5월에는 NASA의 Europa Clipper 임무를 수행하는 Falcon Heavy 로켓이 플로리다의 Cape Canaveral에서 발사될 예정입니다. 53억 달러 규모의 이번 임무는 목성의 네 번째로 큰 달인 유로파가 생명을 유지할 수 있는지 알아보기 위해 고안되었습니다. 그러나 유로파는 목성의 자기장에 의해 생성된 강렬한 방사선에 의해 지속적으로 폭격을 받기 때문에 클리퍼 우주선은 달 자체의 궤도를 돌 수 없습니다. 대신, 목성 주위의 편심 궤도로 미끄러져 들어가 최악의 방사선으로부터 후퇴하기 전에 유로파를 총 XNUMX번 반복적으로 흔들면서 데이터를 수집합니다. 우주선이 목성을 돌 때마다 경로가 조금씩 달라지므로 유로파의 극에서 적도까지 사진을 찍고 데이터를 수집할 수 있습니다.

이와 같이 복잡한 여행을 계획하기 위해 궤도 계획자는 한 번에 한 단계씩 꼼꼼하게 궤도를 계산하는 컴퓨터 모델을 사용합니다. 계획에는 수백 가지 임무 요구 사항이 고려되며 궤도에 대한 수십 년간의 수학적 연구와 이를 복잡한 여행에 결합하는 방법이 뒷받침됩니다. 수학자들은 이제 궤도가 서로 어떻게 관련되어 있는지 보다 체계적으로 이해하는 데 사용할 수 있는 도구를 개발하고 있습니다.

“우리가 가지고 있는 것은 우리가 수행한 이전 계산이며, 현재 계산을 수행할 때 우리를 안내합니다. 하지만 이것이 우리가 가진 모든 옵션을 완벽하게 보여주는 것은 아닙니다.”라고 말했습니다. 다니엘 쉬어스, 콜로라도 대학교 볼더 캠퍼스의 항공우주 엔지니어입니다.

NASA 제트 추진 연구소의 엔지니어인 고다영은 “학생 시절 그것이 나의 가장 큰 좌절이었다고 생각합니다.”라고 말했습니다. "나는 이 궤도가 거기에 있다는 것을 알고 있지만 왜 그런지는 모릅니다." 목성과 토성의 위성에 대한 임무의 비용과 복잡성을 고려할 때 궤도가 왜 현재 위치에 있는지 알지 못하는 것이 문제입니다. 더 적은 자원으로 작업을 완료할 수 있는 완전히 다른 궤도가 있다면 어떨까요? 고씨는 이렇게 말했습니다. “내가 다 찾았나요? 더 있나요? 나는 그것을 말할 수 없다.”

2016년 서던캘리포니아 대학교에서 박사 학위를 취득한 후 Koh는 궤도를 가족으로 분류하는 방법에 관심을 갖게 되었습니다. 유로파에서 멀리 떨어진 목성 궤도는 그러한 가족을 형성합니다. 유로파에 가까운 궤도도 마찬가지입니다. 그러나 다른 가족은 덜 분명합니다. 예를 들어, 목성과 유로파와 같은 두 물체의 경우 두 물체의 중력 효과가 균형을 이루어 안정적인 지점을 생성하는 중간 지점이 있습니다. 우주선은 궤도 중심에 아무것도 없더라도 이 지점을 공전할 수 있습니다. 이 궤도는 Lyapunov 궤도라고 불리는 계열을 형성합니다. 우주선 엔진을 발사하여 그러한 궤도에 약간의 에너지를 추가하면 처음에는 같은 가족에 머물게 될 것입니다. 하지만 충분히 추가하면 다른 가족, 즉 궤도 안에 목성을 포함하는 가족으로 건너갈 것입니다. 일부 궤도 계열은 다른 궤도 계열보다 연료가 덜 필요하거나, 항상 햇빛에 남아 있거나, 기타 유용한 기능을 가질 수 있습니다.

2021년에 고씨는 일반적으로 지저분한 실제 세부 사항과는 거리가 먼 수학의 추상 분야인 대칭 기하학의 관점에서 혼란스러운 궤도를 다루는 방법을 논의한 논문을 접했습니다. 그녀는 대칭 기하학이 궤도를 더 잘 이해하는 데 필요한 도구를 가질 수 있다고 의심하기 시작했고 어거스틴 모레노, 논문의 저자. 당시 스웨덴 웁살라 대학교의 박사후 연구원이었던 모레노는 NASA의 누군가가 자신의 연구에 관심을 갖고 있다는 소식을 듣고 놀랐고 기뻤습니다. “예상치 못한 일이었지만 동시에 매우 흥미롭고 동기부여가 되기도 했습니다.”라고 그는 말했습니다.

두 사람은 모레노의 추상적 기술을 목성-유로파 시스템과 토성과 위성 엔셀라두스(유로파처럼 지하 바다에 생명체가 있을 수 있음)에 적용하기 위해 협력하기 시작했습니다. 작년에 그들은 다른 협력자들과 함께 다음과 같은 일련의 논문을 썼습니다. 프레임 워크 생성 for 궤도 목록 작성. 1월, 현재 하이델베르그 대학교 교수인 모레노는 자신의 설문지를 다음과 같은 초안으로 바꾸는 초기 초안을 완성했습니다. 주제에 관한 책. 이 책을 통해 그는 우주 임무를 계획하려는 엔지니어들에게 대칭 기하학의 추상 분야를 유용하게 만들고 싶어합니다. 만약 그가 성공한다면, 그는 수세기에 걸쳐 떨어져 있던 연구 분야를 다시 통합하게 될 것입니다.

기하학에는 왕도가 없다

대칭 기하학은 물리학에 뿌리를 두고 있습니다. 간단한 예를 들어보려면 진자를 상상해 보세요. 그 움직임은 각도와 속도라는 두 가지 매개변수로 설명할 수 있습니다. 속도가 충분히 낮으면 진자가 앞뒤로 진동합니다. 속도가 더 높으면 원을 그리며 회전합니다. 마찰이 없는 이상적인 진자에서는 일단 시작 각도와 속도를 선택하면 시스템의 동작이 항상 결정됩니다.

각도를 기준으로 그래프를 만들 수 있습니다. x-축과 속도 y-중심선. 하지만 360도를 이동하면 다시 시작점으로 돌아가기 때문에 수직선을 꿰맬 수 있습니다. x 0도이고 어디에 x 360도이다. 이렇게 하면 실린더가 만들어집니다. 원통은 물리적 현실을 직접적으로 반영하지 않습니다. 즉 진자가 추적하는 경로를 표시하지 않습니다. 오히려 실린더의 각 점은 진자의 특정 상태를 나타냅니다. 원통은 진자가 따라갈 수 있는 경로를 결정하는 법칙과 함께 상징적인 공간을 형성합니다.

요하네스 케플러(Johannes Kepler)가 자신의 법칙을 공식화한 17세기 초 이래로 물리학자와 수학자들은 중력에 영향을 받는 두 물체의 운동을 설명하는 방법을 확실히 파악해 왔습니다. 움직이는 속도에 따라 경로는 타원, 포물선 또는 쌍곡선을 형성합니다. 상응하는 상징적 공간은 진자의 공간보다 더 복잡하지만 여전히 다루기 쉽습니다. 그러나 세 번째 개체를 도입하면 정확하고 분석적인 솔루션을 계산하는 것이 불가능해집니다. 그리고 모델에 더 많은 본체를 추가하면 더욱 복잡해집니다. Scheeres는 “분석적 통찰력이 없으면 거의 항상 어느 정도 어둠 속으로 빠져들게 됩니다.”라고 말했습니다.

오른쪽에서 왼쪽, 위아래, 앞뒤 등 어느 방향으로든 자유롭게 이동할 수 있는 우주선은 위치를 설명하는 데 세 개의 좌표가 필요하고 속도를 설명하는 데 세 개의 좌표가 더 필요합니다. 그것은 18차원의 상징적인 공간을 만든다. 목성, 유로파, 우주선과 같은 세 물체의 움직임을 설명하려면 몸체당 XNUMX개씩, XNUMX차원이 필요합니다. 공간의 기하학적 구조는 그것이 갖는 차원의 수뿐만 아니라 설명되는 물리적 시스템이 시간이 지남에 따라 어떻게 진화하는지 보여주는 곡선에 의해 정의됩니다.

Moreno와 Koh는 물체 중 하나(우주선)가 너무 작아서 다른 두 물체(목성과 유로파)에 영향을 주지 않는 삼체 문제의 "제한된" 버전을 연구했습니다. 일을 더 단순화하기 위해 연구자들은 달의 궤도가 완벽하게 원형이라고 가정했습니다. 원형 궤도를 우주 탐사선의 경로를 고려하는 안정된 배경으로 삼을 수 있습니다. 목성과 유로파의 운동은 쉽게 설명될 수 있으므로 교향 공간은 우주선의 위치와 속도만 설명하면 됩니다. 따라서 18차원이 아닌 해당 상징 공간은 XNUMX차원이 됩니다. 이 XNUMX차원 공간의 경로가 고리를 형성하면 이는 행성-달 시스템을 통과하는 우주선의 주기적인 궤도를 나타냅니다.

고씨가 모레노에게 연락했을 때, 그녀는 아주 작은 에너지만 추가해도 우주선의 궤도가 한 계열에서 다른 계열로 이동하는 사례에 대해 궁금해했습니다. 궤도군 간의 이러한 만남의 지점을 분기점이라고 합니다. 종종 많은 가족이 한 지점에 모이게 됩니다. 이는 궤도 계획자에게 특히 유용합니다. Scheeres는 "분기점 구조를 이해하면 살펴봐야 할 흥미로운 궤적이 어디에 있는지에 대한 로드맵을 제공합니다."라고 말했습니다. 고씨는 분기점을 식별하고 예측하는 방법을 알고 싶었습니다.

Koh의 말을 들은 후 Moreno는 몇 가지 다른 기하학자를 모집했습니다. 우르스 프라우엔펠더 아우크스부르크 대학교, 센기즈 아이딘 하이델베르그 대학교와 오토 반 코에르트 서울대학교 출신. Frauenfelder와 van Koert는 오랫동안 대칭 기하학을 사용하여 삼체 문제를 연구해 왔습니다. 심지어 폭로하다 잠재적인 새로운 궤도군. 그러나 우주선 임무를 계획하는 엔지니어들은 수많은 수학적 도구를 사용해 왔음에도 불구하고 최근 수십 년 동안 대칭 기하학의 추상화 증가로 인해 어려움을 겪고 있습니다.

그 후 몇 달 동안 엔지니어와 네 명의 수학자들은 서로의 분야에 대해 천천히 알아갔습니다. “예를 들어 학제간 작업을 할 때 언어 장벽을 극복하는 데는 시간이 걸립니다.”라고 Moreno는 말했습니다. "그러나 인내심을 갖고 일을 마친 후에는 성과를 거두기 시작합니다."

툴킷

팀은 임무 계획자에게 유용할 것으로 기대되는 여러 도구를 함께 모았습니다. 도구 중 하나는 두 궤도가 동일한 계열에 속하는지 결정하는 데 도움이 되는 Conley-Zehnder 지수라는 숫자입니다. 이를 계산하기 위해 연구자들은 연구하려는 궤도에 가깝지만 궤도에 있지 않은 지점을 조사합니다. 예를 들어, 우주선이 유로파의 중력에 영향을 받아 목성 주위의 타원 궤도를 따라가고 있다고 상상해 보세요. 경로에서 벗어나면 새로운 궤적이 원래 궤도를 모방하지만 대략적으로만 가능합니다. 새로운 경로는 원래 궤도를 중심으로 나선을 그리며 목성을 선회한 후 약간 다른 지점으로 돌아옵니다. Conley-Zehnder 지수는 나선형이 얼마나 진행되는지를 측정한 것입니다.

놀랍게도 Conley-Zehnder 지수는 우주선을 어떻게 움직이는지에 따라 달라지지 않고 전체 궤도와 관련된 숫자입니다. 게다가 같은 계열의 모든 궤도에 대해서도 동일합니다. 두 개의 궤도에 대한 Conley-Zehnder 지수를 계산하고 두 개의 서로 다른 숫자를 얻는 경우 궤도가 서로 다른 계열에 속하는지 확인할 수 있습니다.

플로어 수(Floer number)라고 불리는 또 다른 도구는 발견되지 않은 궤도군을 암시할 수 있습니다. 에너지가 특정 숫자에 도달할 때 여러 가족이 분기점에서 충돌하고, 에너지가 더 높을 때 해당 분기점에서 더 많은 가족이 분기한다고 가정합니다. 이것은 중앙 허브가 분기점인 가족의 웹을 형성합니다.

각 관련 계열과 관련된 Conley-Zehnder 지수의 간단한 함수로 이 분기점과 관련된 Floer 수를 계산할 수 있습니다. 분기점보다 약간 작은 에너지를 갖는 모든 가족과 에너지가 더 큰 가족 모두에 대해 이 함수를 계산할 수 있습니다. 두 플로어 번호가 다르다면 분기점에 숨겨진 가족이 연결되어 있다는 단서입니다.

“우리가 하고 있는 일은 엔지니어들이 알고리즘을 테스트할 수 있는 도구를 제공하는 것입니다.”라고 Moreno는 말했습니다. 새로운 도구는 주로 엔지니어가 궤도군이 어떻게 결합되는지 이해하고 보증된 경우 새로운 궤도군을 찾도록 유도하기 위해 설계되었습니다. 이는 수십 년에 걸쳐 연마된 궤도 찾기 기술을 대체하기 위한 것이 아닙니다.

2023년에 모레노는 "우주 비행 역학 위원회,” 그리고 그는 JPL 및 Boulder의 Scheeres 연구실을 포함하여 우주 궤도를 연구하는 엔지니어들과 접촉해 왔습니다. Scheeres는 장의 혼합을 환영했습니다. 그는 오랫동안 행성 운동에 대한 상징적 접근 방식을 알고 있었지만 수학적으로 깊이가 부족하다고 느꼈습니다. “수학자들이 자신의 전문 지식을 엔지니어링 측면으로 끌어내리려고 노력하는 모습을 보는 것은 정말 흥미로웠습니다.”라고 그는 말했습니다. Scheeres 그룹은 현재 4개의 몸체를 포함하는 보다 복잡한 시스템을 연구하고 있습니다.

에드 벨브루노Frauenfelder와 함께 일한 궤도 계획 컨설턴트(및 전 JPL 궤도 분석가)는 응용 프로그램이 직접적이지 않다고 경고합니다. "심플렉틱 기하학과 같은 수학적 기술이 정말 멋진 궤적을 제시할 수 있고, 그 중 많은 것을 얻을 수 있지만, 실제 임무에 필요할 수 있는 제약 조건을 충족하는 것은 극소수에 불과할 수 있습니다." , 그는 말했다.

클리퍼 궤도는 이미 대부분 확정되었지만 모레노는 다음 행성인 토성을 찾고 있습니다. 그는 이미 토성의 위성 엔셀라두스에 우주선을 보내기를 희망하는 JPL의 임무 기획자들에게 자신의 연구 결과를 발표했습니다. 모레노는 대칭 기하학이 “표준 우주 임무 툴킷의 일부가 되기를” 희망합니다.