Es dauerte lange, bis Claire Voisin sich in die Mathematik verliebte.

Das heißt nicht, dass sie das Thema jemals nicht mochte. Als zehntes von zwölf Kindern wuchs sie in Frankreich auf und genoss es, stundenlang mit ihrem Vater, einem Ingenieur, mathematische Probleme zu lösen. Als sie 10 wurde, begann sie, selbst ein Algebra-Lehrbuch für die Oberstufe zu lesen, fasziniert von den darin enthaltenen Definitionen und Beweisen. „Es gab diese ganze Struktur“, sagte sie. „Algebra ist eigentlich eine Strukturtheorie.“

Aber sie sah Mathematik nicht als eine lebenslange Berufung. Erst während ihres Studiums erkannte sie, wie tiefgreifend und schön es sein konnte – und dass sie in der Lage war, neue Entdeckungen zu machen. Bis dahin verfolgte sie neben der Mathematik ernsthaft mehrere Interessen: Philosophie, Malerei und Poesie. („Als ich 20 war, habe ich mich, glaube ich, nur mit Mathematik und Malerei beschäftigt. Das war vielleicht etwas übertrieben“, lachte sie.) Mit Anfang 20 hatte die Mathematik alles andere untergeordnet. Aber Malerei und Poesie beeinflussten sie weiterhin. Sie betrachtet Mathematik als eine Kunst – und als eine Möglichkeit, die Grenzen der Sprache auszuloten und mit ihnen zu spielen.

Jahrzehnte später, nachdem Voisin führend auf dem Gebiet der algebraischen Geometrie geworden war, fand er wieder Zeit, zu malen und Tonskulpturen anzufertigen. Dennoch nimmt die Mathematik weiterhin den größten Teil ihrer Aufmerksamkeit ein; Am liebsten verbringt sie ihre Zeit damit, diese „andere Welt“ zu erkunden, in der „es so ist, als würde man träumen.“

Voisin ist leitender Forscher am französischen Nationalen Zentrum für wissenschaftliche Forschung in Paris. Dort untersucht sie algebraische Varietäten, die man sich als Formen vorstellen kann, die durch Sätze von Polynomgleichungen definiert werden, so wie ein Kreis durch das Polynom definiert wird x² + y² = 1. Sie ist eine der weltweit führenden Experten für die Hodge-Theorie, ein Werkzeugkasten, mit dem Mathematiker Schlüsseleigenschaften algebraischer Varietäten untersuchen.

Voisin hat für ihre Arbeit zahlreiche Auszeichnungen gewonnen, darunter den Clay Research Award im Jahr 2008, den Heinz Hopf-Preis im Jahr 2015 und den Shaw-Preis für Mathematik im Jahr 2017. Im Januar wurde sie als erste Frau mit dem Crafoord-Preis ausgezeichnet Mathematik.

Wie viel sprach mit Voisin über die kreative Natur der Mathematik. Das Interview wurde aus Gründen der Klarheit gekürzt und bearbeitet.

Als Kind hat Ihnen Mathematik Spaß gemacht, Sie haben sich aber nicht vorgestellt, sich damit zu befassen. Warum nicht?

Es gibt die Magie eines Beweises – die Emotion, die man empfindet, wenn man ihn versteht, wenn man erkennt, wie stark er ist und wie stark er einen macht. Als Kind konnte ich das schon sehen. Und ich habe die Konzentration genossen, die Mathematik erfordert. Es ist etwas, das ich mit zunehmendem Alter immer zentraler für die Praxis der Mathematik finde. Der Rest der Welt verschwindet. Ihr gesamtes Gehirn ist dazu da, ein Problem zu untersuchen. Es ist eine außergewöhnliche Erfahrung, die mir sehr wichtig ist – die Welt der praktischen Dinge zu verlassen und in einer anderen Welt zu leben. Vielleicht spielt mein Sohn deshalb so gerne Videospiele.

Aber was mich in gewisser Weise zu einem Nachzügler der Mathematik gemacht hat, ist, dass ich mich überhaupt nicht für Spiele interessiere. Es ist nicht für mich. Und in der High School fühlte sich Mathematik wie ein Spiel an. Es fiel mir schwer, es ernst zu nehmen. Ich habe die Tiefen der Mathematik zunächst nicht gesehen. Selbst als ich nach der High School begann, sehr interessante Beweise und Theoreme zu entdecken, dachte ich zu keinem Zeitpunkt, dass ich selbst etwas erfinden, dass ich es mir zu eigen machen könnte.

Ich hatte ein Bedürfnis nach etwas Tieferem, Ernsthafterem, etwas, das ich zu meinem eigenen machen konnte.

Wo haben Sie danach gesucht, bevor Sie das in der Mathematik gefunden haben?

Mir gefiel die Philosophie und ihr Beharren auf dem Begriff eines Konzepts. Außerdem habe ich bis zu meinem 22. Lebensjahr viel Zeit mit Malen verbracht, insbesondere mit figurativen, von der Geometrie inspirierten Stücken. Und ich mochte die Poesie sehr – die Werke von Mallarmé, Baudelaire, René Char. Ich lebte bereits in einer Art anderen Welt. Aber das ist normal, denke ich, wenn man jünger ist.

Aber die Mathematik wurde immer wichtiger. Es beansprucht wirklich Ihr gesamtes Gehirn. Wenn Sie nicht an Ihrem Schreibtisch sitzen und an einem bestimmten Problem arbeiten, sind Ihre Gedanken immer noch beschäftigt. Je mehr ich mich also mit Mathematik beschäftigte, desto weniger malte ich. Ich habe erst vor kurzem wieder angefangen zu malen, nachdem meine Kinder alle das Haus verlassen haben und ich viel mehr Zeit habe.

Was hat Sie letztendlich dazu bewogen, den Großteil Ihrer kreativen Energie der Mathematik zu widmen?

Die Mathematik wurde für mich immer interessanter. Als Master- und Ph.D. Als Student entdeckte ich, dass die Mathematik des 20. Jahrhunderts etwas sehr Tiefgründiges und Außergewöhnliches war. Es war eine Welt voller Ideen und Konzepte. In der algebraischen Geometrie gab es die berühmte Revolution unter der Führung von Alexander Grothendieck. Schon vor Grothendieck gab es unglaubliche Ergebnisse. Es handelt sich also um ein junges Feld mit Ideen, die zwar schön, aber auch äußerst kraftvoll sind. Die Hodge-Theorie, die ich studiere, war ein Teil davon.

Es wurde immer klarer, dass mein Leben da war. Natürlich hatte ich ein Familienleben – einen Mann und fünf Kinder – und andere Pflichten und Aktivitäten. Aber mir wurde klar, dass ich mit Mathematik etwas schaffen konnte. Ich könnte mein Leben dem widmen, weil es so schön, so spektakulär, so interessant war.

Sie haben bereits darüber geschrieben, dass Mathematik ein kreatives Unterfangen ist.

Da ich von Beruf Mathematiker bin, ist mein Arbeitstag offiziell rund um die Mathematik organisiert. Ich sitze an einem Schreibtisch; Ich arbeite an einem Computer. Aber die meisten meiner Matheaktivitäten finden in dieser Zeit nicht statt. Sie brauchen eine neue Idee, eine gute Definition, eine Aussage, von der Sie glauben, dass Sie sie nutzen können. Erst dann kann Ihre Arbeit beginnen. Und das passiert nicht, wenn ich an meinem Schreibtisch sitze. Ich muss meinem Geist folgen, damit ich weiter nachdenken kann.

Es hört sich so an, als ob Mathematik für Sie zutiefst persönlich ist. Haben Sie dabei etwas über sich selbst herausgefunden?

In der Mathematik muss ich die meiste Zeit irgendwie gegen mich selbst kämpfen, weil ich sehr ungeordnet bin, nicht sehr diszipliniert bin und auch dazu neige, depressiv zu werden. Ich finde es nicht einfach. Was ich jedoch herausgefunden habe, ist, dass mein Gehirn in manchen Momenten – etwa morgens beim Frühstück, oder wenn ich durch die Straßen von Paris spaziere oder etwas Sinnloses wie Putzen erledige – anfängt, von selbst zu arbeiten. Mir wird klar, dass ich über Mathematik nachdenke, ohne es beabsichtigt zu haben. Es ist, als ob du träumst. Ich bin 62 und habe keine wirkliche Methode, um gute Mathematik zu machen: Ich warte immer noch mehr oder weniger auf den Moment, in dem ich Inspiration bekomme.

Sie arbeiten mit sehr abstrakten Objekten – mit hochdimensionalen Räumen, mit Strukturen, die komplizierte Gleichungen erfüllen. Wie denken Sie über eine solch abstrakte Welt?

Eigentlich ist es gar nicht so schwer. Die abstrakteste Definition ist, sobald man sie kennt, nicht mehr abstrakt. Es ist wie ein wunderschöner Berg, den man sehr gut sehen kann, denn die Luft ist sehr klar und es gibt Licht, das einen alle Details erkennen lässt. Für uns sehen die mathematischen Objekte, die wir studieren, konkret aus, weil wir sie viel besser kennen als alles andere.

Natürlich gibt es eine Menge Dinge zu beweisen, und wenn man anfängt, etwas zu lernen, kann es sein, dass man unter der Abstraktion leidet. Aber wenn man eine Theorie anwendet – weil man die Theoreme versteht – fühlt man sich den betreffenden Objekten tatsächlich sehr nahe, auch wenn sie abstrakt sind. Indem du etwas über die Objekte lernst, sie manipulierst und sie in mathematischen Argumenten verwendest, werden sie letztendlich zu deinen Freunden.

Und dazu gehört es auch, sie aus unterschiedlichen Blickwinkeln zu betrachten?

Ich habe ursprünglich keine algebraische Geometrie studiert. Ich habe in der komplexen analytischen und Differentialgeometrie gearbeitet. In der analytischen Geometrie untersuchen Sie eine viel größere Klasse von Funktionen und die Formen, die durch diese Funktionen lokal definiert werden. Anders als in der algebraischen Geometrie gibt es für sie normalerweise keine globale Gleichung.

Ich habe der algebraischen Sichtweise zunächst nicht allzu viel Aufmerksamkeit geschenkt. Aber je älter ich werde und je mehr ich in diesem Bereich arbeite, desto mehr sehe ich die Notwendigkeit, diese beiden verschiedenen Sprachen zu haben.

Es gibt einen unglaublichen Satz namens GAGA, der ein bisschen witzig ist; es bedeutet auf Französisch „senil“, steht aber auch für Geometriealgie und Geometrieanalytik. Es besagt, dass man von einer Sprache in die andere übergehen kann. Sie können eine Berechnung in komplexer analytischer Geometrie durchführen, wenn dies einfacher ist, und dann zur algebraischen Geometrie zurückkehren.

In anderen Fällen bietet Ihnen die algebraische Geometrie die Möglichkeit, eine andere Version eines Problems zu untersuchen, die zu außergewöhnlichen Ergebnissen führen kann. Ich habe darauf hingearbeitet, die algebraische Geometrie als Ganzes zu verstehen, anstatt mich nur auf die Seite der komplexen Geometrie zu konzentrieren.

Es ist interessant, dass Sie sich diese als verschiedene mathematische Sprachen vorstellen.

Sprache ist wichtig. Vor der Mathematik gibt es die Sprache. In der Sprache steckt bereits viel Logik. Wir haben alle diese logischen Regeln in der Mathematik: Quantoren, Negationen, Klammern, um die richtige Reihenfolge von Operationen anzugeben. Es ist jedoch wichtig zu erkennen, dass alle diese für Mathematiker lebenswichtigen Regeln bereits in unserer Alltagssprache enthalten sind.

Man könnte einen mathematischen Satz mit einem Gedicht vergleichen. Es ist in Worten geschrieben. Es ist ein Produkt der Sprache. Wir haben unsere mathematischen Objekte nur, weil wir Sprache benutzen, weil wir alltägliche Wörter verwenden und ihnen eine bestimmte Bedeutung geben. Man kann also Poesie und Mathematik vergleichen, da beide vollständig auf der Sprache basieren und dennoch etwas Neues schaffen.

Grothendiecks Revolution in der algebraischen Geometrie hat Sie zur Mathematik hingezogen. Er schuf im Wesentlichen eine neue Sprache für diese Art von Mathematik.

Recht.

Gibt es Möglichkeiten, in denen die mathematische Sprache, die Sie jetzt verwenden, möglicherweise noch geändert werden muss?

Mathematiker überarbeiten ständig ihre Sprache. Das ist schade, denn es erschwert die Lektüre älterer Arbeiten. Aber wir überarbeiten frühere Mathematik, weil wir sie besser verstehen. Es gibt uns eine bessere Möglichkeit, Theoreme zu schreiben und zu beweisen. Dies war bei Grothendieck der Fall, der die Garbenkohomologie auf die Geometrie anwendete. Es ist wirklich spektakulär.

Es ist wichtig, dass Sie sich mit dem Gegenstand, den Sie studieren, so vertraut machen, dass er für Sie wie eine Muttersprache ist. Wenn sich eine Theorie zu bilden beginnt, braucht es Zeit, die richtigen Definitionen zu finden und alles zu vereinfachen. Oder vielleicht ist es immer noch sehr kompliziert, aber wir werden mit den Definitionen und Objekten viel vertrauter; es wird natürlicher, sie zu verwenden.

Es ist eine kontinuierliche Entwicklung. Wir müssen ständig umschreiben und vereinfachen, um Theorien darüber zu entwickeln, was wichtig ist und welche Tools wir zur Verfügung stellen müssen.

Mussten Sie in Ihrer Arbeit neue Definitionen einführen?

Manchmal. In Arbeit, die ich gemacht habe mit János KollarEs gab einen Wendepunkt, an dem wir endlich die richtige Sicht auf das Problem finden konnten – durch eine bestimmte Definition. Das war ein sehr klassisches Problem, und wir haben mit klassischen Werkzeugen gearbeitet, aber unser Beweis basierte tatsächlich auf dieser Definition, die wir aufgestellt hatten.

In einem anderen Fall, Olivier Debarré, Daniel Hübrechts, Emanuele Macrì und ich habe mich als nett erwiesen Klassifizierungsergebnis über Objekte, die Hyper-Kähler-Mannigfaltigkeiten genannt werden. Und der Ausgangspunkt für diesen Beweis war die Einführung einer Invariante, die wir ursprünglich „a.”[Lacht.]

Sie könnten die Bedeutung von Definitionen in der Mathematik unterschätzen, aber das sollten Sie nicht.

Definitionen und Sprache sind nicht die einzigen leitenden Kräfte in der Mathematik. Das gilt auch für Vermutungen, die wahr sein könnten oder auch nicht. Sie haben zum Beispiel viel an der Hodge-Vermutung gearbeitet, einem Clay-Millennium-Problem, dessen Lösung mit einem kommt 1 Millionen Dollar Belohnung.

Angenommen, Sie haben eine algebraische Varietät, die Sie verstehen möchten. Gehen Sie also zur Seite der komplexanalytischen Geometrie und betrachten Sie sie stattdessen als eine sogenannte komplexe Mannigfaltigkeit. Sie können sich eine komplexe Mannigfaltigkeit anhand ihrer globalen Form oder Topologie vorstellen. Es gibt ein Objekt, Homologie genannt, das viele topologische Informationen über die Mannigfaltigkeit liefert. Aber es ist nicht so einfach zu definieren.

Betrachten Sie nun algebraische Untervarietäten innerhalb Ihrer ursprünglichen Varietät. Jedem wird eine topologische Invariante und bestimmte topologische Informationen zugeordnet sein. Welcher Teil der Homologie der komplexen Mannigfaltigkeit kann durch Betrachtung dieser topologischen Invarianten ermittelt werden?

Die Hodge-Vermutung gibt eine konkrete Antwort. Und die Antwort ist sehr subtil.

Mathematiker sind sich also nicht sicher, ob die Hodge-Vermutung am Ende wahr oder falsch sein wird?

Sie möchten an die Hodge-Vermutung glauben, weil sie ein Leitfaden für die wichtigsten Theorien der algebraischen Geometrie ist.

Sie möchten wirklich die Haupteigenschaften einer algebraischen Varietät verstehen. Und wenn die Hodge-Vermutung wahr ist, hätten Sie dadurch eine unglaubliche Kontrolle über die Geometrie Ihrer Sorte. Sie erhalten sehr wichtige Informationen über die Struktur der Sorten.

Es gibt einige gute Gründe, daran zu glauben. Besondere Fälle der Hodge-Vermutung sind bekannt. Und es gibt viele tiefgreifende Aussagen über algebraische Varietäten, die darauf hindeuten, dass die Hodge-Vermutung wahr ist.

Aber es gab fast keinen Fortschritt beim Beweis. Ich habe auch bewiesen, dass es keine Möglichkeit gibt, die Hodge-Vermutung auf einen anderen Kontext auszudehnen, in dem sie natürlich erscheinen würde. Das war also ein kleiner Schock.

Haben Sie nach jahrzehntelanger Arbeit als Mathematiker das Gefühl, dass Sie sich jetzt noch intensiver mit Mathematik befassen?

Jetzt, wo ich älter bin, habe ich viel mehr Zeit, meine Energie in die Mathematik zu stecken, darin wirklich präsent zu sein. Ich habe auch eine bessere Fähigkeit, hierhin und dorthin zu gehen. Früher war ich möglicherweise weniger mobil, weil ich weniger Zeit hatte – obwohl es auch nicht gut ist, zu mobil zu sein und Probleme nur anzufassen, ohne bei ihnen zu bleiben. Jetzt bin ich erfahrener und kann mir mein eigenes Bild machen.

Sie haben ein viel besseres Bild von dem, was Sie nicht wissen, von offenen Problemen. Sie haben eine detaillierte Ansicht Ihres Feldes und seiner Grenzen. Es muss einige gute Aspekte des Älterwerdens geben. Und es gibt noch so viel zu tun.