1917년 일본의 수학자 가케야 소이치(Sōichi Kakeya)는 처음에는 재미있는 기하학 연습에 불과해 보였던 것을 제시했습니다. 무한히 가는 XNUMX인치 길이의 바늘을 평평한 표면에 놓은 다음 모든 방향을 차례로 가리키도록 회전시킵니다. 바늘이 쓸어낼 수 있는 가장 작은 영역은 무엇입니까?

중심을 중심으로 돌리기만 하면 원이 생깁니다. 그러나 바늘을 독창적인 방법으로 움직일 수 있으므로 훨씬 더 적은 공간을 개척할 수 있습니다. 이후 수학자들은 Kakeya 추측이라고 하는 이 질문과 관련된 버전을 제시했습니다. 이를 해결하려는 시도에서 그들은 조화 분석, 정수 이론 및 심지어 물리학과의 놀라운 연결을 발견했습니다.

"어쨌든 다양한 방향을 가리키는 선의 기하학은 수학의 많은 부분에서 보편적입니다."라고 말했습니다. 조나단 힉맨 에든버러 대학교의.

그러나 그것은 또한 수학자들이 여전히 완전히 이해하지 못하는 것이기도 합니다. 지난 몇 년 동안 그들은 Kakeya 추측의 변형을 증명했습니다. 더 쉬운 설정에서, 그러나 질문은 정상적인 XNUMX차원 공간에서 해결되지 않은 채로 남아 있습니다. 한동안은 그 버전의 추측이 수많은 수학적 결과를 낳음에도 불구하고 모든 진전이 정체된 것처럼 보였습니다.

이제 두 명의 수학자가 바늘을 움직였습니다. 그들의 새로운 증거 큰 장애물을 쓰러뜨리다 그것은 수십 년 동안 지속되어 해결책이 마침내 보일 것이라는 희망을 다시 불러일으켰습니다.

스몰딜이 뭔가요?

Kakeya는 모든 방향에서 길이가 1인 선분을 포함하는 평면의 집합에 관심이 있었습니다. 이러한 세트의 예는 많이 있으며 가장 간단한 것은 지름이 1인 디스크입니다. Kakeya는 그러한 세트가 가장 작은 것이 어떤 모양인지 알고 싶었습니다.

그는 디스크 면적의 절반인 삼각근이라고 하는 측면이 약간 함몰된 삼각형을 제안했습니다. 그러나 훨씬 더 잘할 수 있다는 것이 밝혀졌습니다.

카케야가 문제를 제기한 지 불과 1919년 후인 XNUMX년, 러시아 수학자 아브람 베시코비치는 바늘을 특정한 방식으로 배열하면 임의로 작은 영역을 가진 가시처럼 보이는 집합을 구성할 수 있음을 보여주었습니다. (제XNUMX차 세계대전과 러시아 혁명으로 인해 그의 결과는 수년 동안 나머지 수학적 세계에 도달하지 못했습니다.)

이것이 어떻게 작동하는지 보려면 삼각형을 가져다가 밑면을 따라 더 얇은 삼각형 조각으로 나눕니다. 그런 다음 이 조각들을 최대한 겹치게 하지만 약간 다른 방향으로 돌출되도록 이리저리 밀어줍니다. 이 과정을 반복해서 반복하면 삼각형을 점점 더 얇은 조각으로 세분화하고 조심스럽게 공간에 재배치하면 세트를 원하는 만큼 작게 만들 수 있습니다. 무한 극한에서는 수학적으로 영역이 없지만 역설적이게도 모든 방향을 가리키는 바늘을 수용할 수 있는 집합을 얻을 수 있습니다.

"그것은 다소 놀랍고 직관적이지 않습니다."라고 말했습니다. 장 루이샹 캘리포니아 대학교 버클리 캠퍼스. "매우 병적인 세트입니다."

이 결과는 더 높은 차원으로 일반화될 수 있습니다. 모든 방향을 가리키는 단위 선분을 포함하는 임의의 작은 부피로 집합을 구성하는 것이 가능합니다. n차원 공간.

Besicovitch는 Kakeya의 질문을 완전히 해결한 것 같습니다. 그러나 수십 년 후, 수학자들은 면적(또는 고차원의 경우 부피)을 다른 크기 개념으로 대체하는 문제의 또 다른 버전을 연구하기 시작했습니다.

이 질문의 재구성을 이해하려면 먼저 Kakeya 세트의 각 선분을 가져 와서 약간 살찌십시오. 마치 이상적인 바늘이 아닌 실제 바늘을 사용하는 것처럼 말입니다. 평면에서 세트는 매우 얇은 직사각형으로 구성됩니다. XNUMX차원 공간에서는 극도로 얇은 튜브 모음을 갖게 됩니다.

이 살찐 세트에는 항상 약간의 면적(또는 부피가 있지만 지금은 1970차원 사례에 충실할 것임)이 있습니다. 바늘의 너비를 변경하면 이 영역이 변경됩니다. 1년대에 수학자 로이 데이비스(지난 달 사망)는 전체 면적이 조금만 변하면 각 바늘의 폭이 크게 변해야 한다는 것을 보여주었습니다. 예를 들어 Besicovitch 세트의 살찐 버전이 10제곱인치의 0.000045/XNUMX 면적을 가지려면 각 바늘의 두께가 약 XNUMX인치여야 합니다. e^{- 10} 정확히 말하자면 1인치. 그러나 전체 면적을 100제곱인치의 10/XNUMX로 만들고 싶다면 — XNUMX배 더 작게 — 바늘은 다음과 같아야 합니다. e^{- 100} XNUMX인치 두께. (다른 숫자에 도달하기 전에 소수점 뒤에 XNUMX이 XNUMX개 있습니다.)

“얼마나 작은 영역을 원하는지 말씀해 주시면 믿을 수 없을 정도로 얇은 바늘을 요구해야 합니다.”라고 말했습니다. 찰스 페퍼만 프린스턴 대학교.

수학자들은 Minkowski 차원이라는 양을 사용하여 Kakeya 집합의 "크기"를 측정합니다. 이 차원은 일반 차원(공간을 설명하는 데 필요한 독립적인 방향의 수로 정의됨)과 관련이 있지만 완전히 같지는 않습니다.

Minkowski 차원에 대해 생각하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다. 세트를 가지고 원하는 단위의 1만분의 1 직경을 가진 작은 공으로 덮으십시오. 세트가 길이가 1인 선분인 경우 이를 덮으려면 최소 1백만 개의 공이 필요합니다. 세트가 면적 1의 제곱인 경우 훨씬 더 많이 필요합니다. 백만 제곱 또는 1조입니다. 부피가 2인 구체의 경우 약 3만 세제곱(XNUMX경)입니다. Minkowski 차원은 이 지수의 값입니다. 각 공의 직경이 작아짐에 따라 세트를 커버해야 하는 공의 수가 증가하는 비율을 측정합니다. 선분의 차원은 XNUMX, 정사각형의 차원은 XNUMX, 입방체의 차원은 XNUMX입니다.

이러한 차원은 친숙합니다. 그러나 Minkowski의 정의를 사용하면 차원이 2.7인 집합을 구성하는 것이 가능해집니다. 이러한 세트는 XNUMX차원 공간을 채우지 않지만 어떤 의미에서는 XNUMX차원 표면보다 "더 큽니다".

주어진 직경의 공으로 세트를 덮을 때 세트의 살찐 버전의 부피를 근사화합니다. 바늘의 크기에 따라 세트의 부피가 천천히 감소할수록 바늘을 덮는 데 더 많은 볼이 필요합니다. 따라서 평면에서 Kakeya 집합의 영역이 천천히 감소한다는 Davies의 결과를 다시 작성하여 집합의 Minkowski 차원이 2여야 함을 보여줄 수 있습니다. Kakeya 추측은 이 주장을 더 높은 차원으로 일반화합니다. 항상 그것이 거주하는 공간과 같은 차원을 가집니다.

그 간단한 진술은 놀라울 정도로 증명하기 어려웠습니다.

추측의 탑

페퍼만이 만들 때까지 놀라운 발견 1971년에 그 추측은 호기심으로 여겨졌다.

당시 그는 완전히 다른 문제를 연구하고 있었습니다. 그는 수학자들이 함수를 사인파의 합으로 작성하여 함수를 연구할 수 있게 해주는 강력한 도구인 푸리에 변환을 이해하고 싶었습니다. 겹치는 많은 주파수로 구성된 음표를 생각해 보십시오. (그래서 피아노의 중간 C가 바이올린의 중간 C와 다르게 들립니다.) 푸리에 변환을 통해 수학자들은 특정 음의 구성 주파수를 계산할 수 있습니다. 같은 원리가 인간의 말처럼 복잡한 소리에도 적용됩니다.

수학자들은 또한 무한히 많은 구성 주파수 중 일부만 주어지면 원래 함수를 재구성할 수 있는지 여부를 알고 싶어합니다. 그들은 이것을 한 차원에서 수행하는 방법을 잘 이해하고 있습니다. 그러나 더 높은 차원에서는 사용할 주파수와 무시할 주파수에 대해 서로 다른 선택을 할 수 있습니다. Fefferman은 특히 잘 알려진 주파수 선택 방법에 의존할 때 함수를 재구성하는 데 실패할 수 있음을 동료들에게 놀랍게도 증명했습니다.

그의 증명은 Besicovitch의 Kakeya 집합을 수정하여 함수를 구성하는 데 달려 있습니다. 이것은 나중에 수학자들이 푸리에 변환의 고차원 동작에 대한 추측의 계층 구조를 개발하도록 영감을 주었습니다. 오늘날 계층 구조에는 Schrödinger 방정식과 같은 물리학에서 중요한 편미분 방정식의 동작에 대한 추측도 포함됩니다. 계층 구조의 각 추측은 자동으로 그 아래에 있는 추측을 의미합니다.

카케야 추측은 이 탑의 맨 아래에 있습니다. false이면 계층 구조에서 상위 명령문도 마찬가지입니다. 반면에 그것이 사실임을 증명하는 것은 그 위에 있는 추측의 진실을 즉시 암시하지는 않지만 이를 공격하기 위한 도구와 통찰력을 제공할 수 있습니다.

“Kakeya 추측의 놀라운 점은 그것이 단지 재미있는 문제가 아니라는 것입니다. 그것은 실제 이론적 병목 현상입니다.”라고 Hickman은 말했습니다. "우리는 이러한 Kakeya 세트를 이해하지 못하기 때문에 편미분 방정식과 푸리에 분석에서 이러한 많은 현상을 이해하지 못합니다."

계획 해칭

이후에 발견된 정수론, 조합론 및 기타 영역과의 연관성과 함께 Fefferman의 증명은 최고 수학자 사이에서 Kakeya 문제에 대한 관심을 되살렸습니다.

1995년에 Thomas Wolff는 3D 공간에 설정된 Kakeya의 Minkowski 차원이 2.5 이상이어야 한다는 것을 증명했습니다. 그 하한선은 증가하기 어려운 것으로 판명되었습니다. 그리고 1999년 수학자들은 네츠 카츠, 이자벨라 와바 와 테렌스 타오 그것을 이길 수 있었다. 그들의 새로운 경계: 2.500000001. 개선이 얼마나 작은지에도 불구하고 엄청난 이론적 장벽을 극복했습니다. 그들의 논문은 에 게시 수학 연대기, 해당 분야에서 가장 권위 있는 저널.

Katz와 Tao는 나중에 다른 방식으로 3D Kakeya 추측을 공격하기 위해 해당 작업의 아이디어 중 일부를 적용하기를 희망했습니다. 그들은 모든 반례에는 세 가지 특정한 속성이 있어야 하며 이러한 속성이 공존하면 모순이 발생한다는 가설을 세웠습니다. 그들이 이것을 증명할 수 있다면 그것은 Kakeya 추측이 XNUMX차원에서 참이라는 것을 의미할 것입니다.

그들은 끝까지 갈 수는 없었지만 약간의 진전을 이루었습니다. 특히, 그들은 (다른 수학자들과 함께) 모든 반례가 세 가지 속성 중 두 가지를 가져야 함을 보여주었습니다. "평면"이어야 합니다. 즉, 선 세그먼트가 한 지점에서 교차할 때마다 해당 세그먼트도 거의 동일한 평면에 놓입니다. 또한 근처 교차점의 평면이 유사한 방향을 향하도록 요구하는 "입자"여야 합니다.

그것은 세 번째 재산을 남겼습니다. "스티키" 세트에서 거의 같은 방향을 가리키는 선분도 공간에서 서로 가깝게 위치해야 합니다. Katz와 Tao는 모든 반례가 끈끈해야 한다는 것을 증명할 수 없었습니다. 그러나 직관적으로 끈끈한 세트는 라인 세그먼트 사이에 많은 겹침을 강제하여 세트를 가능한 한 작게 만드는 가장 좋은 방법인 것처럼 보입니다. 정확히 반례를 만드는 데 필요한 것입니다. 누군가 끈적끈적한 Kakeya 세트의 Minkowski 차원이 3 미만임을 보여줄 수 있다면 3D Kakeya 추측이 틀렸음을 증명할 것입니다. "'끈적거림'이 가장 우려되는 경우인 것 같다"고 말했다. 래리 거스 매사추세츠 공과 대학의.

더 이상 걱정거리가 아닙니다.

스티킹 포인트

2014년 — Katz와 Tao가 Kakeya 추측을 증명하려고 시도한 지 XNUMX년 이상이 지난 후 — Tao 접근 방식의 개요를 게시했습니다. 그의 블로그에서 다른 수학자들이 직접 시도해 볼 수 있는 기회를 제공합니다.

2021년에 홍왕, 뉴욕 대학교의 수학자, 그리고 조슈아 잘 브리티시 컬럼비아 대학의 교수는 Tao와 Katz가 중단한 부분을 다시 시작하기로 결정했습니다.

그들은 Minkowski 차원이 3 미만인 끈끈한 반례의 존재를 가정하는 것으로 시작했습니다. 그들은 이전 작업에서 그러한 반례가 계획적이고 거칠어야 한다는 것을 알고 있었습니다. "그래서 우리는 Terry Tao와 Nets Katz가 생각했던 종류의 세상에 있었습니다."라고 Zahl은 말했습니다. 이제 그들은 평평하고 낟알 모양이며 끈끈한 속성이 서로 작용하여 모순을 야기한다는 것을 보여주어야 했습니다. 이는 이 반례가 실제로 존재할 수 없음을 의미합니다.

그러나 그 모순을 이해하기 위해 Wang과 Zahl은 Katz와 Tao가 예상하지 못한 방향, 즉 투영 이론으로 알려진 영역으로 관심을 돌렸습니다.

그들은 끈끈한 반례의 구조를 더 자세히 분석하는 것으로 시작했습니다. 세트의 이상적인 버전을 고려하면 모든 방향을 가리키는 무한한 수의 선분이 있습니다. 하지만 이 문제에서, 당신은 그 선분의 살찐 버전, 즉 바늘 다발을 다루고 있다는 것을 기억하세요. 각각의 바늘에는 이상적인 라인 세그먼트가 많이 포함될 수 있습니다. 즉, 유한한 수의 바늘로 전체 무한 세트를 인코딩할 수 있습니다. 바늘의 두께에 따라 살찐 세트가 매우 다르게 보일 수 있습니다.

세트가 끈적거리면 바늘의 두께에 관계없이 거의 동일하게 보입니다.

Wang과 Zahl은 이 속성을 사용하여 바늘이 가늘어지면 세트가 점점 더 평평해진다는 것을 보여주었습니다. 이 과정을 통해 그들은 "더욱 병리적인 물체를 추출"할 수 있었다고 Zahl은 말했습니다.

그것이 그들이 다음에 보여준 것입니다. 그들은 이 병리학적 물체가 두 가지 방식 중 하나로 보여야 하며 둘 다 모순을 야기한다는 것을 증명했습니다. 여러 방향에서 훨씬 작게 만드는 방식으로 2D 공간으로 투영할 수 있습니다. Wang과 그녀의 동료는 방금 불가능한 것으로 나타났다. 또는 두 번째 경우 세트의 바늘은 Zahl과 그의 공동 작업자가 최근에 증명한 매우 특정한 종류의 기능에 따라 구성됩니다. 존재할 수 없었다, 말이 안 되는 다른 종류의 예측으로 이어질 것이기 때문입니다.

Wang과 Zahl은 이제 모순이 생겼습니다. 즉, Kakeya 추측에 대한 끈끈한 반례가 없다는 의미입니다. (그들은 Minkowski 차원뿐만 아니라 Hausdorff 차원이라고 하는 관련 수량에 대해서도 이것을 보여주었습니다.) "결과는 이 전체 종류의 반례를 배제합니다."라고 Zahl은 말했습니다. 추측.

신작은 "카케야 추측이 사실이라는 것을 강력하게 뒷받침한다"고 말했다. 파블로 슈메르킨 브리티시 컬럼비아 대학의. XNUMX차원 사례에만 적용되지만 일부 기술은 더 높은 차원에서 유용할 수 있습니다. 수년 동안 다른 숫자 체계에서 추측을 발전시킨 후 수학자들은 문제의 원래 실수 영역으로의 복귀에 흥분했습니다.

Zhang은 “그들이 이 사건을 완전히 해결했다는 것이 놀랍다”고 말했다. "실제 환경에서는 극히 드문 경우입니다." 그리고 누군가가 반례가 끈끈해야 한다는 것을 증명할 수 있다면 새로운 결과는 XNUMX차원의 완전한 추측을 암시할 것입니다. 그 위에 구축된 추측의 계층 구조는 안전하게 유지되고 그 기반은 안정적입니다.

"어쨌든 표면적으로는 서로 관련이 많지 않은 투영 이론의 이 두 가지 다른 문제는 Kakeya에 정확히 필요한 것을 제공하기 위해 아주 잘 맞습니다."라고 Zahl은 말했습니다.