Überall um uns herum finden zufällige Prozesse statt. An einem Tag regnet es, am nächsten jedoch nicht; Aktien und Anleihen gewinnen und verlieren an Wert; Staus verschmelzen und verschwinden. Da sie von zahlreichen Faktoren gesteuert werden, die auf komplizierte Weise miteinander interagieren, ist es unmöglich, das genaue Verhalten solcher Systeme vorherzusagen. Stattdessen betrachten wir sie im Hinblick auf Wahrscheinlichkeiten und charakterisieren die Ergebnisse als wahrscheinlich oder selten.

Heute der französische Wahrscheinlichkeitstheoretiker Michel Talagrand wurde für die Entwicklung eines tiefen und differenzierten Verständnisses solcher Prozesse mit dem Abel-Preis ausgezeichnet, einer der höchsten Auszeichnungen in der Mathematik. Der vom norwegischen König überreichte Preis ist dem Nobelpreis nachempfunden und mit 7.5 Millionen norwegischen Kronen (ca. 700,000 US-Dollar) dotiert. Als ihm mitgeteilt wurde, dass er gewonnen hatte, „wurde mein Kopf leer“, sagte Talagrand. „Als ich anfing, war die Art der Mathematik, die ich betreibe, überhaupt nicht in Mode. Es galt als minderwertige Mathematik. Die Tatsache, dass ich diese Auszeichnung erhalten habe, ist der absolute Beweis dafür, dass dies nicht der Fall ist.“

Andere Mathematiker stimmen zu. Talagrands Arbeit „veränderte meine Sicht auf die Welt“, sagte er Assaf Naor der Princeton University. Heute hinzugefügt Helge Holden, der Vorsitzende des Abel-Preiskomitees, „wird immer beliebter, reale Ereignisse durch zufällige Prozesse zu beschreiben und zu modellieren. Talagrands Toolbox kommt sofort zum Vorschein.“

Talagrand betrachtet sein eigenes Leben als eine Kette unwahrscheinlicher Ereignisse. In Lyon bestand er kaum die Grundschule: Obwohl er sich für Naturwissenschaften interessierte, lernte er nicht gern. Als er 5 Jahre alt war, verlor er sein Sehvermögen auf dem rechten Auge, nachdem sich seine Netzhaut abgelöst hatte; Im Alter von 15 Jahren erlitt er drei Netzhautablösungen an seinem anderen Auge und musste einen Monat lang mit verbundenen Augen im Krankenhaus verbringen, aus Angst, er würde erblinden. Sein Vater, ein Mathematikprofessor, besuchte ihn jeden Tag und beschäftigte ihn, indem er ihm Mathematik beibrachte. „So habe ich die Kraft der Abstraktion gelernt“, sagte Talagrand schrieb in 2019 nach dem Gewinn des Shaw-Preises, einem weiteren großen Mathematikpreis, der mit 1.2 Millionen US-Dollar dotiert ist. (Talagrand verwendet einen Teil dieses Geldes zusammen mit seinem Abel-Gewinn, um einen eigenen Preis zu stiften, „der die Leistungen junger Forscher in den Bereichen anerkennt, denen ich mein Leben gewidmet habe.“)

Während er sich erholte, verpasste er ein halbes Schuljahr, wurde aber inspiriert, sich auf sein Studium zu konzentrieren. Er war ein hervorragender Mathematiker und wurde nach seinem College-Abschluss im Jahr 1974 vom französischen Nationalen Zentrum für wissenschaftliche Forschung, Europas größtem Forschungsinstitut, angestellt, wo er bis zu seiner Pensionierung im Jahr 2017 arbeitete. Während dieser Zeit erlangte er seinen Doktortitel; verliebte sich auf den ersten Blick in seine zukünftige Frau, eine Statistikerin (er machte ihr drei Tage nach dem Treffen einen Heiratsantrag); und entwickelte nach und nach ein Interesse an Wahrscheinlichkeiten und veröffentlichte Hunderte von Artikeln zu diesem Thema.

Das war nicht vorherbestimmt. Talagrand begann seine Karriere mit dem Studium hochdimensionaler geometrischer Räume. „Zehn Jahre lang hatte ich nicht herausgefunden, worin ich gut war“, sagte er. Doch diesen Umweg bereut er nicht. Dies führte ihn schließlich zur Wahrscheinlichkeitstheorie, wo „ich diesen anderen Standpunkt hatte … der mir die Möglichkeit gab, die Dinge anders zu betrachten“, sagte er. Es ermöglichte ihm, zufällige Prozesse durch die Linse der hochdimensionalen Geometrie zu untersuchen.

„Er bringt seine geometrische Intuition ein, um rein probabilistische Fragen zu lösen“, sagte Naor.

Ein Zufallsprozess ist eine Ansammlung von Ereignissen, deren Ergebnisse je nach Zufall auf modellierbare Weise variieren – wie eine Folge von Münzwürfen, die Flugbahnen von Atomen in einem Gas oder die täglichen Niederschlagsmengen. Mathematiker möchten den Zusammenhang zwischen individuellen Ergebnissen und Gesamtverhalten verstehen. Wie oft muss man eine Münze werfen, um herauszufinden, ob sie fair ist? Wird ein Fluss über die Ufer treten?

Talagrand konzentrierte sich auf Prozesse, deren Ergebnisse gemäß einer glockenförmigen Kurve namens Gauß verteilt sind. Solche Verteilungen kommen in der Natur häufig vor und weisen eine Reihe wünschenswerter mathematischer Eigenschaften auf. Er wollte wissen, was mit Sicherheit über extreme Ergebnisse in diesen Situationen gesagt werden kann. Also bewies er eine Reihe von Ungleichungen, die den möglichen Ergebnissen enge Ober- und Untergrenzen auferlegten. „Eine gute Ungleichung zu erreichen ist ein Kunstwerk“, sagte Holden. Diese Kunst ist nützlich: Talagrands Methoden können eine optimale Schätzung beispielsweise des höchsten Pegels liefern, auf den ein Fluss in den nächsten zehn Jahren ansteigen könnte, oder der Stärke des stärksten potenziellen Erdbebens.

Wenn wir mit komplexen, hochdimensionalen Daten arbeiten, kann es schwierig sein, solche Maximalwerte zu finden.

Angenommen, Sie möchten das Risiko einer Flussüberschwemmung einschätzen – das von Faktoren wie Niederschlag, Wind und Temperatur abhängt. Sie können die Höhe des Flusses als Zufallsprozess modellieren. Talagrand verbrachte 15 Jahre damit, eine Technik namens „Generic Chaining“ zu entwickeln, die es ihm ermöglichte, einen hochdimensionalen geometrischen Raum zu schaffen, der mit einem solchen Zufallsprozess zusammenhängt. Seine Methode „gibt Ihnen die Möglichkeit, das Maximum aus der Geometrie abzulesen“, sagte Naor.

Die Technik ist sehr allgemein und daher breit anwendbar. Angenommen, Sie möchten einen riesigen, hochdimensionalen Datensatz analysieren, der von Tausenden von Parametern abhängt. Um eine aussagekräftige Schlussfolgerung zu ziehen, möchten Sie die wichtigsten Merkmale des Datensatzes bewahren und ihn gleichzeitig anhand weniger Parameter charakterisieren. (Dies ist beispielsweise eine Möglichkeit, die komplizierten Strukturen verschiedener Proteine ​​zu analysieren und zu vergleichen.) Viele moderne Methoden erreichen diese Vereinfachung durch die Anwendung einer Zufallsoperation, die die hochdimensionalen Daten auf einen niedrigerdimensionalen Raum abbildet . Mathematiker können die generische Verkettungsmethode von Talagrand verwenden, um die maximale Fehlermenge zu bestimmen, die dieser Prozess mit sich bringt. So können sie die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass ein wichtiges Merkmal im vereinfachten Datensatz nicht erhalten bleibt.

Talagrands Arbeit beschränkte sich nicht nur auf die Analyse der besten und schlechtesten möglichen Ergebnisse eines zufälligen Prozesses. Er untersuchte auch, was im Durchschnittsfall passiert.

In vielen Prozessen können zufällige Einzelereignisse in ihrer Gesamtheit zu hochdeterministischen Ergebnissen führen. Wenn die Messungen unabhängig sind, werden die Gesamtwerte sehr vorhersehbar, auch wenn jedes einzelne Ereignis nicht vorhersehbar ist. Werfen Sie zum Beispiel eine faire Münze. Man kann im Voraus nichts darüber sagen, was passieren wird. Wenn Sie es zehnmal umdrehen, erhalten Sie in etwa 10 % der Fälle vier, fünf oder sechs Köpfe – nahe dem erwarteten Wert von fünf Köpfen. Wenn Sie die Münze jedoch 66 Mal werfen, erhalten Sie in 1,000 % der Fälle zwischen 450 und 550 Köpfe, ein Ergebnis, das sich noch stärker auf den erwarteten Wert von 99.7 konzentriert. „Um den Mittelwert herum ist es außergewöhnlich scharf“, sagte Holden.

„Obwohl etwas so viel Zufälligkeit hat, hebt sich die Zufälligkeit von selbst auf“, sagte Naor. „Was zunächst wie ein schreckliches Durcheinander schien, ist tatsächlich organisiert.“

Dieses als Maßkonzentration bezeichnete Phänomen tritt auch bei viel komplizierteren Zufallsprozessen auf. Talagrand hat eine Sammlung von Ungleichungen erstellt, die es ermöglichen, diese Konzentration zu quantifizieren, und bewiesen, dass sie in vielen verschiedenen Kontexten auftritt. Seine Techniken markierten eine Abkehr von früheren Arbeiten auf diesem Gebiet. Der Beweis der ersten derartigen Ungleichheit sei „eine magische Erfahrung“, schrieb er in seinem Essay aus dem Jahr 2019. Er sei „in einem Zustand ständiger Hochstimmung“.

Besonders stolz ist er auf eine seiner späteren Konzentrationsstörungen. „Es ist nicht einfach, ein Ergebnis zu erzielen, das versucht, über das Universum nachzudenken, und das gleichzeitig einen einseitigen Beweis hat, der leicht zu erklären ist“, sagte er. (Er erinnert sich mit Freude daran, dass er einmal einen Taxidienst genutzt hat, dessen Besitzer seinen Namen kannte, nachdem er die Ungleichung in einem Wahrscheinlichkeitskurs an der Wirtschaftsschule gelernt hatte. „Das war außergewöhnlich“, sagte er.)

Wie seine generische Verkettungsmethode tauchen Talagrands Konzentrationsungleichungen überall in der Mathematik auf. „Es ist erstaunlich, wie weit es geht“, sagte Naor. „Talagrand-Ungleichungen sind die Schrauben, die die Dinge zusammenhalten.“

Stellen Sie sich ein Optimierungsproblem vor, bei dem Sie Gegenstände unterschiedlicher Größe in Behälter sortieren müssen – ein Modell der Ressourcenzuteilung. Wenn Sie viele Gegenstände haben, ist es sehr schwierig, die kleinste Anzahl an Behältern zu ermitteln, die Sie benötigen. Aber die Ungleichungen von Talagrand können Ihnen sagen, wie viele Behälter Sie wahrscheinlich benötigen, wenn die Größen der Gegenstände zufällig sind.

Ähnliche Methoden wurden zum Nachweis von Konzentrationsphänomenen in der Kombinatorik, Physik, Informatik, Statistik und anderen Bereichen eingesetzt.

In jüngerer Zeit wandte Talagrand sein Verständnis zufälliger Prozesse an, um eine wichtige Vermutung über Spingläser zu beweisen, ungeordnete magnetische Materialien, die durch zufällige, oft widersprüchliche Wechselwirkungen entstehen. Talagrand war frustriert darüber, dass Spingläser zwar mathematisch gut definiert sind, Physiker sie jedoch besser verstehen als Mathematiker. „Es war uns ein Dorn im Auge“, sagte er. Er bewies ein Ergebnis – über die sogenannte freie Energie von Spingläsern – das die Grundlage für eine eher mathematische Theorie bildete.

Im Laufe seiner Karriere zeichnete sich Talagrands Forschung durch „diese Fähigkeit aus, einfach einen Schritt zurückzutreten und die allgemeinen Prinzipien zu finden, die überall wiederverwendbar sind“, sagte Naor. „Er schaut immer wieder hin und denkt über etwas aus allen möglichen Perspektiven nach. Und schließlich bringt er eine Erkenntnis zum Vorschein, die zu einem Arbeitstier wird, das jeder nutzt.“

„Ich mag es, einfache Dinge sehr gut zu verstehen, weil mein Gehirn sehr langsam ist“, sagte Talagrand. „Also denke ich sehr, sehr lange an sie.“ Ihn treibe, so sagte er, der Wunsch, „etwas gründlich und auf reine Weise zu verstehen, was die Theorie viel einfacher macht.“ Dann kann die nächste Generation von dort aus beginnen und nach ihren eigenen Vorstellungen Fortschritte machen.“

Im letzten Jahrzehnt hat er dies erreicht, indem er Lehrbücher geschrieben hat – nicht nur über Zufallsprozesse und Spingläser, sondern auch über ein Gebiet, in dem er überhaupt nicht tätig ist, die Quantenfeldtheorie. Er wollte etwas darüber lernen, erkannte aber, dass alle Lehrbücher, die er finden konnte, von und für Physiker und nicht von Mathematikern geschrieben wurden. Also hat er selbst eines geschrieben. „Wenn man Dinge nicht mehr erfinden kann, kann man sie erklären“, sagte er.