XNUMX월 초, 수학자로서의 버즈가 런던의 히드로 공항에 착륙했습니다. 그들의 목적지는 옥스퍼드 대학이었고 회의 의 65번째 생일을 기념하여 마이클 홉킨스, 많은 참석자들에게 멘토 역할을 한 하버드 대학의 수학자.

Hopkins는 1980년대 후반에 다음과 같은 XNUMX가지 추측에 대한 작업으로 이름을 알렸습니다. 더그 라베넬 로체스터 대학교는 XNUMX년 전에 공식화했습니다. 그것들은 다르게 보일 수 있는 두 개의 모양 또는 공간이 실제로는 동일한지를 결정하는 기술과 관련이 있었습니다. Hopkins와 그의 협력자들은 Ravenel의 모든 추측이 망원경 추측이라는 암시적이지만 신비한 이름의 문제를 제외하고 있음을 증명했습니다.

당시 Hopkins는 Ravenel의 추측에 대한 작업을 중단했습니다. 그 후 수십 년 동안 망원경의 추측은 거의 풀 수 없는 것처럼 보였습니다.

"당신은 그런 정리를 만질 수 없습니다. "라고 Hopkins는 말했습니다.

그러나 수학자들이 런던에 상륙하면서 매사추세츠 공과 대학과 관련이 있는 XNUMX명의 수학자 그룹이 그 일을 해냈다는 소문이 돌았고, 그 중 XNUMX명은 대학원에서 홉킨스의 조언을 받았습니다. 넷 중 막내인 대학원생 이샨 레비, 증거가 발표 될 것 같았던 회의 둘째 날 화요일에 연설을 할 예정이었습니다.

“이게 나올 것이라는 소문을 들었고 정확히 무엇을 기대해야 할지 몰랐습니다.”라고 말했습니다. 베스나 스토야노스카, 회의에 참석한 일리노이 대학교 어바나-샴페인의 수학자.

곧 소문이 사실임이 분명해졌습니다. 화요일부터 다음 XNUMX일 동안 Levy와 그의 공동 저자들은 — 로버트 버크런드, 제레미 한 과 토머 슐랭크 — 약 200명의 수학자들에게 망원경 추측이 거짓이라는 것을 어떻게 증명했는지 설명했습니다.

망원경 추측의 반증에는 광범위한 의미가 있지만 가장 단순하고 심오한 것 중 하나는 다음과 같습니다. 즉, 매우 높은 차원(100차원 구를 생각해 보십시오)에서 다양한 모양의 우주는 다음보다 훨씬 더 복잡합니다. 수학자들은 예상했다.

지도 매핑

모양 또는 위상 공간을 분류하기 위해 수학자들은 중요한 차이점과 중요하지 않은 차이점을 구분합니다. Homotopy 이론은 이러한 구별을 만드는 관점입니다. 그것은 공과 계란이 근본적으로 동일한 토폴로지 공간이라고 생각합니다. 둘 중 하나가 찢어지지 않고 구부리고 다른 것으로 늘릴 수 있기 때문입니다. 같은 방식으로, 호모토피 이론은 공을 내부 튜브로 변형시키기 위해 공에 구멍을 뚫어야 하기 때문에 공과 내부 튜브가 근본적으로 다른 것으로 간주합니다.

Homotopy는 위상 공간을 분류하는 데 유용합니다. 가능한 모든 종류의 모양 차트를 생성합니다. 또한 수학자들이 관심을 갖는 다른 것, 즉 공간 사이의 지도를 이해하는 데에도 중요합니다. 두 개의 토폴로지 공간이 있는 경우 해당 속성을 조사하는 한 가지 방법은 하나의 점을 다른 점으로 변환하거나 매핑하는 함수를 찾는 것입니다. 공간 A의 점을 입력하고 출력으로 공간 B의 점을 얻습니다. A의 모든 점에 대해 그렇게 합니다.

이 지도가 어떻게 작동하는지, 왜 관련 공간의 속성을 비추는지 보려면 원부터 시작하세요. 이제 그것을 공의 표면인 XNUMX차원 구에 매핑합니다. 이를 수행하는 방법은 무한히 많습니다. 예를 들어 구를 지구 표면으로 상상하면 원을 위도의 어느 선에나 둘 수 있습니다. 호모토피 이론의 관점에서 볼 때, 그것들은 모두 북극이나 남극의 한 지점으로 축소될 수 있기 때문에 모두 동등하거나 동소적입니다.

다음으로 원을 내부 튜브(홀이 하나 있는 토러스)의 XNUMX차원 표면에 매핑합니다. 다시 말하지만, 이를 수행하는 방법은 무한히 많으며 대부분은 동소적입니다. 그러나 그들 모두는 아닙니다. 원환체 주위에 수평 또는 수직으로 원을 배치할 수 있으며 어느 쪽도 다른 쪽으로 부드럽게 변형될 수 없습니다. 이것은 원을 토러스에 매핑하는 두 가지(여러 방법 중) 방법이지만 구에 매핑하는 방법은 두 공간 사이의 근본적인 차이를 반영하는 한 가지 방법입니다. 토러스에는 구멍이 하나 있는 반면 구에는 구멍이 없습니다.

원에서 XNUMX차원 구 또는 토러스로 매핑할 수 있는 방법을 세는 것은 쉽습니다. 시각화하기 쉬운 친숙한 공간입니다. 그러나 고차원 공간이 관련된 경우 지도를 세는 것이 훨씬 더 어렵습니다.

치수 차이

두 구의 차원이 같으면 두 구 사이에 항상 무한히 많은 지도가 있습니다. 그리고 매핑하는 공간이 매핑하는 공간보다 낮은 차원인 경우(XNUMX차원 구에 매핑된 XNUMX차원 원의 예에서와 같이) 항상 하나의 맵만 있습니다.

부분적으로는 이러한 이유로 XNUMX차원 구체를 XNUMX차원 구체에 매핑할 때와 같이 매핑하는 공간이 매핑하는 공간보다 더 높은 차원을 가질 때 맵 계산이 가장 흥미로워집니다. 그러한 경우 맵의 수는 항상 유한합니다.

Hahn은 “일반적으로 구 사이의 지도는 소스가 더 큰 차원을 가질 때 더 흥미로운 경향이 있습니다.

더욱이 맵의 수는 차원 수의 차이에만 의존합니다(차이에 비해 차원이 충분히 커지면). 즉, 73차원 구에서 53차원 구로의 맵 수는 225차원 구에서 205차원 구로의 맵 수와 동일합니다. 20.

수학자들은 차원이 다른 공간 사이의 지도 수를 알고 싶어합니다. 그들은 차원의 거의 모든 차이에 대해 최대 100까지 지도 수를 계산했습니다. 차이가 24일 때 구체 사이에 20개의 지도가 있고 3,144,960일 때 23개의 지도가 있습니다.

그러나 100보다 큰 차이에 대한 맵 수를 계산하는 것은 최신 컴퓨팅 성능을 소모합니다. 동시에 수학자들은 지도의 수에서 더 많은 추론을 할 수 있는 충분한 패턴을 감지하지 못했습니다. 그들의 목표는 차원 차이에 대한 지도 수를 지정하는 테이블을 채우는 것이지만 그 목표는 매우 멀게 느껴집니다.

76세인 라베넬은 “이것은 내 손주들이 살아 있는 동안 완전한 해결책을 기대하는 질문이 아니다”라고 말했다.

망원경 추측은 차원의 차이가 커짐에 따라 지도의 수가 어떻게 증가하는지 예측합니다. 실제로 숫자가 천천히 증가할 것이라고 예측합니다. 그것이 사실이라면 그 표를 채우는 문제를 조금 더 쉽게 만들었을 것입니다.

의심을 불신으로

망원경 추측은 있을 법하지 않은 방식으로 그 이름을 얻었습니다.

매우 높은 차원에서는 낮은 차원에서 형성된 기하학적 직관이 종종 무너지고, 구체 사이의 지도를 세는 것이 어렵다는 사실에서 시작되었습니다. 그러나 그의 추측을 공식화하면서 Ravenel은 당신이 그럴 필요가 없다는 것을 이해했습니다. 구 사이의 지도를 세는 대신 구와 망원경이라고 하는 물체 사이의 지도 수를 더 쉽게 프록시로 만들 수 있습니다.

망원경에는 닫힌 고차원 곡선의 일련의 복사본이 포함되며, 각 복사본은 이전 곡선의 축소 버전입니다. 일련의 곡선은 실제 접이식 망원경의 연동 튜브와 유사합니다. Ravenel은 "이 망원경에 대해 설명할 때 이상하게 들리지만 실제로는 구체 자체보다 다루기 더 쉬운 대상입니다."라고 말했습니다.

그러나 여전히 구체는 다양한 방법으로 망원경에 매핑될 수 있으며 이러한 맵이 진정으로 구별되는 경우를 아는 것이 문제입니다.

두 공간이 동소성인지 여부를 확인하려면 공간의 속성을 기반으로 하는 계산인 불변량으로 알려진 수학적 테스트가 필요합니다. 계산이 각 공간에 대해 다른 값을 산출하면 호모토피의 관점에서 고유하다는 것을 알 수 있습니다.

불변량에는 많은 종류가 있으며 일부는 다른 불변량에서는 인식할 수 없는 차이를 인식할 수 있습니다. 망원경 추측은 Morava라는 불변량이 E-이론(및 그 대칭)은 구와 망원경 사이의 모든 지도를 호모토피까지 완벽하게 구별할 수 있습니다. E-이론에 따르면 지도는 구별되고, 구별되며, 같다고 하면 같은 것입니다.

그러나 1989년에 Ravenel은 그것이 사실인지 의심하기 시작했습니다. 그의 회의론은 그가 수행한 추측과 일치하지 않는 계산에서 나타났습니다. 그러나 그가 버클리에 있는 동안 대규모 지진이 베이 지역을 강타한 그해 XNUMX월이 되어서야 그러한 의심이 완전한 불신으로 성문화되었습니다.

Ravenel은 “지진이 발생한 지 하루나 이틀 만에 이 결론에 도달했습니다. 그래서 그것이 사실이 아니라고 생각하게 만드는 일이 일어났다고 생각하고 싶습니다.

망원경의 추측을 반박하려면 사물을 볼 수 있는 더 강력한 불변성을 찾아야 합니다. E-이론은 할 수 없습니다. 수십 년 동안 그러한 불변량을 사용할 수 없는 것처럼 보였고, 추측이 확실히 도달할 수 없는 위치에 놓였습니다. 그러나 최근 몇 년간의 발전으로 상황이 바뀌었고 Burklund, Hahn, Levy 및 Schlank는 이를 활용했습니다.

폭발적인 이국적인

그들의 증명은 대수학이라는 일련의 도구에 의존합니다. K- 1950년대 Alexander Grothendieck에 의해 확립되었고 지난 XNUMX년 동안 급속히 발전한 이론. 그것은 불변량을 과급할 수 있는 능력이 있는 기하학을 포함하여 수학 전반에 걸쳐 응용 프로그램을 가지고 있습니다.

네 명의 저자는 대수학을 사용합니다. K-가제트로서의 이론: 그들은 Morava를 입력합니다. E-이론이며, 그들의 출력은 그들이 대수학이라고 부르는 새로운 불변량입니다. K-모라바의 고정점 이론 E-이론. 그런 다음 이 새로운 불변량을 구체에서 망원경까지의 지도에 적용하고 Morava가 지도를 볼 수 있음을 증명합니다. E-이론은 할 수 없습니다.

그리고 이 새로운 invariant가 몇 가지 더 많은 지도를 보는 것만이 아닙니다. 더 많은 것을, 심지어 무한히 더 많이 봅니다. 너무 많아서 Morava라고 말하는 것이 공평합니다. E- 구체에서 망원경까지 지도를 식별할 때 이론은 표면을 거의 긁지 않았습니다.

구체에서 망원경까지의 지도가 무한히 많다는 것은 구체 자체 사이의 지도가 무한히 많다는 것을 의미합니다. 이러한 지도의 수는 차원의 차이에 따라 유한하지만, 새로운 증거에 따르면 그 수가 빠르고 거침없이 증가하는 것으로 나타났습니다.

너무 많은 지도가 있다는 것은 불안정한 기하학적 현실을 가리킵니다. 구체가 너무 많습니다.

1956년에 John Milnor는 "이국적" 구라고 불리는 것의 첫 번째 예를 확인했습니다. 이들은 호모토피의 관점에서 실제 구체로 변형될 수 있지만 정확한 의미에서 구체와 다른 공간입니다. 이국적인 구체는 16,256차원, 15차원 또는 523,264차원에는 전혀 존재하지 않으며, Milnor가 처음 발견한 차원인 19차원 아래에서는 아무도 그 예를 발견하지 못했습니다. 그러나 차원이 커짐에 따라 이국적인 구체의 수가 폭발합니다. 차원 XNUMX에는 XNUMX개, 차원 XNUMX에는 XNUMX개가 있습니다.

그러나 그 숫자가 어마어마한 만큼, 망원경의 추측이 반박되었다는 것은 훨씬 더 많은 숫자가 있다는 것을 의미합니다. 반증은 Ravenel이 추측을 언급했을 때 예상했던 것보다 구 사이에 더 많은 지도가 있다는 것을 의미하며 더 많은 지도를 얻을 수 있는 유일한 방법은 사이에 매핑할 더 다양한 구를 갖는 것입니다.

수학과 과학에는 다양한 유형의 진보가 있습니다. 한 종류는 혼돈에 질서를 가져옵니다. 그러나 다른 사람은 사실이 아닌 희망적인 가정을 없애 혼돈을 심화시킵니다. 망원경 추측의 반증은 이렇습니다. 그것은 기하학의 복잡성을 심화시키고 누군가가 구체 사이의 지도를 완전히 이해하기 전에 많은 세대의 손자가 왔다가 갈 확률을 높입니다.

Ravenel은 "이 주제의 모든 주요 발전은 대답이 이전에 생각했던 것보다 훨씬 더 복잡하다는 것을 알려주는 것 같습니다."라고 말했습니다.