An einem Morgen im Oktober stand Rob Kirby vor einem Raum voller Mathematiker und sagte ihnen, sie sollten sich nicht an die Art und Weise gebunden fühlen, wie er in der Vergangenheit Dinge getan hatte.

Seit einem halben Jahrhundert Kirby, 85, war eine zentrale Figur in der niedrigdimensionalen Topologie, der Untersuchung verformbarer Formen. Neben wichtigen Forschungsbeiträgen veröffentlichte er 1978 die erste Version von dem, was später als „Kirbys Liste“ bekannt wurde – eine Sammlung von 80 offenen Problemen, die dazu beitrugen, die Forschungsagenda für das Fachgebiet in den nächsten Jahrzehnten festzulegen. Zwei Jahrzehnte später, 1997, veröffentlichte er einen zweiten, ebenso einflussreichen Version der Liste.

Die paar Dutzend Mathematiker, mit denen Kirby sprach, waren im zusammengekommen Amerikanisches Institut für Mathematik (AIM) in Pasadena, um eine dritte Version der Liste zu erstellen. Nicht, dass alle Probleme auf den vorherigen Listen gelöst worden wären – die meisten davon nicht –, aber viele waren aus der Mode gekommen. Während Mathematik ewig existiert, wird das Fachgebiet von Menschen ausgeübt, die Modeerscheinungen folgen, und viele der alten Fragen galten nicht mehr als interessant.

„Wir glauben, dass einige Teilbereiche prestigeträchtig sind, während andere meinen, dass es niemanden interessiert.“ sagte Maggie Miller von der University of Texas, Austin, einer von 14 Herausgebern der Liste.

Die Konferenz wurde konzipiert von Daniel Rubermann von der Brandeis University, der in den frühen 1980er Jahren Kirbys Student gewesen war, und Inanç Baykur von der University of Massachusetts, der Postdoktorand bei Ruberman war. Sie wollten, dass die Liste schwierige und wichtige Probleme enthält.

„Es sollte ein Problem sein, das so interessant ist, dass es, wenn es eine Lösung gäbe, das Potenzial hätte, das Fachgebiet zu verändern“, sagte Miller. Baykur fügte hinzu: „Vielleicht kann ein kleiner Prozentsatz in den nächsten zwei bis drei Jahren gelöst werden.“

Die Art und Weise, wie Mathematiker entscheiden, was wichtig ist, hat sich in dem halben Jahrhundert, seit Kirby seine erste Liste veröffentlichte, verändert. Auch wenn die Wahrheit oder Falschheit einzelner Vermutungen eine Frage der objektiven Wahrheit ist, ist die Einstufung ihrer Bedeutung ein subjektiver, sozialer Prozess. Und dieser Prozess sieht in der heutigen global vernetzten Welt ganz anders aus als in den 1970er Jahren. Die Geschichte der neuen Liste ist die Geschichte dieser Änderungen.

Der Anfang der Liste

Kirbys eigene Karriere begann mit einer Problemliste. Im Jahr 1963, als Doktorand an der University of Chicago, nahm er an einer Konferenz in Seattle teil, wo der Mathematiker John Milnor stellte eine Liste der sieben wichtigsten offenen Probleme in der Topologie vor. Das letzte Problem war die Annulus-Vermutung, die besagt, dass die Räume zwischen zwei entsprechend definierten Kugeln immer die Form eines Rings annehmen, also des Bereichs zwischen zwei konzentrischen Kreisen.

Dies gilt für Kreise und normale dreidimensionale Kugeln, aber in höheren Dimensionen – bei denen es um Kugelpaare mit fünf oder sechs oder beliebig vielen Dimensionen geht – passieren überraschende Dinge. Im Jahr 1969 bewies Kirby als Assistenzprofessor an der University of California in Los Angeles, dass dies für die Dimensionen fünf und höher gilt, allerdings mit einigen Einschränkungen (die Kugeln müssen in einem bestimmten mathematischen Sinne glatt sein).

Aufgrund dieses Ergebnisses beförderte ihn die UCLA direkt zum ordentlichen Professor und verdoppelte sein Gehalt. Zwei Jahre später gewann er den prestigeträchtigen Preis Oswald-Veblen-Preis in Geometrie. Kirby führt diesen frühen Karriereerfolg zum Teil auf die Existenz der Milnor-Liste zurück, die ihm eine größere Auswahl an Projekten bot, als er von den Menschen in seinem unmittelbaren Umfeld während der Graduiertenschule erhalten hätte.

„Für diejenigen, die gerne an Problemen arbeiten und nicht unbedingt das tun wollen, was ihr Berater ihnen sagt, ist eine Problemliste wertvoll“, sagte er.

Kirby begann im August 1976 auf einer Konferenz der American Mathematical Society an der Stanford University mit der Zusammenstellung seiner ersten Problemliste. Er baute die Liste im Laufe der nächsten zwei Jahre durch Telefonanrufe, Briefe und informelle Gespräche mit Mathematikern auf Konferenzen, an denen er teilnahm, auf und veröffentlichte sie 1978 als erweiterten Zeitschriftenartikel.

Wie Miller es ausdrückt: „Er hat einfach jeden angerufen, den er kannte.“

Die Liste enthielt etwa 80 Probleme, die in fünf Kapitel unterteilt waren. In den ersten vier Kapiteln ging es um eindimensionale Knoten, zweidimensionale Oberflächen sowie drei- und vierdimensionale Mannigfaltigkeiten (Räume wie die Oberfläche einer Kugel, die lokal flach erscheinen, aber eine kompliziertere globale Struktur haben können). Das fünfte Kapitel befasste sich mit verschiedenen Problemen. Obwohl Kirby sich umfassend beraten ließ, um die Liste zusammenzustellen, war das Endprodukt eindeutig sein Werk.

„Ich war eher inklusiv als exklusiv“, sagte Kirby, fügte aber hinzu: „Ich war so ziemlich der letzte Schiedsrichter.“

Die Zweite Liste

Die späten 1970er Jahre waren ein günstiger Zeitpunkt für die Erstellung einer Problemliste in der Topologie. Zu Beginn des Jahrzehnts war das Feld noch klein und im Laufe der nächsten zehn Jahre explodierte es. Im Jahr 10 Michael Freimann löste eine vierdimensionale Version der Poincaré-Vermutung in a monumentaler Beweis Es würde Jahre dauern, es zu verdauen. (Die Vermutung fragt, ob mathematische Objekte, die Kugeln ähneln, tatsächlich Kugeln sein müssen. Freedman bewies, dass die Antwort ja ist.) Ein Jahr später veröffentlichte William Thurston die Geometrisierungsvermutung, die einige topologische Strukturen in geometrische Kategorien einteilt. Die Vermutung brachte Werkzeuge aus der Analysis (einer fortgeschrittenen Form der Analysis) direkt in die Topologie. Das selbe Jahr Simon Donaldson führte mit seiner Arbeit über vierdimensionale Mannigfaltigkeiten die Differentialgeometrie (die Infinitesimalrechnung und Geometrie kombiniert) in das Fachgebiet ein.

„Es ist schwer zu beschreiben, wie schnell der Fortschritt war. Es war eine dieser großartigen Perioden in der Mathematik, mit einer Revolution nach der anderen“, sagte Ruberman.

Aufgrund all dieser Aktivitäten war Kirbys Liste innerhalb weniger Jahre nahezu veraltet. Aber das Erstellen von Problemlisten war nicht Kirbys Hauptbeschäftigung. Erst auf einer Konferenz an der University of Georgia im Sommer 1993 beschloss er, die Liste zu überarbeiten.

Kirby begann auf der Konferenz mit dem Sammeln von Problemen und setzte die Arbeit per E-Mail fort, was bei der Zusammenstellung der ersten Liste noch nicht üblich war. Infolgedessen wurde die Liste immer umfangreicher. Die endgültige Liste enthielt 415 Probleme und wurde 1997 als Buch veröffentlicht. Als die dritte Liste in Angriff genommen wurde, wurde der zweite Versuch rückwirkend als K2 bekannt, wie in der zweiten Version von Kirbys Liste und auch als Anspielung auf die zweite -höchster Berg der Welt. Das erweiterte Format trug dazu bei, die zweite Version der Liste als Prüfstein und Scorecard zu festigen. Die Lösung eines Kirby-Problems macht junge Mathematiker auf sich aufmerksam.

„Wenn Sie ein Empfehlungsschreiben für jemanden schreiben und dieser ein Kirby-Problem gelöst hat, erwähnen Sie das in Ihrem Brief“, sagte er John Baldwin, ein Mathematiker am Boston College, der an dem Workshop teilgenommen hat und bei der Bearbeitung der Liste hilft.

Arunima Strahl, eine Gruppenleiterin am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn, Deutschland, die an dem Workshop teilnahm, sagte, dass eine der ersten Dinge, die ihr Doktorvater tat, nachdem sie 2011 ihre Eignungsprüfungen bestanden hatte, darin bestand, ihr eine Kopie der K2-Liste zu geben: „ um ein Gefühl für die großen Probleme zu bekommen, die die Menschen interessieren.“

Natürlich werden Entscheidungen darüber, was wichtig ist, davon beeinflusst, wer im Raum diese Entscheidungen trifft. Die Kirby-Listen spiegeln eine pädagogische Philosophie wider, die aus Kirbys gesellschaftspolitischer Weltanschauung hervorgegangen ist. Er bezeichnet sich selbst als klassischen Liberalen und nennt den britischen Philosophen John Stuart Mill aus dem 19. Jahrhundert als einen wichtigen Einfluss auf sein Denken.

„Die klassischen Liberalen glaubten wirklich an Freiheit, freie Meinungsäußerung und eine sanfte Hand der Regierung, das ist also sozusagen mein Standpunkt“, sagte er. „In gewisser Weise geht das damit einher, dass ich meinen Schülern nicht sage, was sie tun sollen. Es ist ein bisschen, ihnen freien Lauf zu lassen.“

Kirby lässt diese Überzeugungen in die Art und Weise einfließen, wie er über die Mathematik-Community denkt und spricht. Im Jahr 2021 war er zusammen mit über 1,000 anderen in Kalifornien ansässigen Mathematik- und Naturwissenschaftlern Mitunterzeichner einer offenen Brief Kritik am Vorschlag des Staates, einen neuen Mathematiklehrplan für K-12 zu verabschieden, der Überlegungen zur sozialen Gerechtigkeit stärker in den Mittelpunkt der Art und Weise gerückt hätte, wie der Staat das Fach unterrichtet. Der kalifornische Vorschlag ist gescheitert erhebliche Kritik in der Mathematik-Community unter anderem für die Einschränkung der Verfügbarkeit von Kursen für Fortgeschrittene und für die Abschwächung von Vorkursen zur Mathematik zugunsten von „Data Science“.

Kirby war schon immer ein Skeptiker gegenüber der Existenz struktureller Vorurteile in der Mathematik, auch im Hinblick auf das Ungleichgewicht zwischen den Geschlechtern in diesem Fachgebiet. In den 1970er Jahren waren etwa 10 % der Mathematiker Frauen; heute sind es laut a fast 30 % 2020 Bericht vom Internationalen Wissenschaftsrat.

In ein Artikel, den er in den 1990er Jahren schrieb, und die zur Veröffentlichung in der eingereicht wurde Mitteilungen der American Mathematical Society Aber nie veröffentlicht, argumentierte Kirby, dass diese düsteren Zahlen nicht das Ergebnis irgendeiner Voreingenommenheit auf diesem Gebiet seien. „Meiner Ansicht nach ist die geringere Anzahl von Frauen in der Mathematik weder auf Diskriminierung durch Männer noch auf eine inhärente Minderwertigkeit von Frauen zurückzuführen, sondern vielmehr auf die einfache Tatsache, dass sich mehr Männer als Frauen für die Mathematik entscheiden“, schrieb Kirby.

Für viele Mathematiker ist die Tatsache, dass nur wenige Frauen auf diesem Gebiet tätig sind, alles andere als eine einfache Tatsache. „Es gibt Hinweise darauf, dass es hier einen Rückkopplungseffekt gibt: Da es so wenige Professorinnen gibt, sehen Studentinnen keinen klaren Karriereweg in der Mathematik und entscheiden sich daher dafür, keinen Doktortitel anzustreben.“ schrieben vier prominente Mathematikerinnen im Jahr 2022 in der Times Higher Education Supplement. In dem Bericht des International Science Council heißt es nach der Analyse eines Datensatzes von Hunderttausenden veröffentlichten mathematischen Arbeiten: „Verschiedene strukturelle und systemische Faktoren müssen die Karrieren weiblicher Mathematiker auf andere Weise beeinflusst haben als die der Männer.“

Kirbys Ansichten sind in der Community der niedrigdimensionalen Topologie wohlbekannt. Ich fragte Kirby, ob er der Meinung sei, dass es dadurch für Frauen schwieriger sei, an Veranstaltungen wie der jüngsten Konferenz teilzunehmen, bei der er eine herausragende Rolle spielte. Er sagte, er wisse es nicht, denn mit Ausnahme eines Mathematikers habe niemand ihn jemals darauf angesprochen.

Ray, der als Gleichstellungsbeauftragter am Max-Planck-Institut fungiert, sagte: „Ich glaube nicht, dass es das Gefühl der Konferenz beeinflusst hat. Ich denke, dass es die Art und Weise prägt, wie er auf dem Gebiet der Mathematik gesehen wird, aber ich denke, im Allgemeinen trennen wir die Mathematik vom Mathematiker.“

Eine gemeinschaftliche Anstrengung

Genau wie nach K1 entwickelte sich die niedrigdimensionale Topologie nach der Veröffentlichung von K2 schnell weiter. Eine wichtige Entwicklung war die Ausarbeitung der Seiberg-Witten-Theorie, die Ideen aus der Physik nutzte, um zwischen vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten zu unterscheiden. Ende der 2000er Jahre war die Kirby-Liste wieder für eine Aktualisierung bereit.

„Die Sache ist, dass das Feld seit den 1990er Jahren viel größer geworden ist, es ist riesig geworden“, sagte Baykur.

Der Anstoß zur Erstellung einer neuen Liste kam dieses Mal von Ruberman und Baykur. Sie begannen etwa im Jahr 2013 damit, Probleme zu sammeln. Aber zwischen ihren anderen Verpflichtungen und der Pandemie gelang es ihnen erst im Oktober 2023, eine Gruppe von Topologen zu einem persönlichen Treffen zusammenzubringen. Sie wollten, dass die dritte Version der Liste eher eine gemeinschaftliche Anstrengung ist.

„Die ursprüngliche Liste war wunderbar, ich bin so froh, dass sie da war, aber dieses neue Format ist lobenswert, weil es das etwas offener macht“, sagte Ray.

Ende 2022 schloss sich Kirby Baykur und Ruberman als Mitorganisator der Konferenz an. Sie luden Experten aus den Hauptbereichen der niedrigdimensionalen Topologie ein – entsprechend der gleichen Fünf-Kapitel-Struktur, die Kirby in früheren Versionen der Liste verwendet hatte –, versuchten jedoch zu vermeiden, so viele Spezialisten einzuladen, dass keiner etwas mit dem anderen gemeinsam hatte.

Baykur und Ruberman kümmerten sich hauptsächlich um die Organisation, während Kirby eher eine Titelrolle übernahm.

„Es ist ein bisschen wie bei Robs Baby, als ob er emotional das Sagen hätte. Aber Danny und Inanç kümmerten sich um die gesamte Logistik“, sagte Miller.

Am Montag, dem 30. Oktober, begann die Gruppe mit der Arbeit an der K3-Liste (wie sie aus offensichtlichen Gründen und auch in Bezug auf K3-Oberflächen, die wichtige Objekte in der Topologie sind, genannt wurde).

Die Liste spiegelte die Art und Weise wider, in der die niedrigdimensionale Topologie seit K2 gewachsen war. Anfang der 1990er Jahre führte die Arbeit von Andreas Floer zu neuen Methoden zur Sortierung dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten. Bis zum Ende dieses Jahrzehnts hatten sich diese Methoden zu einem ganzen Forschungsgebiet entwickelt, der Heegaard-Floer-Homologie, und innerhalb dieses Bereichs gibt es heute eine Reihe unterschiedlicher Ansätze zur Unterscheidung von Mannigfaltigkeiten. Diese Ansätze sollten alle miteinander konsistent sein, es ist jedoch nicht sicher, ob dies der Fall ist, und K3 wird Fragen enthalten, die darauf abzielen, die Angelegenheit zu klären.

Kirby schlug sein Lager im Hauptvorlesungssaal auf, wo sich die Mathematiker jeden Morgen versammelten, und ging den Brainstorming-Sitzungen größtenteils aus dem Weg. Am Dienstagmorgen Dave Gabai von der Princeton University hielt vor der gesamten Gruppe einen Vortrag über Zusammenhänge zwischen der Schoenflies-Vermutung und der Poincaré-Vermutung, den beiden wohl wichtigsten offenen Problemen in der glatten vierdimensionalen Topologie.

Die Schoenflies-Vermutung hat einen ähnlichen Charakter wie die Annulus-Vermutung, an der Kirby in den 1960er Jahren arbeitete. Sie sagt voraus, dass, wenn sich zwei Kugeln um eine Dimension unterscheiden (z. B. ein Kreis gegenüber der Oberfläche einer Kugel) und Sie die niedrigerdimensionale Kugel (den Kreis) in die höherdimensionale Kugel (die Oberfläche einer Kugel) einbetten, Ersteres gilt schneidet letztere immer in das Äquivalent von zwei Kugeln. Dies trifft eindeutig zu, wenn Sie einen Kreis auf einen Globus ätzen (als ob er den Äquator bilden würde), aber wie bei der Annulus-Vermutung gilt dies weniger eindeutig für höhere Dimensionen.

Kirby fand Gabai danach und die beiden unterhielten sich stundenlang über die Auswirkungen von Gabais Rede. Zu anderen Zeitpunkten während der Woche verbrachte Kirby Zeit damit, sein umfangreiches Netzwerk in der Mathematik-Community per E-Mail um Beiträge zur Liste zu bitten.

„In mancher Hinsicht war es ziemlich ähnlich zu dem, was er in den vorherigen Listen getan hatte“, sagte Ruberman. „Er kam nicht so oft in die Räume. [Er] schickte E-Mails an die Leute und sagte: „Jemand in der Werkstatt hat das gesagt, was halten Sie davon?“

Der Kriegsraum

An den letzten beiden Tagen der Konferenz forderten Baykur und Ruberman die Teilnehmer auf, die von ihnen zusammengestellten Probleme aufzuschreiben. Es fühlte sich an wie in einem War Room, als die Mathematiker sich beeilten, Zusammenfassungen der Probleme zu schreiben, auf die sie sich vor ihrem Heimflug geeinigt hatten.

„Es fühlte sich wirklich so an, als ob man auf dem College wäre und am nächsten Tag Hausaufgaben fällig hätte, alle in der Klasse in einem Raum wären und es 2 Uhr morgens wäre“, sagte Miller.

Ein gemeinsam genutztes Dokument, in dem die Mathematiker die Liste zusammenstellten, war am Donnerstagmorgen fast leer, wuchs aber schnell, da Dutzende Mathematiker gleichzeitig Bearbeitungen durchführten. Bis Freitag umfasste die Liste der Probleme mehr als 250 Seiten. Das Wirbelwind-Erlebnis war im Vergleich zu Kirbys beiden vorherigen Versuchen kaum wiederzuerkennen.

„Ich habe mich insofern alt gefühlt, als ich K2 über einen Zeitraum von zwei bis drei Jahren gemacht habe. Ich setzte mich mit jemandem zusammen und wir schrieben gemeinsam das Problem auf“, sagte Kirby. „Bei K3 war ich nur an einer bescheidenen Anzahl von Problemen beteiligt.“

Baykur und Ruberman hoffen, bis Ende des Jahres eine Liste mit rund 400 Problemen veröffentlichen zu können, nach Überarbeitungen und Ergänzungen durch Topologen, die nicht beim Pasadena-Treffen dabei waren. Baykur, Ruberman und die anderen Redakteure diskutieren immer noch darüber, wie oft die Liste aktualisiert werden soll. Sie könnten die Haltbarkeitsdauer von K3 verlängern, indem sie eine Online-Version auf dem neuesten Stand halten, sehen dabei jedoch Nachteile. Die ersten beiden Listen, sagte Baykur, „waren historische Dokumente und es war äußerst aufschlussreich zu sehen, wie sie die Dinge in den 1970er und 1990er Jahren betrachteten und wie sie über Mathematik dachten.“ Ich wollte ein ähnliches zeitgenössisches Dokument haben.“