이차 함수입니다. f(z) = z2 + c. 다음 값을 고정하세요. c — 임의의 복소수일 수 있습니다. 다음으로 시작하는 방정식을 반복하면 z = 0이고 생성한 숫자가 작은(또는 수학자들이 말하는 것처럼 제한된) 상태로 유지된다는 것을 확인한 다음 c 만델브로 집합에 있습니다. 반면에 반복하여 결과적으로 숫자가 무한대로 증가하기 시작하는 경우 c Mandelbrot 집합에는 없습니다.

그 가치를 보여주는 것은 간단합니다. c 0에 가까운 것이 세트에 있습니다. 그리고 다음과 같은 큰 가치를 보여주는 것도 마찬가지로 간단합니다. c 그렇지 않습니다. 그러나 복소수는 그 이름에 걸맞게 살아갑니다. 집합의 경계는 엄청나게 복잡합니다. 바뀌어야 할 뚜렷한 이유가 없습니다. c 아주 작은 양으로도 경계를 계속 넘게 되지만, 확대하면 끝없이 많은 디테일이 나타납니다.

더욱이 Mandelbrot 집합은 아래 대화형 그림에서 볼 수 있듯이 Julia 집합의 지도처럼 작동합니다. 다음 값을 선택하세요. c 만델브로 집합에서. 해당 Julia 세트가 연결됩니다. 그러나 Mandelbrot 집합을 그대로 두면 해당 Julia 집합의 연결이 끊어집니다.

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