Wenn Sie einen Badezimmerboden verfliesen möchten, sind quadratische Fliesen die einfachste Option – sie passen lückenlos in einem Gittermuster zusammen, das sich auf unbestimmte Zeit fortsetzen lässt. Dieses quadratische Raster hat eine Eigenschaft, die viele andere Kacheln gemeinsam haben: Verschieben Sie das gesamte Raster um einen festen Betrag, und das resultierende Muster ist vom Original nicht zu unterscheiden. Für viele Mathematiker sind solche „periodischen“ Kacheln jedoch langweilig. Wenn Sie einen kleinen Fleck gesehen haben, haben Sie alles gesehen.

In den 1960er Jahren begannen Mathematiker zu studieren „aperiodische“ Kachelsätze mit weitaus reichhaltigerem Verhalten. Das vielleicht berühmteste ist ein Paar rautenförmiger Kacheln, die in den 1970er Jahren vom vielseitigen Physiker und zukünftigen Nobelpreisträger entdeckt wurden Roger Penrose. Kopien dieser beiden Kacheln können unendlich viele verschiedene Muster bilden, die für immer anhalten, sogenannte Penrose-Kacheln. Doch egal, wie Sie die Kacheln anordnen, Sie werden nie ein sich periodisch wiederholendes Muster erhalten.

„Das sind Fliesen, die eigentlich nicht existieren sollten“, sagte er Niklas Breuckmann, ein Physiker an der Universität Bristol.

Seit über einem halben Jahrhundert faszinieren aperiodische Kacheln Mathematiker, Hobbyforscher und Forscher in vielen anderen Bereichen. Jetzt haben zwei Physiker einen Zusammenhang zwischen aperiodischen Kacheln und einem scheinbar nicht verwandten Zweig der Informatik entdeckt: der Untersuchung, wie zukünftige Quantencomputer Informationen kodieren können Schützen Sie es vor Fehlern. In einer Krepppapier In einer im November auf dem Preprint-Server arxiv.org veröffentlichten Studie zeigten die Forscher, wie man Penrose-Kacheln in einen völlig neuen Typ von Quantenfehlerkorrekturcode umwandeln kann. Sie konstruierten auch ähnliche Codes basierend auf zwei anderen Arten aperiodischer Kacheln.

Im Mittelpunkt der Korrespondenz steht eine einfache Beobachtung: Sowohl bei aperiodischen Kacheln als auch bei Codes zur Quantenfehlerkorrektur verrät das Lernen über einen kleinen Teil eines großen Systems nichts über das System als Ganzes.

„Es ist eines dieser schönen Dinge, die im Nachhinein offensichtlich erscheinen“, sagte er Toby Cubitt, ein Quanteninformationsforscher am University College London. „Du fragst dich: ‚Warum habe ich nicht daran gedacht?‘“

Verbotenes Wissen

Gewöhnliche Computer stellen Informationen mithilfe von Bits mit zwei unterschiedlichen Zuständen dar, die mit 0 und 1 bezeichnet werden. Quantenbits oder Qubits haben ebenfalls zwei Zustände, können aber auch in sogenannte Überlagerungen gebracht werden, in denen ihre Zustände 0 und 1 nebeneinander existieren. Durch die Nutzung ausgefeilterer Überlagerungen mit vielen Qubits, Quantencomputer kann bestimmte Berechnungen viel schneller durchführen als jede herkömmliche Maschine.

Doch Quantenüberlagerungen sind schreckhafte Geschöpfe. Messen Sie ein Qubit in einem Überlagerungszustand und es kollabiert entweder auf 0 oder 1, wodurch alle laufenden Berechnungen gelöscht werden. Erschwerend kommt hinzu, dass Fehler, die auf schwache Wechselwirkungen zwischen Qubits und ihrer Umgebung zurückzuführen sind, die zerstörerischen Auswirkungen der Messung nachahmen können. Alles, was ein Qubit in die falsche Richtung reibt, sei es ein neugieriger Forscher oder ein verirrtes Photon, kann die Berechnung verderben.

Diese extreme Fragilität könnte Quantencomputing hoffnungslos erscheinen lassen. Doch 1995 kam der angewandte Mathematiker Peter Shor entdeckt eine clevere Möglichkeit, Quanteninformationen zu speichern. Seine Kodierung hatte zwei Schlüsseleigenschaften. Erstens könnte es Fehler tolerieren, die nur einzelne Qubits betrafen. Zweitens enthielt es ein Verfahren zur Korrektur von Fehlern, sobald sie auftraten, um zu verhindern, dass sie sich anhäuften und eine Berechnung zum Scheitern brachten. Shors Entdeckung war das erste Beispiel eines Quantenfehlerkorrekturcodes, und seine beiden Schlüsseleigenschaften sind die bestimmenden Merkmale aller dieser Codes.

Die erste Eigenschaft beruht auf einem einfachen Prinzip: Geheime Informationen sind weniger angreifbar, wenn sie geteilt werden. Spionagenetzwerke verfolgen eine ähnliche Strategie. Jeder Spion weiß sehr wenig über das Netzwerk als Ganzes, sodass die Organisation auch dann sicher bleibt, wenn eine einzelne Person gefangen genommen wird. Doch Quantenfehlerkorrekturcodes treiben diese Logik auf die Spitze. In einem Quantenspionagenetzwerk würde kein einzelner Spion überhaupt etwas wissen, aber zusammen wüssten sie eine Menge.

Jeder Quantenfehlerkorrekturcode ist ein spezifisches Rezept zur Verteilung von Quanteninformationen auf viele Qubits in einem kollektiven Überlagerungszustand. Dieses Verfahren wandelt effektiv einen Cluster physischer Qubits in ein einzelnes virtuelles Qubit um. Wiederholen Sie den Vorgang viele Male mit einer großen Anzahl von Qubits, und Sie erhalten viele virtuelle Qubits, die Sie für Berechnungen verwenden können.

Die physischen Qubits, aus denen jedes virtuelle Qubit besteht, sind wie diese ahnungslosen Quantenspione. Wenn Sie eines davon messen, erfahren Sie nichts über den Zustand des virtuellen Qubits, zu dem es gehört – eine Eigenschaft, die als lokale Ununterscheidbarkeit bezeichnet wird. Da jedes physikalische Qubit keine Informationen kodiert, können Fehler in einzelnen Qubits eine Berechnung nicht ruinieren. Die Informationen, auf die es ankommt, sind irgendwie überall, aber nirgends im Besonderen.

„Man kann es nicht auf ein einzelnes Qubit festlegen“, sagte Cubitt.

Alle Codes zur Korrektur von Quantenfehlern können mindestens einen Fehler absorbieren, ohne dass sich dies auf die codierten Informationen auswirkt, aber sie alle unterliegen letztendlich dem Untergang, wenn sich die Fehler anhäufen. Hier kommt die zweite Eigenschaft von Quantenfehlerkorrekturcodes ins Spiel – die eigentliche Fehlerkorrektur. Dies hängt eng mit der lokalen Ununterscheidbarkeit zusammen: Da Fehler in einzelnen Qubits keine Informationen zerstören, ist dies immer möglich Fehler rückgängig machen unter Verwendung etablierter Verfahren, die für jeden Code spezifisch sind.

Für eine Fahrt genommen

Zhi Li, ein Postdoktorand am Perimeter Institute for Theoretical Physics in Waterloo, Kanada, war mit der Theorie der Quantenfehlerkorrektur bestens vertraut. Aber das Thema war ihm völlig aus dem Kopf gegangen, als er mit seinem Kollegen ins Gespräch kam Latham Boyle. Es war Herbst 2022 und die beiden Physiker befanden sich in einem abendlichen Shuttle von Waterloo nach Toronto. Boyle, ein Experte für aperiodische Kacheln, der damals in Toronto lebte und heute an der Universität von Edinburgh ist, war ein bekanntes Gesicht auf diesen Shuttle-Fahrten, die oft im dichten Verkehr stecken blieben.

„Normalerweise könnte es ihnen sehr schlecht gehen“, sagte Boyle. „Das war das Größte aller Zeiten.“

Vor diesem schicksalhaften Abend wussten Li und Boyle von der Arbeit des anderen, aber ihre Forschungsgebiete überschnitten sich nicht direkt und sie hatten noch nie ein persönliches Gespräch geführt. Aber wie unzählige Forscher in nicht verwandten Bereichen war Li neugierig auf aperiodische Kacheln. „Es ist sehr schwer, kein Interesse zu haben“, sagte er.

Das Interesse verwandelte sich in Faszination, als Boyle eine besondere Eigenschaft aperiodischer Kacheln erwähnte: die lokale Ununterscheidbarkeit. In diesem Zusammenhang bedeutet der Begriff etwas anderes. Der gleiche Satz von Kacheln kann unendlich viele Kacheln bilden, die insgesamt völlig unterschiedlich aussehen, aber es ist unmöglich, zwei Kacheln durch die Untersuchung eines lokalen Bereichs voneinander zu unterscheiden. Das liegt daran, dass jeder endliche Teil einer Kachel, egal wie groß, irgendwo in jeder anderen Kachel auftauchen wird.

„Wenn ich dich in die eine oder andere Kachel stecke und dir den Rest deines Lebens zum Erkunden gebe, wirst du nie herausfinden können, ob ich dich in deine oder meine Kacheln stecke“, sagte Boyle.

Für Li schien dies der Definition der lokalen Ununterscheidbarkeit bei der Quantenfehlerkorrektur verlockend ähnlich zu sein. Er erwähnte die Verbindung zu Boyle, der sofort fasziniert war. Die zugrunde liegende Mathematik war in beiden Fällen recht unterschiedlich, aber die Ähnlichkeit war zu faszinierend, um sie abzutun.

Li und Boyle fragten sich, ob sie eine genauere Verbindung zwischen den beiden Definitionen der lokalen Ununterscheidbarkeit herstellen könnten, indem sie einen Quantenfehlerkorrekturcode basierend auf einer Klasse aperiodischer Kacheln erstellen. Während der gesamten zweistündigen Fahrt mit dem Shuttle unterhielten sie sich weiter, und als sie in Toronto ankamen, waren sie sich sicher, dass ein solcher Code möglich war – es ging lediglich darum, einen formellen Beweis zu konstruieren.

Quantenkacheln

Li und Boyle beschlossen, mit Penrose-Fliesen zu beginnen, die einfach und vertraut waren. Um sie in einen Code zur Korrektur von Quantenfehlern umzuwandeln, müssten sie zunächst definieren, wie Quantenzustände und Fehler in diesem ungewöhnlichen System aussehen würden. Dieser Teil war einfach. Eine unendliche zweidimensionale Ebene, die mit Penrose-Kacheln bedeckt ist, wie ein Gitter aus Qubits, kann mit dem mathematischen Rahmen der Quantenphysik beschrieben werden: Die Quantenzustände sind spezifische Kacheln anstelle von Nullen und Einsen. Ein Fehler löscht einfach einen einzelnen Patch des Kachelmusters, so wie bestimmte Fehler in Qubit-Arrays den Zustand jedes Qubits in einem kleinen Cluster löschen.

Der nächste Schritt bestand darin, Kachelkonfigurationen zu identifizieren, die nicht von lokalisierten Fehlern betroffen wären, wie die virtuellen Qubit-Zustände in gewöhnlichen Quantenfehlerkorrekturcodes. Die Lösung bestand wie in einem gewöhnlichen Code darin, Überlagerungen zu verwenden. Eine sorgfältig ausgewählte Überlagerung von Penrose-Fliesen ähnelt der Anordnung von Badezimmerfliesen, die vom unentschlossensten Innenarchitekten der Welt vorgeschlagen wurde. Selbst wenn ein Teil dieses durcheinandergebrachten Bauplans fehlt, verrät er keine Informationen über den gesamten Grundriss.

Damit dieser Ansatz funktionierte, mussten Li und Boyle zunächst zwei qualitativ unterschiedliche Beziehungen zwischen verschiedenen Penrose-Kacheln unterscheiden. Bei jeder Kachelung können Sie eine unendliche Anzahl neuer Kacheln erzeugen, indem Sie sie in eine beliebige Richtung verschieben oder drehen. Die Menge aller auf diese Weise erzeugten Kacheln wird als Äquivalenzklasse bezeichnet.

Allerdings fallen nicht alle Penrose-Kacheln in dieselbe Äquivalenzklasse. Eine Kachelung in einer Äquivalenzklasse kann nicht durch irgendeine Kombination von Rotationen und Translationen in eine Kachelung in einer anderen Klasse umgewandelt werden – die beiden unendlichen Muster sind qualitativ unterschiedlich, aber dennoch lokal nicht unterscheidbar.

Mit dieser Unterscheidung konnten Li und Boyle endlich einen Fehlerkorrekturcode erstellen. Denken Sie daran, dass in einem gewöhnlichen Quantenfehlerkorrekturcode ein virtuelles Qubit in Überlagerungen physikalischer Qubits codiert ist. In ihrem kachelbasierten Code sind die analogen Zustände Überlagerungen aller Kacheln innerhalb einer einzelnen Äquivalenzklasse. Wenn die Ebene mit dieser Art von Überlagerung kachelt, gibt es ein Verfahren zum Füllen von Lücken, ohne Informationen über den gesamten Quantenzustand preiszugeben.

„Die Penrose-Kacheln wussten schon vor der Erfindung des Quantencomputers über Quantenfehlerkorrektur Bescheid“, sagte Boyle.

Die Intuition von Li und Boyle während der Busfahrt war richtig gewesen. Auf einer tieferen Ebene waren die beiden Definitionen der lokalen Ununterscheidbarkeit selbst nicht unterscheidbar.

Das Muster finden

Obwohl der neue Code von Li und Boyle mathematisch gut definiert war, war er kaum praktikabel. Die Kanten von Kacheln in Penrose-Kacheln fallen nicht in regelmäßigen Abständen, daher erfordert die Angabe ihrer Verteilung kontinuierliche reelle Zahlen und nicht diskrete ganze Zahlen. Quantencomputer hingegen nutzen typischerweise diskrete Systeme wie Qubit-Gitter. Schlimmer noch: Penrose-Kacheln sind auf einer unendlichen Ebene nur lokal nicht unterscheidbar, was sich nicht gut auf die endliche reale Welt übertragen lässt.

„Es ist eine sehr merkwürdige Verbindung“, sagte er Barbara Terhal, ein Quantencomputerforscher an der Technischen Universität Delft. „Aber es ist auch gut, es auf die Erde zu bringen.“

Li und Boyle haben bereits einen Schritt in diese Richtung gemacht, indem sie zwei weitere kachelbasierte Codes konstruiert haben, bei denen das zugrunde liegende Quantensystem in einem Fall endlich und im anderen Fall diskret ist. Der diskrete Code kann auch endlich gemacht werden, es bleiben jedoch andere Herausforderungen bestehen. Beide endlichen Codes können nur geclusterte Fehler korrigieren, während die beliebtesten Quantenfehlerkorrekturcodes zufällig verteilte Fehler verarbeiten können. Es ist noch nicht klar, ob dies eine inhärente Einschränkung kachelbasierter Codes ist oder ob sie durch ein clevereres Design umgangen werden könnte.

„Es gibt noch viel Nacharbeit“, sagte er Felix Flicker, ein Physiker an der Universität Bristol. „Alle guten Zeitungen sollten das tun.“

Es sind nicht nur die technischen Details, die besser verstanden werden müssen – die neue Entdeckung wirft auch grundlegendere Fragen auf. Ein offensichtlicher nächster Schritt besteht darin, zu bestimmen, welche anderen Kacheln ebenfalls als Codes funktionieren. Erst letztes Jahr haben Mathematiker es entdeckt eine Familie aperiodischer Kacheln dass jeder nur eine einzige Kachel verwendet. „Es wäre faszinierend zu sehen, wie diese jüngsten Entwicklungen vielleicht mit dem Problem der Quantenfehlerkorrektur zusammenhängen könnten“, schrieb Penrose in einer E-Mail.

Eine andere Richtung besteht darin, Zusammenhänge zwischen Quantenfehlerkorrekturcodes und bestimmten zu untersuchen Modelle der Quantengravitation. In einer 2020 Papier, Boyle, Flicker und die verstorbene Madeline Dickens zeigten, dass in der Raum-Zeit-Geometrie dieser Modelle aperiodische Kacheln auftreten. Diese Verbindung ergab sich jedoch aus einer Eigenschaft der Fliesen, die in Lis und Boyles Werk keine Rolle spielt. Es scheint, dass Quantengravitation, Quantenfehlerkorrektur und aperiodische Kacheln verschiedene Teile eines Puzzles sind, dessen Konturen Forscher gerade erst zu verstehen beginnen. Wie bei aperiodischen Kacheln selbst kann es bemerkenswert subtil sein, herauszufinden, wie diese Teile zusammenpassen.

„Es gibt tiefe Wurzeln, die diese verschiedenen Dinge verbinden“, sagte Flicker. „Diese verlockenden Zusammenhänge schreien geradezu danach, geklärt zu werden.“