디즈니의 1959년 영화에서 Mathmagic Land의 도널드, Donald Duck은 당구의 기하학에 대한 내레이터의 설명에서 영감을 받아, 힘차게 큐볼을 친다, 마침내 의도한 공에 닿기 전에 테이블 주위로 튕겨져 나갑니다. Donald가 "수학 분야에서 그런 점이 마음에 드시나요?"라고 묻습니다.

직사각형 당구대는 4개의 벽이 직각으로 만나기 때문에 Donald의 당구 궤적은 실제로 실행하기 어렵더라도 예측 가능하고 잘 이해됩니다. 그러나 연구 수학자들은 여전히 ​​다른 다각형(측면이 편평한 모양) 모양의 테이블 위의 당구공의 가능한 궤적에 대한 기본적인 질문에 답할 수 없습니다. 가장 단순한 다각형인 삼각형조차도 여전히 신비를 품고 있습니다.

공을 쳐서 같은 방향으로 이동하면서 시작점으로 돌아가 소위 주기적인 궤도를 만드는 것이 항상 가능합니까? 아무도 모릅니다. 다른 더 복잡한 모양의 경우 테이블의 한 지점에서 테이블의 다른 지점으로 공을 치는 것이 가능한지 알 수 없습니다.

이러한 질문은 고등학교에서 가르치는 기하학의 범위 내에서 꼭 맞는 것처럼 보이지만 이를 해결하려면 세계 최고의 수학자 중 일부가 동역학 시스템, 위상수학 및 미분기하학을 비롯한 서로 다른 분야의 아이디어를 가져와야 했습니다. 다른 훌륭한 수학 문제와 마찬가지로 이러한 문제에 대한 작업은 새로운 수학을 창출했으며 다른 분야의 지식을 향상시켰습니다. 그러나 이러한 모든 노력과 현대 컴퓨터가 제공하는 통찰력에도 불구하고 겉으로 보기에 간단해 보이는 이러한 문제는 완고하게 해결을 거부합니다.

Donald Duck의 장대한 얽힌 샷 이후 수학자들이 당구에 대해 배운 내용은 다음과 같습니다.

그들은 일반적으로 당구공이 무한히 작고 차원이 없는 점이며, 아래에서 볼 수 있듯이 완벽한 대칭으로 벽에 부딪혀 도착할 때와 동일한 각도로 출발한다고 가정합니다.

마찰이 없으면 공은 코너에 도달하지 않는 한 무한정 이동하여 주머니처럼 공을 멈춥니다. 당구를 수학적으로 분석하기가 어려운 이유는 거의 동일한 두 개의 샷이 코너 양쪽에 착지할 경우 매우 다양한 궤적을 가질 수 있기 때문입니다.

다각형 당구를 분석하는 주요 방법은 공이 테이블 가장자리에서 튕겨 나가는 것으로 생각하는 것이 아니라, 공이 벽에 부딪힐 때마다 테이블 위로 뒤집어지는 새로운 테이블 복사본으로 계속 이동한다고 상상하는 것입니다. 가장자리, 거울 이미지 생성. 당구 경로의 전개라고 하는 이 프로세스(아래 참조)를 통해 공이 직선 궤적을 계속 유지할 수 있습니다. 상상의 테이블을 이웃 테이블 위로 접으면 공의 실제 궤적을 복구할 수 있습니다. 이 수학적 트릭을 사용하면 보기 어려운 궤적에 대한 사실을 증명할 수 있습니다.

예를 들어, 단순한 직사각형 테이블이 모든 점을 통해 무한히 많은 주기적 궤적을 갖는 이유를 보여주는 데 사용할 수 있습니다. 비슷한 주장이 모든 직사각형에 적용되지만 구체적으로 말하자면 길이보다 너비가 두 배 더 큰 테이블을 상상해 보세요.

테이블을 가로지르는 주기 궤도를 찾고 싶다고 가정해 보겠습니다. n 긴 방향으로 몇 번이고 m 짧은 방향으로 몇 번. 직사각형의 각 거울상은 벽에 부딪혀 튕겨 나온 공에 해당하므로, 공이 같은 방향으로 이동하면서 시작점으로 돌아가려면 공의 궤적이 양방향으로 짝수 번 테이블을 통과해야 합니다. 그래서 m 과 n 짝수여야 합니다. 동일한 직사각형의 그리드를 배치하고 각각은 이웃의 거울 이미지로 표시됩니다. 원본 테이블의 한 점에서 복사본의 동일한 점까지 선분을 그립니다. n 테이블은 긴 방향으로 멀리 떨어져 있고 m 짧은 방향으로 테이블이 떨어져 있습니다. 경로가 모퉁이를 통과하는 경우 원래 점을 약간 조정합니다. 다음은 예입니다. n = 2 및 m = 6. 다시 접으면 녹색 직사각형에 표시된 것처럼 경로가 주기적인 궤적을 생성합니다.

삼각형 부등식

직사각형의 멋진 직각 기하학이 없는 삼각형 당구는 더 복잡합니다. 고등학교 기하학에서 기억할 수 있듯이 삼각형에는 여러 종류가 있습니다. 세 개의 내각이 모두 90도 미만인 예각 삼각형; 90도 각도를 갖는 직각삼각형; 그리고 한 각이 90도보다 큰 둔각삼각형이 있습니다.

예각삼각형과 직각삼각형 모양의 당구대는 주기적인 궤적을 가지고 있습니다. 그러나 둔각삼각형에 대해서도 마찬가지인지는 아무도 모릅니다.

예각 삼각형의 주기적인 궤적을 찾으려면 아래 왼쪽에서 볼 수 있듯이 각 꼭지점에서 반대쪽으로 수직선을 그립니다. 오른쪽 그림과 같이 직각이 발생하는 점을 연결하여 삼각형을 만듭니다.

이 내접삼각형은 1775년에 이 삼각형이 모든 내접삼각형 중 가장 작은 둘레를 갖는다는 것을 보여준 Giovanni Fagnano의 이름을 딴 Fagnano 궤도라고 불리는 주기적인 당구 궤적입니다.

1990년대 초 워싱턴 대학교의 프레드 홀트(Fred Holt)와 그레고리 갈페린 그리고 모스크바 주립대학교의 그의 동료들 독립하여 보여 모든 직각삼각형에는 주기적인 궤도가 있다는 것입니다. 이를 보여주는 간단한 방법 중 하나는 아래 그림과 같이 한쪽 다리에 삼각형을 반사한 다음 다른 쪽 다리에 반사시키는 것입니다.

빗변(삼각형의 긴 변)에 직각인 궤적부터 시작합니다. 빗변과 두 번째 반사는 평행하므로 이를 연결하는 수직선 세그먼트는 영원히 앞뒤로 튀는 궤적에 해당합니다. 공은 빗변을 직각으로 출발하고 두 다리에서 튕겨져 오른쪽 빗변으로 돌아옵니다. 각도를 맞춘 다음 경로를 되돌아갑니다.

그러나 둔각삼각형은 여전히 ​​수수께끼로 남아있습니다. 1992년 논문에서 Galperin과 그의 동료들은 주기적인 궤도를 만들 수 있는 방식으로 둔각삼각형을 반사하는 다양한 방법을 생각해 냈지만 이 방법은 일부 특별한 경우에만 효과가 있었습니다. 그러다가 2008년에 리처드 슈워츠 브라운 대학교에서는 모든 둔각삼각형이 다음과 같다는 것을 보여주었습니다. 100도 이하의 각도 주기적인 궤적을 포함합니다. 그의 접근 방식에는 문제를 여러 사례로 나누고 전통적인 수학과 컴퓨터 지원을 사용하여 각 사례를 검증하는 것이 포함되었습니다. 2018년에는 제이콥 가버(Jacob Garber), 보얀 마리노프(Boyan Marinov), 케네스 무어 앨버타 대학교의 조지 토카스키(George Tokarsky) 이 임계값을 확장했습니다 112.3도까지. (토카르스키와 마리노프 십년 이상을 보냈다 이 목표를 추구합니다.)

위상학적 전환

모든 각도가 유리하다면, 즉 분수로 표현될 수 있다면, 더 큰 각도를 가진 둔각 삼각형은 주기적인 궤적을 가져야 한다는 것을 보여주기 위해 또 다른 접근법이 사용되었습니다. 이 접근 방식은 평면에 다각형을 복사하는 대신 다각형의 복사본을 하나 이상의 구멍이 있는 도넛인 토폴로지 표면에 매핑합니다.

직사각형을 짧은 변에 반사시킨 다음 두 직사각형을 가장 긴 변에 반사시켜 원래 직사각형의 4가지 버전을 만든 다음 위쪽과 아래쪽을 함께 붙이고 왼쪽과 오른쪽을 함께 붙이면 도넛이 만들어집니다. 또는 아래와 같이 토러스. 테이블 위의 당구 궤적은 토러스의 궤적에 해당하며 그 반대도 마찬가지입니다.

획기적인 1986년 기사에서, 하워드 마수르 이 기술을 사용하여 합리적인 각도를 가진 모든 다각형 테이블이 주기적인 궤도를 가지고 있음을 보여주었습니다. 그의 접근 방식은 둔각 삼각형뿐만 아니라 훨씬 더 복잡한 모양에도 효과가 있었습니다. 예를 들어 불규칙한 100면 테이블 또는 벽이 지그재그로 구석구석을 만드는 다각형은 각도가 합리적인 한 주기적인 궤도를 갖습니다.

다소 놀랍게도 다각형에 하나의 주기 궤도가 존재한다는 것은 무한히 많은 것이 존재한다는 것을 의미합니다. 궤적을 조금만 이동하면 관련된 주기적 궤적 계열이 생성됩니다.

조명 문제

구석구석이 있는 모양은 이와 관련된 질문을 불러일으킵니다. 이 문제는 시작점으로 돌아가는 궤적을 묻는 대신 궤적이 주어진 테이블의 모든 지점을 방문할 수 있는지 여부를 묻습니다. 당구대를 둘러싸고 있는 거울 벽에 반사되는 레이저 빔을 상상해 볼 수 있기 때문에 이를 조명 문제라고 합니다. 우리는 특정 테이블에 두 개의 지점이 주어졌을 때 항상 한 지점에서 다른 지점으로 레이저(무한히 얇은 광선으로 이상화됨)를 비출 수 있는지 묻습니다. 다시 말하면, 한 번에 모든 방향으로 빛나는 전구를 테이블 위 어느 지점에 놓으면 방 전체가 밝아질까요?

이 문제에 대한 두 가지 주요 연구 방향이 있었습니다. 하나는 빛을 낼 수 없는 모양을 찾는 것이고 다른 하나는 많은 종류의 모양이 빛을 낼 수 있다는 것을 증명하는 것입니다. 조명할 수 없는 이상한 모양을 찾는 것은 간단한 수학을 영리하게 적용하여 수행할 수 있는 반면, 조명할 수 있는 많은 모양은 무거운 수학 기계를 사용해야만 가능하다는 것을 증명합니다.

1958년에 로저 펜로즈, 우승을 차지한 수학자 2020 년 노벨 물리학상, 한 지역의 어떤 지점도 다른 지역의 어떤 지점도 비출 수 없는 곡선 테이블을 발견했습니다. 수십 년 동안 아무도 동일한 속성을 가진 다각형을 생각해 낼 수 없었습니다. 그러나 1995년에 Tokarsky는 삼각형에 대한 간단한 사실을 사용하여 아래와 같이 상호 접근할 수 없는 두 개의 점이 있는 블록형 26면 다각형을 만들었습니다. 즉, 한 지점에서 발사된 레이저 빔은 방향에 관계없이 다른 지점에 도달할 수 없습니다.

Tokarsky가 특수 테이블을 만들 때 사용한 핵심 아이디어는 레이저 빔이 45°-45°-90° 삼각형의 예각 중 하나에서 시작하면 결코 그 모서리로 돌아갈 수 없다는 것입니다.

그의 들쭉날쭉한 테이블은 이 사실을 교묘하게 활용하기 위해 배열된 29개의 삼각형으로 구성되어 있습니다. 2019년에는 아미트 울렉키, 당시 Tel Aviv University의 대학원생은 이 동일한 기술을 모양을 만들어 내다 그는 22개의 변(아래 참조)을 가지고 있는데, 이는 서로를 비추지 않는 두 개의 내부 점이 있는 모양에 대해 가능한 가장 작은 변의 수임을 증명했습니다.

다른 방향으로 결과를 증명하는 것은 훨씬 더 어려웠습니다. 2014년에는 스탠포드 대학의 수학자 마리암 미르자카니(Maryam Mirzakhani)가 여성 최초로 필즈 메달을 획득하다, 리만 표면의 모듈러스 공간에 대한 그녀의 연구로 인해 수학에서 가장 권위 있는 상입니다. 이는 Masur가 합리적인 각도를 가진 모든 다각형 테이블이 주기적인 궤도를 가지고 있음을 보여주기 위해 사용한 도넛의 일종의 일반화입니다. 2016년에는 사무엘 를리에브르 파리-사클레이 대학교, 티에리 몽테일 프랑스 국립과학연구센터 바락 와이즈 Tel Aviv University의 교수는 Mirzakhani의 여러 결과를 적용했습니다. 보여 합리적인 다각형의 모든 점은 유한한 수를 제외한 모든 점을 비춥니다. 고립된 어두운 점이 있을 수 있지만(Tokarsky 및 Wolecki의 예에서처럼) 직선 벽이 아닌 곡선 벽이 있는 Penrose 예에서와 같이 어두운 영역은 없습니다. ~ 안에 Wolecki의 2019년 기사, 그는 밝힐 수 없는 점의 쌍이 유한히 많다는 것을 증명함으로써 이 결과를 강화했습니다.

슬프게도, 미르자카니 사망 2017년, 40세의 나이에 암 투병 끝에. 그녀의 작업은 당구장에서 하는 트릭 샷과는 거리가 먼 것처럼 보였습니다. 그러나 당구 궤적을 분석하면 가장 추상적인 수학조차도 우리가 살고 있는 세계와 어떻게 연결될 수 있는지 알 수 있습니다.