Stellen Sie sich vor, Sie rollen in einem fahrerlosen Auto die Straße entlang und sehen plötzlich ein Problem. Ein Amazon-Lieferfahrer schaffte es mit seinem Lieferwagen auf halbem Weg an einem doppelt geparkten UPS-Lastwagen vorbei, bevor ihm klar wurde, dass er es nicht schaffen würde. Jetzt stecken sie fest. Und so bist du.

Die Straße ist zu schmal, um einen U-ey zu fahren, also leitet Ihr KI-verstärktes Auto eine Dreipunktwende ein. Zunächst fährt das Auto in einer Kurve auf einen Bordstein zu. Dort angekommen lenkt es in die andere Richtung und fährt rückwärts bis zum gegenüberliegenden Bordstein. Dann dreht es das Lenkrad zurück in Richtung der ersten Kurvenbahn und fährt vorwärts und vom Hindernis weg.

Dieser einfache geometrische Algorithmus zum Durchführen von Zwischenkurven kann Ihnen helfen, sich in schwierigen Situationen fortzubewegen. (Wenn Sie schon einmal parallel geparkt haben, wissen Sie, was dieses Hin- und Herwackeln für Sie bewirken kann.)

Hier gibt es eine lustige mathematische Aufgabe darüber, wie viel Platz man braucht, um sein Auto zu wenden, und Mathematiker arbeiten seit über 100 Jahren an einer idealisierten Version davon. Es begann im Jahr 1917, als der japanische Mathematiker Sōichi Kakeya ein Problem stellte, das ein wenig nach unserem Stau klingt. Angenommen, Sie haben eine unendlich dünne Nadel der Länge 1. Wie groß ist die Fläche des kleinsten Bereichs, in dem Sie die Nadel um 180 Grad drehen und in ihre ursprüngliche Position zurückbringen können? Dies ist als Kakeyas Nadelproblem bekannt und Mathematiker untersuchen immer noch Variationen davon. Werfen wir einen Blick auf die einfache Geometrie, die Kakeyas Nadelproblem so interessant und überraschend macht.

Wie bei vielen mathematischen Problemen geht es auch bei diesem um einige vereinfachende Annahmen, die es weniger realistisch, aber beherrschbarer machen. Beispielsweise sind Länge und Breite eines Autos wichtig, wenn Sie fahren, aber wir gehen davon aus, dass unsere Nadel die Länge 1 und die Breite Null hat. (Das bedeutet, dass die Nadel selbst eine Fläche von Null hat, was eine wichtige Rolle bei der Lösung des Problems spielt.) Außerdem gehen wir davon aus, dass sich die Nadel im Gegensatz zu einem Auto um ihr vorderes und hinteres Ende drehen kann oder irgendein Punkt dazwischen.

Ziel ist es, den kleinsten Bereich zu finden, der eine Drehung der Nadel um 180 Grad ermöglicht. Das kleinste Ding zu finden, das bestimmte Bedingungen erfüllt, kann eine Herausforderung sein, aber ein guter Anfang ist es, nach allem zu suchen, was diese Bedingungen erfüllt, und zu sehen, was man dabei lernen kann. Eine einfache Lösung besteht beispielsweise darin, die Nadel einfach um 180 Grad um ihren Endpunkt zu drehen und sie dann wieder nach oben zu schieben. Dadurch kehrt die Nadel in ihre ursprüngliche Position zurück, zeigt nun aber in die entgegengesetzte Richtung, wie es Kakeyas Nadelproblem erfordert.

Der für die Drehung benötigte Bereich ist ein Halbkreis mit Radius 1, der eine Fläche von $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ hat. 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Wir haben also eine Region gefunden, die funktioniert.

Wir können es besser machen, indem wir uns die Fähigkeit unserer magischen mathematischen Nadel zunutze machen, sich um jeden Punkt zu drehen. Anstatt es um seinen Endpunkt zu drehen, drehen wir es um seinen Mittelpunkt.

Man könnte dies Kakeyas Kompass nennen: Unsere Nadel zeigt zunächst nach Norden, aber nach der Drehung befindet sie sich an derselben Stelle, zeigt jedoch nach Süden. Diese Region ist ein Kreis mit dem Radius $latex frac{1}{2}$, daher beträgt ihre Fläche $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. Das ist die Hälfte der Fläche unserer ersten Region, wir machen also Fortschritte.

Wohin als nächstes? Wir könnten uns von unserem Dilemma des fahrerlosen Autos inspirieren lassen und darüber nachdenken, so etwas wie eine Dreipunktdrehung für die Nadel zu verwenden. Das funktioniert tatsächlich ziemlich gut.

Der Bereich, der bei dieser Technik mit der Nadel herausgestrichen wird, wird Deltamuskel genannt und entspricht ebenfalls den Anforderungen von Kakeya. Die Berechnung seiner Fläche erfordert mehr als die elementare Geometrie, die wir hier besprechen (Kenntnisse über parametrische Kurven sind hilfreich), aber es stellt sich heraus, dass die Fläche dieses speziellen Deltamuskels – der von einem Liniensegment der Länge 1 überstrichen wird – genau $latex ist frac{pi}{8}$. Jetzt haben wir eine noch kleinere Region, in der wir Kakeyas Nadel umdrehen können, und man könnte meinen, das sei das Beste, was wir tun können. Kakeya selbst dachte, dass es so sein könnte.

Aber dieses Nadelproblem nahm eine große Wendung, als der russische Mathematiker Abram Besicovitch entdeckte, dass man es unendlich besser machen kann. Er entwickelte ein Verfahren, um unnötige Teile der Region abzuschneiden, bis sie so klein war, wie er wollte.

Der Prozess ist technisch und kompliziert, aber eine Strategie, die auf Besicovitchs Idee basiert, basiert auf zwei einfachen Ideen. Betrachten Sie zunächst das folgende rechtwinklige Dreieck mit einer Höhe von 1 und einer Basis von 2.

Im Moment vergessen wir das vollständige Drehen der Nadel und konzentrieren uns nur auf eine einfache Tatsache: Wenn wir eine Nadel der Länge 1 am oberen Scheitelpunkt platzieren, ist das Dreieck groß genug, um der Nadel eine volle Drehung um 90 zu ermöglichen Grad von einer Seite zur anderen.

Da die Fläche des Dreiecks $latex A=frac{1}{2}bh$ beträgt, hat dieses Dreieck die Fläche $latex A=frac{1}{2} mal 2 mal 1 = 1$.

Hier nun die erste wichtige Idee: Wir können die Fläche der Region verkleinern und gleichzeitig die 90-Grad-Rotation beibehalten. Die Strategie ist einfach: Wir schneiden das Dreieck in der Mitte durch und schieben dann die beiden Hälften zusammen.

Die Fläche dieser neuen Figur muss kleiner sein als die des Originals, da sich nun Teile des Dreiecks überlappen. Tatsächlich ist es einfach, die Fläche der Figur zu berechnen: Sie beträgt nur drei Viertel des Quadrats der Seite 1, also beträgt die Fläche $latex A = frac{3}{4}$, was kleiner ist als die Fläche der Dreieck, mit dem wir angefangen haben.

Und wir können die Nadel immer noch in die gleichen Richtungen wie zuvor richten. Es gibt nur ein Problem: Der ursprüngliche Winkel wurde in zwei Teile geteilt, sodass diese Richtungen jetzt in zwei separate Bereiche unterteilt sind.

Befindet sich die Nadel auf der linken Seite der neuen Region, können wir sie um 45 Grad zwischen Süden und Südosten drehen, und wenn sie sich auf der rechten Seite befindet, können wir sie um 45 Grad zwischen Süden und Südwesten drehen, da die beiden Teile jedoch getrennt sind , es sieht nicht so aus, als ob wir es wie zuvor um volle 90 Grad drehen können.

Hier kommt die zweite wichtige Idee ins Spiel: Es gibt eine raffinierte Möglichkeit, die Nadel von einer Seite zur anderen zu bringen, ohne viel Platz zu benötigen. Im Schach wissen Sie vielleicht, dass sich der Springer in einer L-Form bewegt. Nun, unsere Nadel wird sich in einer N-Form bewegen.

So wird es gemacht. Zuerst gleitet die Nadel auf einer Seite des N nach oben. Dann dreht sie sich, um entlang der Diagonale zu zeigen, und gleitet nach unten. Dann dreht es sich erneut und beendet seine Reise, indem es auf der anderen Seite des Nordens nach oben rutscht.

Auf den ersten Blick sieht diese N-förmige Bewegung vielleicht nicht nach viel aus, aber sie bewirkt etwas sehr Nützliches. Dadurch kann die Nadel von einer parallelen Linie zur anderen „springen“, was uns hilft, unsere Nadel von einer Region in die andere zu bringen. Noch wichtiger ist, dass dies ohne großen Flächenbedarf geschieht. Tatsächlich können Sie den Platzbedarf so gering halten, wie Sie möchten. Hier ist der Grund.

Denken Sie daran, dass unsere Nadel die Breite Null hat. Jede Linie, entlang der sich die Nadel vorwärts oder rückwärts bewegt, hat also eine Fläche von Null. Dies bedeutet, dass der Bereich, der erforderlich ist, um die Nadel entlang der N-Form nach oben, unten oder diagonal zu bewegen, aus Teilen mit einer Fläche von Null besteht.

Damit verbleiben nur noch die Drehungen an den Ecken der N-Form.

Diese Bewegungen erfordern Fläche. An jeder Ecke ist ein kleiner Kreisausschnitt zu erkennen. Aber hier ist der Trick: Sie können diese Regionen verkleinern, indem Sie den Norden verlängern.

Die Formel für die Fläche eines Kreissektors lautet $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, wobei $latex theta$ das Maß für den Winkel des Sektors in Grad ist. Egal wie hoch das N ist, der Radius des Sektors beträgt immer 1: Das ist die Länge der Nadel. Aber je größer das N wird, desto kleiner wird der Winkel, wodurch sich die Fläche des Sektors verringert. Somit können Sie die zusätzliche Fläche so klein machen, wie Sie möchten, indem Sie das N so weit ausdehnen, wie Sie benötigen.

Denken Sie daran, dass wir die Fläche unseres dreieckigen Bereichs reduzieren konnten, indem wir ihn in zwei Teile teilten und die Teile überlappen ließen. Das Problem bestand darin, dass dadurch der 90-Grad-Winkel in zwei separate Teile geteilt wurde, sodass wir die Nadel nicht um die gesamten 90 Grad drehen konnten. Jetzt können wir dieses Problem lösen, indem wir eine geeignete N-Form anbringen, um sicherzustellen, dass die Nadel einen Weg von einer Seite zur anderen hat.

In diesem aktualisierten Bereich kann sich die Nadel wie zuvor immer noch um volle 90 Grad drehen, dies geschieht jedoch jetzt in zwei Schritten. Zuerst dreht sich die Nadel um 45 Grad und richtet sich an der vertikalen Kante links aus. Als nächstes bewegt es sich entlang der N-Form, um auf die andere Seite zu gelangen. Sobald es dort ist, können Sie es um weitere 45 Grad drehen.

Dadurch wird die Nadel um 90 Grad bewegt. Um sie weiter zu drehen, fügen Sie einfach gedrehte Kopien des Bereichs hinzu.

Durch das Hinzufügen der entsprechenden N-Formen kann die Nadel von einer dreieckigen Halbinsel zur nächsten springen und sich Stück für Stück drehen, bis sie ganz rundherum ist, genau wie ein Auto, das eine Dreipunktkurve ausführt.

In den Details steckt noch mehr teuflische Mathematik, aber diese beiden Ideen – dass wir die Fläche der ursprünglichen Region kontinuierlich reduzieren können, indem wir sie in Scheiben schneiden und verschieben und gleichzeitig sicherstellen, dass wir mit den beliebig kleinen N-Formen von Stück zu Stück gelangen können – helfen uns Bewegen Sie die Nadel in einem immer kleiner werdenden Bereich, der letztendlich so klein sein kann, wie Sie möchten.

Ein eher üblicher Ansatz zum Aufbau dieser Art von Region beginnt mit gleichseitigen Dreiecken und verwendet „Perron-Bäume“, eine clevere Möglichkeit, Dreiecke in Scheiben zu schneiden, sie zu strecken und die Teile wieder zusammenzufügen. Das Ergebnis ist ziemlich beeindruckend.

Vor kurzem haben Mathematiker Fortschritte gemacht über neue Variationen dieses alten Problems, angesiedelt in höheren Dimensionen und mit anderen Größenvorstellungen. Wir werden wahrscheinlich nie ein Auto mit KI-Antrieb sehen, das eine Kakeya-Nadelpunktkurve abfährt, aber wir können dennoch die Schönheit und Einfachheit seines Beinahe-Nichts schätzen.

Übungen

1. Wie groß ist die Fläche des kleinsten gleichseitigen Dreiecks, das als Kakeya-Nadelset funktioniert?

2. Etwas besser als mit dem gleichseitigen Dreieck in Übung 1 können Sie ein „Reuleaux-Dreieck“ verwenden, einen Bereich, der aus drei überlappenden Kreissektoren besteht. Wie groß ist die Fläche des kleinsten funktionierenden Reuleaux-Dreiecks?