Mitte der 1980er Jahre war die käferartige Silhouette des Mandelbrot-Sets allgegenwärtig, ebenso wie Walkman-Kassettenspieler und Batikhemden.

Auf der ganzen Welt haben Studenten damit die Wände von Wohnheimzimmern verputzt. Mathematiker erhielten Hunderte von Briefen mit eifrigen Anfragen nach Ausdrucken des Satzes. (Als Reaktion darauf erstellten einige von ihnen Kataloge mit Preislisten, andere stellten die auffälligsten Features in Büchern zusammen.) Technikbegeisterte Fans könnten sich an die Augustausgabe 1985 wenden Scientific American. Auf dem Einband entfaltete sich die Mandelbrot-Reihe in feurigen Ranken, der Rand brannte; Darin befanden sich sorgfältige Programmieranweisungen, in denen detailliert beschrieben wurde, wie die Leser das ikonische Bild für sich selbst generieren könnten.

Zu diesem Zeitpunkt hatten diese Ranken ihre Reichweite auch weit über die Mathematik hinaus ausgeweitet, in scheinbar nicht zusammenhängende Bereiche des Alltagslebens. In den nächsten Jahren sollte das Mandelbrot-Set die neuesten Gemälde von David Hockney und die neuesten Kompositionen mehrerer Musiker inspirieren – fugenartige Stücke im Stil von Bach. Es erschien auf den Seiten von John Updikes Belletristik und diente dem Literaturkritiker Hugh Kenner als Leitfaden für die Analyse der Gedichte von Ezra Pound. Es wurde Gegenstand psychedelischer Halluzinationen und eines beliebten Dokumentarfilms, der vom Science-Fiction-Star Arthur C. Clarke erzählt wurde.

Die Mandelbrot-Menge ist eine besondere Form mit einem fraktalen Umriss. Verwenden Sie einen Computer, um die gezackte Grenze des Sets zu vergrößern, und Sie werden auf Täler von Seepferdchen und Paraden von Elefanten, Spiralgalaxien und neuronenähnlichen Filamenten stoßen. Ganz gleich, wie tief Sie in die Materie eintauchen, Sie werden immer nahezu Kopien des Originalsets sehen – eine unendliche, schwindelerregende Kaskade der Selbstähnlichkeit.

Diese Selbstähnlichkeit war ein Kernelement von James Gleicks Bestseller Chaos, was den Platz der Mandelbrot-Menge in der Populärkultur festigte. „Es enthielt ein Universum von Ideen“, schrieb Gleick. „Eine moderne Kunstphilosophie, eine Rechtfertigung der neuen Rolle des Experimentierens in der Mathematik, eine Möglichkeit, komplexe Systeme einer großen Öffentlichkeit zugänglich zu machen.“

Die Mandelbrot-Menge war zum Symbol geworden. Es stellte die Notwendigkeit einer neuen mathematischen Sprache dar, einer besseren Möglichkeit, die fraktale Natur der Welt um uns herum zu beschreiben. Es veranschaulichte, wie tiefgreifende Komplexität aus den einfachsten Regeln entstehen kann – ähnlich wie das Leben selbst. („Es ist also eine echte Botschaft der Hoffnung“ John Hubbard, einer der ersten Mathematiker, der die Menge untersuchte, sagte in einem Video von 1989: „Möglicherweise kann die Biologie wirklich auf die gleiche Weise verstanden werden, wie diese Bilder verstanden werden können.“ In der Mandelbrot-Menge lebten Ordnung und Chaos in Harmonie; Determinismus und freier Wille könnten in Einklang gebracht werden. Ein Mathematiker erinnerte sich, dass er als Teenager über das Set gestolpert war und es als Metapher für die komplizierte Grenze zwischen Wahrheit und Falsch betrachtet hatte.

Die Mandelbrot-Menge war überall, bis sie es nicht mehr war.

Innerhalb eines Jahrzehnts schien es zu verschwinden. Die Mathematiker wandten sich anderen Themen zu und die Öffentlichkeit wandte sich anderen Symbolen zu. Heute, nur 40 Jahre nach seiner Entdeckung, ist das Fraktal zu einem Klischee und grenzwertigem Kitsch geworden.

Aber eine Handvoll Mathematiker weigerten sich, es aufzugeben. Sie haben ihr Leben der Aufdeckung der Geheimnisse der Mandelbrot-Menge gewidmet. Jetzt glauben sie, dass sie endlich kurz davor stehen, es wirklich zu verstehen.

Ihre Geschichte ist eine Geschichte der Erkundung, des Experimentierens – und davon, wie Technologie unsere Denkweise und die Fragen, die wir über die Welt stellen, prägt.

Die Kopfgeldjäger

Im Oktober 2023 versammelten sich 20 Mathematiker aus aller Welt in einem gedrungenen Backsteingebäude auf dem ehemaligen dänischen Militärforschungsstützpunkt. Der Stützpunkt wurde Ende des 1800. Jahrhunderts mitten im Wald erbaut und lag versteckt in einem Fjord an der Nordwestküste der bevölkerungsreichsten Insel Dänemarks. Ein alter Torpedo bewachte den Eingang. An den Wänden hingen Schwarzweißfotos, die Marineoffiziere in Uniform, an einem Dock aufgereihte Boote und laufende U-Boot-Tests zeigten. Drei Tage lang, während ein heftiger Wind das Wasser vor den Fenstern in schäumende Schaumkronen peitschte, saß die Gruppe einer Reihe von Vorträgen bei, die meisten davon von zwei Mathematikern der Stony Brook University in New York: Mischa Ljubitsch und Dima Dudko.

Zu den Zuhörern des Workshops gehörten einige der unerschrockensten Entdecker der Mandelbrot-Menge. Nahe vorne saß Mitsuhiro Shishikura von der Universität Kyoto, der in den 1990er Jahren bewies, dass die Grenze der Menge so kompliziert ist, wie sie nur sein kann. Ein paar Plätze weiter war Hiroyuki Inou, der zusammen mit Shishikura wichtige Techniken zur Untersuchung eines besonders wichtigen Bereichs der Mandelbrot-Menge entwickelte. In der letzten Reihe war Wolf Jung, der Schöpfer von Mandel, der bevorzugten Software für Mathematiker zur interaktiven Untersuchung der Mandelbrot-Menge. Mit dabei waren auch Arnaud Chéritat der Universität Toulouse, Carsten Petersen von der Universität Roskilde (die den Workshop organisierte) und mehrere andere, die wichtige Beiträge zum Verständnis der Mandelbrot-Menge durch Mathematiker geleistet hatten.

Und am Whiteboard standen Ljubich, der weltweit führende Experte auf diesem Gebiet, und Dudko, einer seiner engsten Mitarbeiter. Zusammen mit den Mathematikern Jeremy Kahn und Alex KapiambaSie arbeiten daran, eine seit langem bestehende Vermutung über die geometrische Struktur der Mandelbrot-Menge zu beweisen. Diese als MLC bekannte Vermutung ist das letzte Hindernis bei der jahrzehntelangen Suche nach der Charakterisierung des Fraktals und der Zähmung seiner verworrenen Wildnis.

Durch den Aufbau und die Weiterentwicklung eines leistungsstarken Werkzeugsatzes haben Mathematiker die Kontrolle über die Geometrie von „fast allem in der Mandelbrot-Menge“ erkämpft, sagte er Caroline Davis der Indiana University – mit Ausnahme einiger verbleibender Fälle. „Misha und Dima und Jeremy und Alex sind wie Kopfgeldjäger, die versuchen, diese Letzten aufzuspüren.“

Lyubich und Dudko waren in Dänemark, um andere Mathematiker über die jüngsten Fortschritte beim Beweis von MLC und die Techniken zu informieren, die sie dafür entwickelt hatten. In den letzten 20 Jahren trafen sich hier Forscher zu Workshops, die sich der Entschlüsselung von Ergebnissen und Methoden auf dem Gebiet der komplexen Analyse widmeten, der mathematischen Untersuchung der Arten von Zahlen und Funktionen, die zur Generierung der Mandelbrot-Menge verwendet werden.

Es war eine ungewöhnliche Konstellation: Die Mathematiker aßen alle Mahlzeiten zusammen und redeten und lachten bis in die frühen Morgenstunden bei einem Bier. Als sie sich schließlich dazu entschlossen, schlafen zu gehen, zogen sie sich in Etagenbetten oder Feldbetten in kleinen Zimmern zurück, die sie sich im zweiten Stock der Einrichtung teilten. (Bei unserer Ankunft wurde uns gesagt, wir sollten Laken und Kissenbezüge von einem Stapel nehmen und sie nach oben bringen, um unsere Betten zu machen.) In manchen Jahren wagen Konferenzteilnehmer ein Bad im eiskalten Wasser; häufiger wandern sie durch den Wald. Aber größtenteils gibt es außer Mathe nichts zu tun.

Typischerweise, so erzählte mir einer der Teilnehmer, ziehe der Workshop viele jüngere Mathematiker an. Aber das war dieses Mal nicht der Fall – vielleicht, weil es mitten im Semester war, oder, wie er spekulierte, weil das Thema so schwierig war. Er gab zu, dass ihn die Aussicht, vor so vielen Größen der Branche einen Vortrag zu halten, in diesem Moment etwas eingeschüchtert fühlte.

Aber wenn man bedenkt, dass die meisten Mathematiker im weiteren Bereich der komplexen Analysis nicht mehr direkt an der Mandelbrot-Menge arbeiten, warum sollte man dann einen ganzen Workshop der MLC widmen?

Die Mandelbrot-Menge ist mehr als ein Fraktal, und das nicht nur im metaphorischen Sinne. Es dient als eine Art Hauptkatalog dynamischer Systeme – aller verschiedenen Arten, wie sich ein Punkt nach einer einfachen Regel durch den Raum bewegen könnte. Um diesen Hauptkatalog zu verstehen, muss man viele verschiedene mathematische Landschaften durchqueren. Die Mandelbrot-Menge ist nicht nur eng mit der Dynamik verbunden, sondern auch mit Zahlentheorie, Topologie, algebraischer Geometrie, Gruppentheorie und sogar der Physik. „Es interagiert auf wunderbare Weise mit dem Rest der Mathematik“, sagte er Sabyasachi Mukherjee des Tata Institute of Fundamental Research in Indien.

Um Fortschritte bei MLC zu erzielen, mussten Mathematiker eine Reihe ausgefeilter Techniken entwickeln – was Chéritat „eine leistungsstarke Philosophie“ nennt. Diese Tools haben viel Aufmerksamkeit erregt. Heute bilden sie eine zentrale Säule in der Untersuchung dynamischer Systeme im weiteren Sinne. Sie haben sich als entscheidend für die Lösung einer Vielzahl anderer Probleme erwiesen – Probleme, die nichts mit der Mandelbrot-Menge zu tun haben. Und sie haben MLC von einer Nischenfrage zu einer der tiefgreifendsten und wichtigsten offenen Vermutungen auf diesem Gebiet gemacht.

Lyubich, der Mathematiker, der wohl am meisten dafür verantwortlich ist, diese „Philosophie“ in ihre heutige Form zu bringen, steht aufrecht und aufrecht da und spricht leise. Wenn andere Mathematiker im Workshop auf ihn zukommen, um ein Konzept zu besprechen oder eine Frage zu stellen, schließt er die Augen und hört aufmerksam zu, die dicken Augenbrauen gerunzelt. Er antwortet vorsichtig und mit russischem Akzent.

Aber er bricht auch schnell in lautes, warmes Lachen aus und macht ironische Witze. Er ist großzügig mit seiner Zeit und seinen Ratschlägen. Er habe „wirklich viele Generationen von Mathematikern gefördert“, sagte Mukherjee, einer von Lyubichs ehemaligen Postdoktoranden und häufiger Mitarbeiter. Er erzählt, dass jeder, der sich für das Studium komplexer Dynamiken interessiert, einige Zeit in Stony Brook verbringt und von Lyubich lernt. „Misha hat eine Vorstellung davon, wie wir ein bestimmtes Projekt angehen sollten oder worauf wir als nächstes achten sollten“, sagte Mukherjee. „Er hat dieses großartige Bild im Kopf. Und das teilt er gerne mit den Menschen.“

Zum ersten Mal hat Lyubich das Gefühl, dieses großartige Bild in seiner Gesamtheit sehen zu können.

Die Preiskämpfer

Das Mandelbrot-Set begann mit einem Preis.

Im Jahr 1915 rief die Französische Akademie der Wissenschaften, motiviert durch die jüngsten Fortschritte bei der Erforschung von Funktionen, einen Wettbewerb aus: In drei Jahren würde sie einen Hauptpreis von 3,000 Francs für Arbeiten am Prozess der Iteration ausloben – genau dem Prozess, der dies tun würde Generieren Sie später die Mandelbrot-Menge.

Unter Iteration versteht man die wiederholte Anwendung einer Regel. Fügen Sie eine Zahl in eine Funktion ein und verwenden Sie dann die Ausgabe als nächste Eingabe. Machen Sie so weiter und beobachten Sie, was mit der Zeit passiert. Wenn Sie Ihre Funktion weiter iterieren, können die Zahlen, die Sie erhalten, schnell in Richtung Unendlich ansteigen. Oder sie könnten zu einer bestimmten Zahl hingezogen werden, wie Eisenspäne, die sich zu einem Magneten bewegen. Oder sie landen zwischen den gleichen zwei Zahlen, oder drei oder tausend, in einer stabilen Umlaufbahn, aus der sie niemals entkommen können. Oder hüpfen Sie ohne Sinn und Zweck von einer Zahl zur nächsten und folgen Sie dabei einem chaotischen, unvorhersehbaren Weg.

Die Französische Akademie und Mathematiker im weiteren Sinne hatten einen weiteren Grund, sich für Iteration zu interessieren. Der Prozess spielte eine wichtige Rolle bei der Untersuchung dynamischer Systeme – Systeme wie die Rotation von Planeten um die Sonne oder die Strömung eines turbulenten Stroms, Systeme, die sich im Laufe der Zeit nach bestimmten Regeln ändern.

Der Preis inspirierte zwei Mathematiker dazu, ein völlig neues Forschungsgebiet zu entwickeln.

Der erste war Pierre Fatou, der in einem anderen Leben vielleicht ein Marinemann gewesen wäre (eine Familientradition), wenn nicht sein schlechter Gesundheitszustand gewesen wäre. Stattdessen verfolgte er eine Karriere in Mathematik und Astronomie und konnte 1915 bereits mehrere wichtige Ergebnisse in der Analysis nachweisen. Dann war da noch Gaston Julia, ein vielversprechender junger Mathematiker, der im französisch besetzten Algerien geboren wurde und dessen Studium durch den Ersten Weltkrieg und seine Einberufung in die französische Armee unterbrochen wurde. Im Alter von 22 Jahren, nachdem er sich kurz nach Dienstantritt eine schwere Verletzung zugezogen hatte – er trug für den Rest seines Lebens ein Lederband über seinem Gesicht, da die Ärzte den Schaden nicht reparieren konnten –, kehrte er zur Mathematik zurück und beschäftigte sich teilweise damit die Arbeit, die er für den Akademiepreis einreichen würde, aus einem Krankenhausbett.

Der Preis motivierte sowohl Fatou als auch Julia, zu untersuchen, was passiert, wenn man Funktionen iteriert. Sie arbeiteten unabhängig voneinander, machten aber am Ende sehr ähnliche Entdeckungen. Es gab so viele Überschneidungen in ihren Ergebnissen, dass auch heute noch nicht immer klar ist, wie die Gutschrift zuzuordnen ist. (Julia war kontaktfreudiger und erhielt daher mehr Aufmerksamkeit. Am Ende gewann er den Preis; Fatou bewarb sich nicht einmal.) Aufgrund dieser Arbeit gelten die beiden heute als Begründer des Gebiets der komplexen Dynamik.

„Komplex“, weil Fatou und Julia Funktionen komplexer Zahlen iterierten – Zahlen, die eine bekannte reelle Zahl mit einer sogenannten imaginären Zahl (einem Vielfachen von) kombinieren i, das Symbol, mit dem Mathematiker die Quadratwurzel von −1 bezeichnen). Während reelle Zahlen als Punkte auf einer Linie dargestellt werden können, werden komplexe Zahlen als Punkte auf einer Ebene dargestellt, etwa so:

Fatou und Julia fanden heraus, dass die Iteration selbst einfacher komplexer Funktionen (kein Paradoxon im Bereich der Mathematik!) je nach Ausgangspunkt zu reichhaltigem und kompliziertem Verhalten führen kann. Sie begannen, diese Verhaltensweisen zu dokumentieren und geometrisch darzustellen.

Doch dann geriet ihre Arbeit für ein halbes Jahrhundert in Vergessenheit. „Die Leute wussten nicht einmal, wonach sie suchen sollten. Sie konnten nur begrenzte Fragen stellen“, sagte er Artur Avila, eine Professor an der Universität Zürich.

Dies änderte sich, als die Computergrafik in den 1970er Jahren erwachsen wurde.

Der Mathematiker Benoît Mandelbrot hatte sich inzwischen den Ruf eines akademischen Dilettanten erworben. Während seiner Arbeit im IBM-Forschungszentrum nördlich von New York City hatte er sich in vielen verschiedenen Bereichen versucht, von der Wirtschaft bis zur Astronomie. Als er 1974 zum IBM Fellow ernannt wurde, hatte er noch mehr Freiheiten, unabhängige Projekte zu verfolgen. Er beschloss, die beträchtliche Rechenleistung des Zentrums zu nutzen, um komplexe Dynamiken aus dem Winterschlaf zu holen.

Zunächst nutzte Mandelbrot die Computer, um die Formen zu erzeugen, die Fatou und Julia untersucht hatten. Die Bilder kodierten Informationen darüber, wann ein Ausgangspunkt bei der Iteration ins Unendliche entweichen würde und wann er in einem anderen Muster gefangen wäre. Die Zeichnungen von Fatou und Julia aus der Zeit vor 60 Jahren sahen aus wie Ansammlungen von Kreisen und Dreiecken – aber die computergenerierten Bilder, die Mandelbrot machte, sahen aus wie Drachen und Schmetterlinge, Kaninchen und Kathedralen und Blumenkohlköpfe, manchmal sogar wie getrennte Staubwolken. Zu diesem Zeitpunkt hatte Mandelbrot bereits das Wort „Fraktal“ für Formen geprägt, die in verschiedenen Maßstäben ähnlich aussahen; Das Wort rief die Vorstellung einer neuen Art von Geometrie hervor – etwas Fragmentiertes, Bruchstückiges oder Gebrochenes.

Die Bilder, die auf seinem Computerbildschirm erschienen – heute als Julia-Sets bekannt – gehörten zu den schönsten und kompliziertesten Beispielen für Fraktale, die Mandelbrot je gesehen hatte.

Die Arbeit von Fatou und Julia hatte sich auf die Geometrie und Dynamik jeder dieser Mengen (und ihrer entsprechenden Funktionen) einzeln konzentriert. Aber Computer gaben Mandelbrot die Möglichkeit, über eine ganze Familie von Funktionen auf einmal nachzudenken. Er konnte sie alle in dem Bild verschlüsseln, das später seinen Namen tragen sollte. Es bleibt jedoch umstritten, ob er tatsächlich der Erste war, der es entdeckte.

Die Mandelbrot-Menge befasst sich mit den einfachsten Gleichungen, die bei der Iteration immer noch etwas Interessantes bewirken. Dies sind quadratische Funktionen der Form f(z) = z² + c. Legen Sie einen Wert fest c – es kann jede komplexe Zahl sein. Wenn Sie die Gleichung iterieren, beginnend mit z = 0 und stellen Sie fest, dass die von Ihnen generierten Zahlen klein (oder begrenzt, wie Mathematiker sagen) bleiben c ist in der Mandelbrot-Menge. Wenn Sie andererseits iterieren und feststellen, dass Ihre Zahlen schließlich in Richtung Unendlich wachsen, dann c ist nicht in der Mandelbrot-Menge.

Es ist einfach, die Werte von zu zeigen c nahe Null sind in der Menge enthalten. Und es ist ähnlich einfach, diese großen Werte zu zeigen c sind nicht. Aber komplexe Zahlen machen ihrem Namen alle Ehre: Die Grenze der Menge ist äußerst komplex. Es gibt keinen offensichtlichen Grund für diese Änderung c Durch geringfügige Vergrößerungen sollten Sie immer wieder die Grenze überschreiten, aber wenn Sie hineinzoomen, erscheinen endlose Mengen an Details.

Darüber hinaus verhält sich die Mandelbrot-Menge wie eine Karte von Julia-Mengen, wie in der interaktiven Abbildung unten zu sehen ist. Wählen Sie einen Wert von c in der Mandelbrot-Menge. Die entsprechende Julia-Menge wird verbunden. Wenn Sie jedoch die Mandelbrot-Menge verlassen, ist die entsprechende Julia-Menge unzusammenhängender Staub.